Цель: экспериментальным путем разгадать тайны листа Мебиуса
Задачи:
Изучить историю возникновения математического понятия "лист Мёбиуса".
Исследовать опытным путем свойства "листа Мёбиуса".
Сделать выводы о важности "листа Мёбиуса". Установить области его применения.
Объект исследования: лист Мебиуса.
Предмет исследования:свойства односторонней поверхности
Метод исследования:частично-поисковый, экспериментальный, аналитический.
Гипотеза: чем большебудет изучено литературыипроведено опытов с листом Мебиуса, тем больше появится новых вопросов и тем загадочней будет казаться этот объект исследования.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Опыты с листом Мёбиуса»
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
ПЕРСКИЙ КРАЙ, ГОРОД КУДЫМКАР
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«Гимназия № 3»
Опыты с листом Мёбиуса
Работу выполнил:
Щукин Владимир, ученик 7 «г» класса
Научный руководитель:
Нечаева Татьяна Юрьевна
Содержание
Введение………………………………………………………………………3
Глава 1. Открытие листа Мебиуса………………………………………...5
Глава 2. Мои опыты с листом Мебиуса……….………………………….6
Глава 3. Неориентируемые поверхности………………………………..11
Глава 4. Значение листа Мебиуса в жизни человека…………………...12
Заключение …………………………………………………………15
Список использованной литературы……………………………...16
Приложения …………………………………………………………17
«Лист Мебиуса – символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею–сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары…»
Иванова Н.Ю. [2, с. 134] Введение
Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях можно встретить необычный круг-ленту. «У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка» [1,с.242] . Ее называют "листом Мёбиуса". Сразу возникает вопрос «Почему эта лента вызывает такой интерес у художников и скульпторов?». Именно на него я и попытаюсь ответить в конце своей работы.
Интерес к данной теме возник после того, как учитель математики рассказала о том, что кроме планиметрии и стереометрии, которые мы изучаем в школе, есть еще другие разделы геометрии и самый «молодой» из них – топология. Я выяснил, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. И первым объектом ее исследования становится «лист Мебиуса».
Мне захотелось узнать как можно больше о нем еще и потому, что его часто называют загадочным. Посудите сами:«Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную — муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!» [3,с.17]. Отчего так происходит?
Цель: экспериментальным путем разгадать тайны листа Мебиуса
Задачи:
Изучить историю возникновения математического понятия "лист Мёбиуса".
Исследовать опытным путем свойства "листа Мёбиуса".
Сделать выводы о важности "листа Мёбиуса". Установить области его применения.
Объект исследования: лист Мебиуса.
Предмет исследования:свойства односторонней поверхности
Метод исследования:частично-поисковый, экспериментальный, аналитический.
Гипотеза: чем большебудет изучено литературыипроведено опытов с листом Мебиуса, тем больше появится новых вопросов и тем загадочней будет казаться этот объект исследования.
Глава I. Открытие листа Мебиуса
«17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мебиус. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Существует легенда, что открыть "лист Мёбиуса" помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и. не дождавшись, опубликовал её результаты в 1858 году.
Лист Мёбиуса
У листа Мёбиуса всего одна сторона, и это поразило немецких профессоров, так как считалось, что каждая поверхность имеет две стороны.
Лист Мёбиуса один из объектов в области математики под названием топология (по-другому "геометрия положения"). Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мебиуса.»[1, с. 241].
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
«С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать» [2, с. 132].
Чтобы изготовить лист Мёбиуса надо взять довольно-таки вытянутую полоску бумаги и соединить один конец с перевернутым вторым концом. Удивительно, что если оказаться на поверхности листа Мёбиуса, то можно идти по ней вечно, так возникает понятие о бесконечной поверхности.
Что произойдет, если покрасить только одну сторону листа Мебиуса не перходя за край ленты? Ответ на этот вопрос дают Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге "Что такое математика". Они пишут:"Если кто-нибудь попробует раскрасить "только одну" сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской"[6, с.15].
Я, конечно, с уважением отношусь к опыту «великих», но по возможности стараюсь убедится в этом на практике.
Глава II. Мои опыты с Листом Мебиуса
Говоря о листе Мебиуса, мы говорим о некоторой поверхности, в понятии которой много таинственности.
Чтобы изучить свойства листа Мебиуса, я провел несколько опытов, разделив их на две группы.
Первая группа опытов:
1. Лист Мебиуса я попробовал закрасить в два цвета – одним с внешней стороны, а другим - с внутренней стороны.
Результат: мне это не удалось.
2. Лист Мебиуса я красил, не переворачивая его.
Результат: лист Мебиуса закрасился полностью.
3. Я начал проводить карандашную линию вдоль полоски (листа Мебиуса).
Результат: я возвратился в исходную точку.
Значит, если мы будем двигаться вдоль края такой фигуры, то обнаружим, что он представляет собой одну непрерывную замкнутую линию (одну петлю).
Вывод. На основании этих опытов мне удалось убедиться в том, что лист Мебиуса имеет один край и одну сторону.
Вторая группа опытов.
Выполняя опыты с бумажной полоской, я удивился тому, сколь многое можно из нее извлечь, несмотря на то, что растяжения полоски невозможны. Результаты опытов я занес в следующую таблицу.
№ опыта
Число перекру-
чивания
Описание опыта
Результат
разрезания
Свойства
1
0
Простое кольцо разрезал по середине
2 листа
Длина окружности осталась прежней, но ширина в два раза уменьшилась.
2
1
Лист Мебиуса разрезал по- середине
1 лист
Л ист перекручен дважды, но вдвое длиннее и уже не является односторонней поверхностью
3
2
Получившийся лист разрезал по середине
2 листа
Два перекрученных дважды листа, длина которых не изменилась, а ширина уменьшилась в два раза.
4
3
Получившийся лист Мебиуса разрезал по- середине
1 лист
Перекручен 6 раз и вдвое уже двусторонняя поверхность
5
6
Получившийся лист разрезал по середине
2 листа
Два сцепленных листа, каждое из которых дважды перекручено, не являются односторонними поверхностями
6
1
Получившийся лист Мебиуса разрезал по двум пунктирным линиям, проведенным на равном расстоянии от краев ленты
2 листа
Один из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручен, двусторонняя поверхность. Он получился из краев исходной ленты. Другой лист – перекручен 1 раз и состоит из центральной части исходной ленты, является Листом Мебиуса
7
1
Получившийся лист Мебиуса разрезал по пунктирным линиям, нанесенным на ленту шириной 5 см, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см.
3 листа
Один шириной 1см и с одним перекручиванием, длина которого равна длине исходного кольца.
Второй и третий–с двумя перекрутами, ширина которых 1см и длина в два раза больше исходного кольца.
Второй и третий сцеплены с первым листом и между собой.
8
2
Получившийся лист разрезал по пунктирным линиям на равном расстоянии от края
2 листа
Два перекрученных дважды листа, длина которых осталась прежней, а ширина уменьшилась в 2 раза.
9
3
Получившийся лист Мебиуса разрезал по пунктирным линиям, нанесенным на ленту шириной 5 см, отступив от каждого края по 2 см
3 листа Мебиуса
Два сцепленных друг с другом листа, дважды перекрученные и ширина которых по 3см, а длина осталась та же.
Третий перекручен дважды, ширина которого 1см, а длина осталась прежней.
Первые два листа и третий между собой сцеплены.
10
0 и 1
Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии.
Квадрат-ная рамка
Вместо двух лент односторонней и двухсторонней получили двухстороннюю квадратную рамку.
Вывод.
1)лист Мебиуса – топологический объект, один край и одна сторона листа не связаны с его положением в пространстве и с понятием расстояния;
2) перекрученная четное количество раз лента не является односторонней поверхностью. Сколько раз не разрезать ее вдоль края, лист Мебиуса не получить. Лента же перекрученная нечетное количество раз является односторонней поверхностью и при ее разрезании могут получиться как односторонние, так и неодносторонние поверхности;
3) Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Глава III. Неориентируемые поверхности
Лист Мёбиуса— неориентируемая поверхность (поверхность не допускающая ориентацию с краем).
Близким "странным" геометрическим объектом является бутылка Клейна — (определённая неориентируемая поверхность). Ее можно получить, если склеить две ленты Мебиуса по краям. К сожалению на практике это сделать невозможно.
Это поверхность, в которой нет внутренней и внешней стороны . «Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Исходное название бутылки Клейна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Клейна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Клена" также вошел в обиход и в Германии» [5, с.48].
«Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Клейна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой» [1, с.243]..
Поверхность Клейна отличается от реальных бутылок тем, что у нее нет границы. В отличие от шара, муха, ползущая по поверхности бутылки Клейна, легко может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.
Глава IV. Значение листа Мебиуса в жизни человека
Лист Мебиуса в искусстве
Лист Мёбиуса – объект, который вдохновляет людей творчества. Немало существует скульптур и произведений графического искусства. Одним из художников, кто очень любил лист Мебиуса и посвятил ему ряд своих литографий был Эшер. «Одна из известных— лист Мёбиуса показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса .» [2,с.132]
Ювелиры посвящали свои работы ленте Мёбиуса ( приложение 5)
Поэты посвящали листу Мебиуса стихи:
«Лист Мёбиуса – желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.» [3,с.9]
А вот еще стихотворение Вадима Соколова
«Как замыкается пространство В бессрочной ленте бытия, Где не мешает слов убранство, Поступков лживости змея. Бескомпромиссно, непорочно, Бесстрастно в вечности своей. Одностороннее построчно, Объемно в матрице полей. Незрима грань ума и сердца. Её попробуй пересечь… Придется только там вертеться, Где точка всех разлук и встреч. Как странна точка перегиба, Что отделяет жизнь и смерть…. В жизнь прибегаешь торопливо, Боясь, наверно, не успеть Пройти весь длинный путь до срока… Бежишь, не видя ничего, И в том, что выбрал ты, нет прока… И счастье-то – несчастливо, Беда, ведь, в сущности, не горе, А горе – вовсе не беда… Вот, себялюбие – в позоре, А глупость – горе навсегда. И всё бежишь, не зная меры. Дверь приоткрыта, вечность ждёт… Ты здесь один, и всё без веры…. А благодать к тебе сойдет? Да полно ждать благословенья, Когда граница всех дорог Уж пред тобой. Одно мгновенье – И вот уже нажат курок,
Не пистолета, не винтовки, Судьба-оружие бьет цель. И, как всегда, наизготовку, Кладет на черную постель. Преодолев земные страсти, Пути другие ты пройдешь. Ты будешь прежним лишь отчасти, Когда сюда ты вновь придешь. Так замыкается пространство В бессрочной ленте бытия. Всегда наш путь – дорога странствии
И поиск именно себя.»
[http://umiranie.chat.ru/sphere.htm]
Лист Мёбиуса в технике
Существовуют технические изобретения с использованием ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейра выпонялась в виде ленты Мёбиуса, это позволяло продлить срок эксплуатации, так как вся ее поверхность изнашивалась равномерно. Старые магнитофонные ленты изготовлялись в форме листа мебиуса, это позволято удвоить время записи. «Устройство под названием "резистор Мёбиуса» — это недавно изобретённый электронный элемент(приложение 3) [http://www.frei.ru/golos/books/].
«Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.
А так же лист Мёбиуса есть в трансформаторе» [http://umiranie.chat.ru/sphere.htm].
Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. «Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
А в 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях односторонние кристаллы в форме мёбиусной ленты» [http://arbuz.uz/t_lenta.html].
Лист Мёбиуса в научной фантастике
Лист Мёбиуса можно встретить в научной фантастике, например в рассказе "Стена Темноты". Иногда научно - фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть листом Мёбиуса. «В рассказе "лист Мёбиуса" автора А.Дж.Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда» [4,с.93].
А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?". [http://www.frei.ru/golos/books/]
Очень интиресный факт, посвящённые Ленте Мёбиуса
Именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны ( приложение 6)
Шарф-Мёбиус
В процессе выполнения опытов мне пришла идея сшить концы старого маминого шарфа по принципу листа Мёбиуса. Получился очень эффектный аксессуар, отлично дополняющий как верхнюю одежду, так и другие предметы гардероба(приложение 8).
Заключение
В ходе своего исследования я прочитал и проанализировал большой объем информации, взятый из различных источников. Провел ряд опытов, которые помогли мне в полной мере понять и осознать необычные свойства листа Мебиуса, убедится в том, что существуют односторонние поверхности, что это не выдумки фантастов, а вполне реальные объекты, которые можно сотворить своими руками.
. Таким образом, используя частично - поисковый, экспериментальный, аналитический методы, опираясь на теорию о листе Мебиуса, на его конструирование я делаю следующие выводы:
Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мёбиуса сохраняет свои свойства, если ее не разрезают, не разрывают или не склеивают ее отдельные куски.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной.
Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин тем, что она бесконечна, как пространство, а значит всегда остается момент таинственности, неразгадонности, величия.
Ее необыкновенные свойства порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и в какой-то степени нереальных), а также множество фантастических рассказов.
Однако, хочется признаться , что чем больше опытов я проводил, тем более удивительны и непредсказуемы были их результаты. Это значит, что лист Мебиуса всегда будет волновать умы людей своей загадочностью, бесконечностью поворотов и в какой-то степени таинственностью.
Результатами своего исследования о листе Мебиуса я поделился с учащимися 6-7 классов нашей гимназии. Убедился, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. [см. приложение 7].
Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса.
Список литературы
1. Энциклопедия "Я познаю мир" - М:«Наука»,2001, стр. 241-245
2. Внеклассные задания 8-9 класс (А.С.Громов) - М: «Просвещение»,1992, стр.132-139
3. Научно-популярный журнал "Квант" 1975год №7,стр. 17-18, 1977 №7, стр.9-10
ист перекручен дважды, но вдвое длиннее и уже не является односторонней поверхностью
Близким "странным" геометрическим объектом является бутылка Клейна — (определённая неориентируемая поверхность). Ее можно получить, если склеить две ленты Мебиуса по краям. К сожалению на практике это сделать невозможно.
Лист Мёбиуса – объект, который вдохновляет людей творчества. Немало существует скульптур и произведений графического искусства. Одним из художников, кто очень любил лист Мебиуса и посвятил ему ряд своих литографий был Эшер. «Одна из известных— лист Мёбиуса показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса .» [2,с.132]
3:
4:
5:
6:
