Статистические характеристики

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ № 54 имени П.М. ВОСТРУХИНА

Статистические характеристики.

Учебное пособие к занятию часть 1.

Разработчик:

Преподаватель математики

Т.Н. Рудзина

Статистические характеристики – это математические понятия , с помощью которых описываются отличительные особенности и свойства совокупности данных , полученных с помощью наблюдений или каким-то другим способом. Значение характеристик состоит еще и в том, что они «подсказывают» , с каких позиций целесообразно анализировать имеющуюся совокупность данных .

К статистическим характеристикам относятся:

среднее арифметическое , размах , мода , медиана .

Рассмотрим пример:

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное им на выполнения домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26 34, 25 .

Имея этот ряд данных , можно определит ь, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре.

Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12:

Число 27 , полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Определение :

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных: среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, средний суточный удой молока от одной коровы на ферме, среднюю зарплату одного рабочего бригады за смену и т.д. Заметим, что среднее арифметическое находят только для однородных величин. Не имеет смысла , например, использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур. Причем и для однородных величин вычисление среднего арифметического бывает иногда лишено смысла, например нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обуви…

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 мин., т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин., а наименьший – 18 мин. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19.

Определение :

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Определение :

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду .

Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моду совсем.

Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды – это числа 47 и 52 , так как каждое из этих чисел встречается два раза, а остальные числа встречаются в ряду менее двух раз, а в ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – моды нет.

Рассмотрим еще одну статистическую характеристику.

Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78 , 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Не трудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой , рассматриваемого упорядоченного ряда чисел ( от латинского слова mediana , которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведем теперь другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили еще десятую. Получили такую таблицу:

Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:

64, 72, 72, 75, 78 , 82 , 85, 88, 91, 93

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82 .

Число 80 , не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы: слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять членов ряда:

80

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93

Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80 .

Определение :

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2 n -1 членов, то медианой ряда является n -й член, так как n – 1 членов стоит до n -го члена и n – 1 членов – после n -го члена.

Если в упорядоченном ряду содержится 2 n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n -м и n + 1 -м местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану , мы можем указать номер квартиры, для которой расход электроэнергии жильцами превосходит срединное значение, т.е. медиану .

Рассмотрим еще один пример.

Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, ……, 3, 4, 4, ……., 4, 100

12 раз

16 раз

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17– го и 18- го членов, т.е. равна (3 + 4) : 2 = 3,5

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е. в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций. Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как все сотрудники, кроме одного, приобрели не более 4 акций.

Такие показатели, как среднее арифметическое , мода и медиан а, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют либо все три показателя, либо некоторые из них.

Если, например, анализируются сведения о годовых доходах нескольких туристических фирм города, то удобно использовать все три показателя. Среднее арифметическое покажет средний годовой доход фирм, мода будет характеризовать типичный показатель годового дохода, медиана позволит определить туристические фирмы, годовой доход которых ниже среднего показателя.

Если изучают данные о размерах мужской обуви, проданной в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем как мода , который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое или медиану не имеет смысла .

При анализе результатов, показанных участниками заплыва на дистанцию 100 и, наиболее приемлемой характеристикой является медиана . Знание медианы позволит выделить для участия в соревнованиях группу спортсменов, показавших результаты выше среднего.

Статистические характеристики : среднее арифметическое , мод а, медиана называются средними результатами измерений .