Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №68 г. Челябинска

имени Родионова Е.Н.

Адрес: 454078, г.Челябинск, ул. Вагнера, 70а

E-mail: [email protected]

Задачи на построение.

Построение треугольника по трем элементам.

Ф.И.О.: Юмина Кристина Юрьевна

Должность: учитель математики

Квалификационная категория: вторая категория

Предмет: геометрия

Челябинск, 2015

Предмет: Геометрия

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Учитель: Юмина Кристина Юрьевна

Класс: 7

Технология: Компьютерная (новая информационная) технология обучения

Конспект учебного занятия:

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. Класс: 7

Дата:

Оборудование: циркуль, транспортир, линейка, компьютер, проектор, презентация, рабочая карточка для каждого ученика (Приложение 1), карточка с домашним заданием для каждого ученика (Приложение 2).

Учебник: Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2010 – 384с.

Форма урока: Изучение нового материала. Практическая работа

Цели урока:

1. Образовательная

1. Обобщить знания по теме: «Задачи на построение с помощью циркуля и линейки»;

2. Отработать навыки построения треугольника по трем его элементам.

1. Развивающая

1. Способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

2. Способствовать развитию памяти учащихся.

1. Воспитательная

1. Способствовать воспитанию интереса к предмету;

2. Способствовать воспитанию личностных качеств: активности, самостоятельности, аккуратности в работе.

План урока (45 мин):

1. Организационный момент (3 мин)

2. Повторение (8 мин)

3. Изучение нового материала (20 мин)

4. Физкультминутка (2 мин)

5. Первичное закрепление (5 мин)

6. Итог урока (3 мин)

7. Ответы на вопросы учащихся (2 мин)

8. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учащихся.

1. Повторение

На дом учащимся было задано задание повторить задачи на построение с помощью циркуля и линейки: построить отрезок, равный данному; построить угол, равный данному.

1. Сегодняшний урок мы начнем с проверки домашнего задания, а поможет нам в этом компьютер. Итак, все внимание на экран.

(проверка домашнего задания, презентация)

1. Какие теоремы мы использовали при доказательстве в этих задачах на построение? (первый, второй и третий признак равенства треугольников)

Учащиеся формулируют эти признаки:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Таким образом, для успешного изучения задач на построение нам необходимо знать:

1. Во-первых, как строить отрезок равный данному и угол равный данному.

2. Во-вторых, признаки равенства треугольников.

3. Изучение нового материала

Тема сегодняшнего урока: «Построение треугольника по трем его элементам».

Давайте с вами подумаем и ответим на такой вопрос: «Какие элементы есть в треугольнике?» (3 угла и 3 стороны). Таким образом, получается всего 6 элементов. А нам для построения треугольника необходимо всего 3. Давайте с вами подумаем над таким вопросом: «Какие 3 элемента необходимы для построения треугольника?» (2 стороны и 1 угол, 2 угла и 1 сторона, 3 стороны, а 3 угла – не подходят, т.к. треугольники мы получим не равные, а подобные. Что это означает, мы с вами будем изучать в 8 классе).

Цель нашего урока: рассмотреть и доказать алгоритмы задач на построение треугольника по трем его элементам с помощью циркуля и линейки. А именно:

1. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними;

2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к нему углам;

3. Построить треугольник по трем сторонам.

Таким образом, чтобы построить треугольник по трем элементам, нужно сначала уметь строить отрезок, равный данному и угол равный данному. Конечно, это можно сделать с помощью линейки с делениями и транспортиром, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без деления.

Любая задача на построение состоит из 4 основных этапов:

1. Анализ

2. Построение

3. Доказательство

4. Исследование

Анализ. На этом этапе происходит отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

Построение – происходит построение по намеченному плану.

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи.

Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько именно.

Обращаю ваше внимание на то, что в 7 классе этап анализа решения задачи не проводится, т.е. мы ограничиваемся только тремя этапами: построение, доказательство, исследование.

Итак, приступим к построению треугольника по 3 его элементам.

Начнем с задачи №1: Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними.

Дано:

Построение:

1. Построить угол М, равный заданному углу А.

2. На одной стороне угла отметить точку К так, чтобы отрезок МК был равен заданному отрезку АВ.

3. На другой стороне угла отметить точку N так, чтобы отрезок MN был равен заданному отрезку АС.

4. Соединить с помощью линейки точки K и N.

5. Построен треугольник MKN по двум сторонам и углу между ними.

Запись на доске:

1. M = A

2. MK=AB

3. MN=AC

4. KN

5. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по первому признаку

Исследование: задача всегда имеет 4 решения.

Давайте с вами подумаем и ответим на вопрос: Чему равна сумма всех углов треугольника? (180⁰) А может она быть больше 180⁰? (Нет) А может она быть меньше 180⁰? (Нет)

Задача №2: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано:

Построение:

1. Построить отрезок MN, равный заданному отрезку AB.

2. Построить угол M, равный заданному углу А.

3. Построить угол N, равный заданному углу B.

4. Точка пересечения двух сторон углов M и N – вершина треугольника K.

5. Построен треугольник MKN по стороне и двум заданным углам.

Запись на доске:

1. MN=AB

2. M = A

3. N = B

4. M ∩ N =K

5. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по второму признаку

Исследование: задача всегда имеет 2 решения, если сумма двух углов треугольника меньше 180⁰.

Прежде, чем приступить к решению третей задачи, давайте с вами вспомним, а какое условие должно выполняться, чтобы треугольник существовал?

(Должны выполняться неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.)

Задача №3: Построить треугольник по трем сторонам.

Дано:

Построение:

1. Построить отрезок MN, равный заданному отрезку AB.

2. Из точки M провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку АС.

3. Из точки N провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку CB.

4. Эти окружности пересекаются в точке К.

5. Соединяем точку М с точкой К и точку N с точкой К.

6. Построен треугольник MKN по трем сторонам.

Запись на доске:

1. MN=AB

2. Окр1 (M, AC)

3. Окр2 (N, CB)

4. Окр1∩Окр2=К

5. MK, NK

6. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по третьему признаку

Исследование: задача имеет 2 решения, если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Иначе, решений нет.

1. Физкультминутка

(Проводит один из учеников, по желанию)

Одолела вас дремота, (Зеваем)

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись, (Руки вверх, потянулись)

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире. (Руки в стороны)

Раз, два, три, четыре.

Наклониться — пять, шесть (Наклоны туловища)

И на месте поскакать. (Прыжки на месте)

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

1. Первичное закрепление

После отдыха учащиеся самостоятельно решают задачи, а учитель ходит и контролирует правильность выполнения заданий. Если кто-то не справляется, учитель объясняет план решения задачи. Те учащиеся, которые самостоятельно справились с решением задач, получают оценки. (Приложение 1)

1. Итог урока

1. Что нового узнали на уроке? (С помощью циркуля и линейки можно строить не только отрезок равный данному и угол равный данному, а еще и треугольники по трем его элементам)

2. Всегда ли можно построить треугольник по трем его сторонам? (Нет, это возможно, только если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон)

3. Выставление оценок за урок.

1. Ответы на вопросы учащихся

1. Домашнее задание (Приложение 2)

1. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110⁰.

2. Построить треугольник ВСР, если С = 15⁰, Д = 50⁰, СД = 3 см.

3. Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо построить все заданные элементы в натуральную величину.

Приложение 1

Вариант 1.

Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 35⁰.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Вариант 2

Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 130⁰, О = 20⁰.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Вариант 3

Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2 см, ЕО = 3 см.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Приложение 2

Домашнее задание по геометрии

1. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 110⁰.

2. Построить треугольник ВСР, если С = 15⁰, Д = 50⁰, СД = 3 см.

3. Построить треугольник МНО, если МН = 5 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо построить все заданные элементы в натуральную величину.

11