Методические Рекомендации на тему "Метод координат"

Метод координат

В тестах ЕГЭ задания части 1 (В₁–В₁₄) и заданиях С₁, С₂ являются стандартными с точки зрения школьной программы. Помимо заданий практико-ориентированного блока здесь предлагаются задачи на понимание основных фактов и идей школьного курса математики, а также задачи, где нужно решить уравнения, найти элементы пространственной фигуры, исследовать функцию и т.д. Для решения заданий С₂ необходим очень большой багаж знаний по геометрии, а также умение изображать пространственные фигуры на плоскости. Я остановлюсь только на одном виде решений задач С₂. Это метод координат. Иногда он очень удобен для нахождения углов между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью и т.п. Для решения таких задач нам понадобятся уравнения плоскости и прямой.

1. а) Уравнение плоскости

,

где А (x₁; y₁; z₁), B (x₂; y₂; z₂), C (x₃; y₃; z₃) – точки данной плоскости.

б) Уравнение прямой

,

где M (x₁; y₁), N (x₂; y₂) – точки данной прямой.

Зная уравнения плоскостей, мы можем найти угол между ними по формуле

если α – угол между плоскостями

=0 и =0.

Зная уравнения прямых, мы можем найти угол между ними по формуле

если α – угол между прямыми с направляющими векторами ) и ).

Рассмотрим некоторые задания С₂, где можно использовать метод координат.

Задача 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁. Стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре DD₁ отмечена точка F так, что DF : FD₁ = 2:3. Найдите угол между плоскостями ADC и AFC₁.

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Вершины А(3; 0; 0); B(0; 0; 0); C(0; 3; 0) принадлежат плоскости (ABC).

Можем составить уравнение этой плоскости.

;

Упростим и получим уравнение плоскости (ABC):

Вершины А(3; 0; 0); F(3; 3; 2); C₁(0; 3; 5) принадлежат плоскости (AFC₁). Можем составить уравнение этой плоскости.

,

упростим и получим уравнение .

Теперь найдем косинус угла между этими плоскостями

Часто ответы в этих задачах дают через тангенсы. Можно найти tgα по формуле ; и .

Ответ: .

Примечание: вычислить определитель третьего порядка можно по формуле

Можно эту формулу записать по-другому

.

Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 2, высота равна 3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Найдите косинус угла между прямыми A₁M и B₁C.

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Векторы и являются направляющими векторами прямых AC₁ и B₁C. Найдем координаты этих векторов. Сначала находим координаты точек A₁; M; B₁; C.

А₁ (0; 0; 3); B₁ (; 1; 3); С (0; 2; 0); M (; ; 0).

Теперь координаты направляющего вектора находим по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала. (; ; –3) и также (; 1; –3).

А теперь находим косинус угла между прямыми A₁M и B₁C по формуле

Ответ: .

2. Рассмотрим формулу нахождения угла между прямой и плоскостью.

если α – угол между прямой и плоскостью

, ( – направляющий вектор.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде MNPQM₁N₁P₁Q₁ ребра MN=15, MQ=MM₁=8. Найдите угол между QP₁ и плоскостью QPN₁.

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Вектор направляющий для прямой QP₁. Найдем его координаты.

Q (15; 8; 0); P₁ (0; 8; 8); (–15; 0; 8).

Теперь найдем уравнение плоскости (QPN₁).

Q (15; 8; 0); P (0; 8; 0); N (0; 0; 8).

;

Теперь найдем угол между и плоскостью

Ответ:

Задача 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ высота равна 4, AB=4. Найдите угол между прямой AC₁ и плоскостью ACD₁.

Решения

Введем прямоугольную систему координат. Для прямой AC₁ направляющий вектор .

А (; –2; 0); C₁ (0; 4; 4); (; –6; 4).

Составим уравнение плоскости (ACD₁). А(; –2; 0); C(0; 4; 0); D₁(; 6; 4).

;

Теперь найдем угол между прямой AC₁ и плоскостью (ACD₁).

Ответ: