Определение:
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моду совсем.
Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из этих чисел встречается два раза, а остальные числа встречаются в ряду менее двух раз, а в ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – моды нет.
Рассмотрим еще одну статистическую характеристику.
Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир
Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Не трудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел ( от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.
Приведем теперь другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили еще десятую. Получили такую таблицу:
Расход электроэнергии, в кВтч
Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93
В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел: . Число 80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы: слева от него находятся пять
80
членов ряда и справа тоже пять членов ряда:
64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93
Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.
Определение:
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n -1 членов, то медианой ряда является n-й член, так как n – 1 членов стоит до n-го члена и n – 1 членов – после n-го члена.
Если в упорядоченном ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n-м и n + 1-м местах.
В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номер квартиры, для которой расход электроэнергии жильцами превосходит срединное значение, т.е. медиану.
Рассмотрим еще один пример.
Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, ……, 3, 4, 4, ……., 4, 100
12 раз 16 раз
Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17– го и 18- го членов, т.е. равна (3 + 4) : 2 = 3,5
Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е. в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций. Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как все сотрудники, кроме одного, приобрели не более 4 акций.
Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют либо все три показателя, либо некоторые из них.
Если, например, анализируются сведения о годовых доходах нескольких туристических фирм города, то удобно использовать все три показателя. Среднее арифметическое покажет средний годовой доход фирм, мода будет характеризовать типичный показатель годового дохода, медиана позволит определить туристические фирмы, годовой доход которых ниже среднего показателя.
Если изучают данные о размерах мужской обуви, проданной в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое или медиану не имеет смысла.
При анализе результатов, показанных участниками заплыва на дистанцию 100 и, наиболее приемлемой характеристикой является медиана. Знание медианы позволит выделить для участия в соревнованиях группу спортсменов, показавших результаты выше среднего.
Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана называются средними результатами измерений.
