Презентация «Задачи о среднем арифметическом и медиане.»
Часто сложность представляют чисто логические задачи на среднее значение и медиану, то есть задачи, где ничего считать не надо, а требуется только четко знать определение соответствующей характеристики.
Добавляет сложности и часто несколько запутанное условие.
Например:
Задача 1. Средний рост ученика в классе составляет 171см (то есть среднее арифметическое значений роста для всех учеников класса равно 171 см). Известно, что в классе учатся Вася Васин, чей рост равен 180см. Выберите верное утверждение:
А. В классе есть ученик ростом 162 см.
Б. В классе есть ученик ростом ровно 171 см.
В. В классе есть ученик ростом менее 171 см.
Г. Вася Васин – самый высокий ученик класса.
Решение.
Рассмотрим все утверждения по очереди:
«А» - это утверждение, очевидно, неверно, так как про значения роста остальных учеников (кроме Васи Васина) ничего не сказано. В классе может быть ученик ростом 162 см, а может и не быть, информации у нас недостаточно.
«Б» - это ответ довольно часто выбирают при решении данной задачи, но он, конечно, тоже неверен. Ведь из того, что среднее значение некоторой величины равно a, не следует, что эта величина хотя бы раз принимает значение a. К примеру, класс мог состоять из девяти человек ростом 170 см, и Васи Васина. Тогда среднее арифметическое равно , но в классе нет никого ростом ровно 171 см.
«В» - пусть это не так, и в классе нет учеников ниже 171 см. Тогда среднее арифметическое будет больше 171 см (все ученики не ниже 171 см и есть еще Вася Васин!), что противоречит условию задачи. Значит, ответ «В» верен.
«Г» - довольно правдоподобное утверждение, но как и в пункте «А» у нас нет стопроцентной уверенности, так как информации слишком мало. В классе могут быть и более высокие ученики. Значит, утверждение «Г» неверно.
Ответ: В.
Задача 2. Стюардесса должна иметь рост не менее 170 см. Есть четыре группы кандидаток в стюардессы: А, Б, В, Г. В какой из них, по крайней мере, половина девушек, может работать стюардессами, если выполнены следующие условия:
А – рост самой высокой девушки равен 185 см;
Б – средний рост девушек равен 171 см;
В – рост самой невысокой девушки 168 см;
Г – медиана роста девушек равна 170,5 см.
Решение.
Рассмотрим все имеющиеся возможности по очереди:
А – из того, что самая высокая девушка имеет рост 185см, не следует никакой информации о росте остальных. Поэтому про группу А ничего определенного утверждать нельзя.
Б – пусть в этой группе 3 девушки: две ростом по 169 см, и одна 175 см. Тогда их средний рост равен, однако две из трех кандидаток не подходят под условие. Поэтому про эту группу нельзя утверждать, что хотя бы половина ее участницне ниже 170 см.
В – про эту группу тоже ничего не понятно, как и про А. Рост одной девушки ничего не говорит об росте остальных.
Г – по определению, если медиана набора чисел равна 170,5, то, по крайней мере, половина чисел этого набора не меньше 170,5. А значит не менее половины девушек из группы Г не ниже 170,5 см, что вполне удовлетворяет условию. Поэтому верный ответ: «Г».
Ответ: Г.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Часто сложность представляют чисто логические задачи на среднее значение и медиану, то есть задачи, где ничего считать не надо, а требуется только четко знать определение соответствующей характеристики.
Добавляет сложности и часто несколько запутанное условие .
Задача 1. Средний рост ученика в классе составляет 171см (то есть среднее арифметическое значений роста для всех учеников класса равно 171 см). Известно, что в классе учатся Вася Васин, чей рост равен 180см. Выберите верное утверждение:
А. В классе есть ученик ростом 162 см.
Б. В классе есть ученик ростом ровно 171 см.
В. В классе есть ученик ростом менее 171 см.
Г. Вася Васин – самый высокий ученик класса
Задача 2. Стюардесса должна иметь рост не менее 170 см. Есть четыре группы кандидаток в стюардессы: А, Б, В, Г. В какой из них, по крайней мере, половина девушек, может работать стюардессами, если выполнены следующие условия:
А – рост самой высокой девушки равен 185 см;
Б – средний рост девушек равен 171 см;
В – рост самой невысокой девушки 168 см;
Г – медиана роста девушек равна 170,5 см.
Рассмотрим традиционные задачи на вычисление среднего арифметического и медианы .
Задача 3. В таблице показано время (в минутах), которое тратит Петя на дорогу из школы домой каждый день в течении недели. Найдите среднее время, которое он тратит каждый день на дорогу из школы домой.
Пн
10
Вт
Ср
12
Чт
18
Пт
8
6
Сб
9
Решение.
Задачи могут быть усложнены, в таких случаях приходиться вычислять медиану и среднее арифметическое не один, а два или более раза.
Задача 4. В таблице показано время (в минутах), которое тратили Петя и Паша на дорогу из школы домой каждый день в течении недели.
Найти, кто из мальчиков в среднем тратил больше времени на дорогу, и на сколько минут.
Петя
Пн
Вт
Паша
10
12
Ср
13
18
Чт
7
8
Пт
8
Сб
6
9
9
11
9
Решение.
Задача 5. Костя в течении первой четверти получил следующие оценки по математике: 2,3,3, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 5. Найдите, насколько отличается медиана его оценок от его среднего балла.
Решение.
Выбор статистической характеристики для оценки явления.
Среднее арифметическое , медиана , мод а, взвешенное среднее и многие другие «средние» призваны показывать некоторое «характерное» , «типичное» значение варианты для данной выборки. Как мы видели в различных задачах, значение этих характеристик могут отличаться друг от друга, притом значительно. Обычно , когда в задачах говориться о среднем значении какой-то величины, имеется в виду именно среднее арифметическое значение этой величины. Как правило, более разумно «характеризующей» данную выборку величиной является среднее арифметическое , однако, это не всегда так.
В некоторых случаях медиана является более адекватной оценкой . Это происходит в тех случаях, когда данные содержат так называемые выбросы , то есть отдельные значения вариант , резко отличающиеся от остальных, например, в большую сторону. Эти выбросы заметно влияют на среднее арифметическое, а на медиану вследствие своей малочисленности влияние практически не оказывают.
Рассмотрим часто встречающийся пример:
Пример 2. В таблице показано количество драматических театров в российских городах-миллионерах.
Город
Кол-во театров
Москва
120
Санкт-Петербург
80
Казань
12
Новосибирск
9
Нижний Новгород
Омск
8
7
Пермь
7
Самара
5
Волгоград
5
Ростов-на-Дону
4
Екатеринбург
4
Челябинск
4
Решение.
Пример 3. В школе, где учится Илья, принята десятибалльная система оценивания.
В классе Ильи годовые оценки по геометрии – следующие:
8, 5, 4, 10, 4, 4, 4, 5, 4, 10, 4, 4, 6, 4, 4.
Найдите медиану, моду и среднее арифметическое этого набора оценок.
Какая из этих характеристик, на Ваш взгляд, лучше отражает среднюю оценку по геометрии в этом классе?
