Урок "Классическое определение вероятности"

Данный урок направлен на закрепление основных понятий раздела математики "Теория вероятностей": виды событий, ипытание, исход, классическое определение вероятности. Рассматривается вопрос о развитии теории вероятностей как науки. Урок проходит в необычной форме. Поскольку изначально теория вероятности возникла из потребностей в азартных играх, на уроке используются элементы таких экспериментов для выбора учащихся, которые должны будут решать задачи у доски. При составлении задач используется принцип дифференцированного подхода к обучению.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Урок "Классическое определение вероятности"»

Тема: Классическое определение вероятности.

Цели: образовательные: познакомить студентов с историей развития теории вероятностей; закрепить знания основных понятий раздела; формировать навыки решения задач на определение вероятности по ее классическому определению, а также с использованием основных формул комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания); организовать дифференцированный подход при решении задач; показать практическую направленность изучаемого вопроса;

развивающие: развивать логическое мышление, умение делать выводы в результате взаимосвязанных умозаключений, построенных на анализе ситуации, внимание, память, речь в ходе устных ответов и объяснений решения задач; развивать математическую речь путём введения в активный словарь основных понятий изучаемого раздела;

воспитательные: воспитывать стремление добиваться наилучших результатов, культуру речи, умение доказывать и обосновывать свою точку зрения, чувство ответственности.

Тип урока: урок- практикум (формирование умений и навыков)

Оборудование: мультимедийный проектор; презентация к уроку; карточки с задачами базового уровня сложности; лотерейные билеты для первой группы студентов; бочонки из игры «Лото», 2 игральные кости; колода карт.

План урока

Оргмомент (отчет дежурного, тема и цели урока)

Вводное слово учителя.
Защита проекта «Из истории развития теории вероятностей».
Теоретическая разминка – кроссворд.
Практическая часть – дифференцированное решение задач по группам (3 группы).
Итог урока.
Задание на дом.

Ход урока

Вводное слово учителя.

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Подчеркнем, что со случайными явлениями мы вынуждены сталкиваться не время от времени, а постоянно. Случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными или стохастическими. Изучением этих закономерностей занимается теория вероятностей. А как зарождалась и развивалась эта наука, нам расскажет Артур. Это было его домашнее задание – подготовить творческий проект по данной теме.

Защита проекта «Из истории развития теории вероятностей».
Теоретическая разминка – кроссворд.

Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

В теории вероятности тоже есть основное понятие. И чтобы узнать его разгадайте ребус.

В теории вероятности основным является понятие события - это явление, которое происходит в результате осуществления каких - либо условий.

А виды событий мы вспомним с помощью кроссворда, (Приложение 1), где нужно будет не только вписать отгадываемые слова, но и привести свои примеры каждого понятия. А в центре мы получим слово, характеризующее степень вашей готовности к сегодняшнему уроку.

Как в теории вероятностей называется результат проводимого опыта, эксперимента? (ИСХОД) – при подбрасывании монеты возможны 2 исхода – «Орел», «Решка»; при стрельбе по мишени – «Попадание» и «Промах».
Как называются события, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого, т.е. события не могут произойти одновременно? (НЕСОВМЕСТНЫЕ) – при бросании монеты не может одновременно выпасть и «орел» и «решка», при выстреле невозможно попасть и не попасть по мишени; при подбрасывании кубика не может выпасть одновременно 4 и 5 очков. Совместные события – вытащил из колоды карт даму и она оказалась пиковой масти.
Как называется событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате испытания? (СЛУЧАЙНОЕ) – завтра погода может быть хорошей, а может быть плохой; студент может сдать экзамен, а может и не сдать.
Как по-другому в теории вероятностей называют проводимый опыт, эксперимент? (ИСПЫТАНИЕ) – подбрасывание монеты, бросание игрального кубика, вытаскивание карты из колоды, стрельба по мишени, бросание мяча в корзину.
Как называется определение вероятности произвольного события А, равной отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных исходов? (КЛАССИЧЕСКОЕ). Что значит исход, благоприятствующий событию А? - Исход опыта называется благоприятным для события, если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .
Как называется событие, если в результате испытания оно заведомо не может произойти? (НЕВОЗМОЖНОЕ). Чему равна вероятность невозможного события? – при броске игральной кости выпадает 7 очков, подбросили камень, а он не упал; в урне все шары черные – невозможно достать белый шар.
Как называется событие, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания? (ДОСТОВЕРНОЕ). Чему равна вероятность достоверного события? – после зимы наступает весна; если в корзине все шары черные – достать черный шар – достоверное событие; зимой выпадает снег.

По центру кроссворда получилось слово «ОТЛИЧНО». Вы отлично справились с данным испытанием.

Практическая часть – дифференцированное решение задач по группам (3 группы).

Классическое определение вероятности следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей. Оно служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходы опытов в каком-либо смысле симметричны, и поэтому представляется естественным предположение об их равновероятности. Такие ситуации часто возникают в различных играх: карточные игры, игры в кости, лото и т.д. В других случаях, например, при организации лотерей, организации выборочного контроля продукции или выборочных статистических исследований равновероятность организуется специально.

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

Например, если я провожу эксперимент и даю вам задание написать число от 1 до 100, то здесь речь идет о конечном множестве числа исходов (всего 100 чисел). А вот если я просто скажу вам: напишите какое-нибудь число, то здесь множество числа исходов неограниченное (бесконечное).

Итак давайте запишем на доске формулу для вычисления вероятности по классическому определению:

Итак, переходим к практической части нашего урока. Заранее мы разделились с вами на три группы, для каждой из которых проведем свой эксперимент. Первой группе ребят предстоит решить задачи базового уровня, и среди них мы проведем лотерею, кому решать какую задачу. Для этого сейчас каждый из вас вытянет билетик с номером. Я буду из мешка тянуть бочонок, и чей номер выпадет, тот идет решать задачу. Задачу вы также определите для себя случайным образом. Все задачи написаны на карточках и перевернуты. Вы достаете любую карточку, читаете нам условие задачи и выполняете ее на доске.

Простые задачи. Розыгрыш - лотерея

В фирме такси «Лидер» имеется 6 красных, 4 желтых, 2 белых и 3 черных автомобиля. Саша вызвал такси, и диспетчер направил по адресу машину, которая ближе остальных находилась к Сашиному дому. Какова вероятность того, что на вызов приедет черный автомобиль?
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из США, 3 из Китая, 7— из Германии, а остальные из России. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из России.
В среднем из 100 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос окажется качественным).
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете студенту не достанется вопроса по теории вероятностей.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что случайно купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 45 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Переходим к следующим задачам «среднего» уровня сложности. Для этого во второй группе ребят, которые должны будут решать задачи у доски будем определять тоже случайным образом – с помощью подбрасывания игральной кости. Пара бросает игральную кость. Тот, у кого выпадет большее число очков – побеждает и, следовательно, остается на месте. А тот, кому «не повезло», идет решать задачу к доске. Текст задачи мы увидим на экране до того, как решим, кому придется ее решать.

Пара.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза; хотя бы 2 раза. Распишите полную группу событий данного испытания (всевозможные исходы).

I	II	III	Решение.
О	О	О	а) А: «Орел выпадет ровно 2 раза» n=8 - всего исходов m=3- благоприятных исходов (когда орел выпадет 2 раза) p(A)= б) А: «Орел выпадет хотя бы 2 раза» (значит, 2 или 3 раза) таких вариантов m=4 p(A)=
О	О	Р
О	Р	О
Р	О	О
О	Р	Р
Р	О	Р
Р	Р	О
Р	Р	Р

пара

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет не более 6 очков. Результат округлите до сотых. (0,42)

I	II	Решение.
1	1 2 3 4 5 6	А: «в сумме выпало не более 6 очков» n=6*6=36 - всего исходов (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (3;1), (3;2), (3;3), (4;1), (4;2), (5;1) m=15- благоприятных исходов (когда сумма очков на обоих кубиках меньше или равна p(A)=
2	12 3 4 5 6
3	12 3 4 5 6
4	12 3 4 5 6
5	12 3 4 5 6
6	12 3 4 5 6

3 пара.

Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают две карточки. Найти вероятность того, что двузначное число, составленное из этих карточек - четное.

I цифра	II цифра - четная	Решение.
1	2 4 6 8 – 4 числа	А: «двузначное число - четное» 10,11,…,99 Всего двузначных чисел 99-9=90 Среди них нет: 10,20,…,90 – 9 чисел (т.к. нет карточки с 0) Также нет чисел с одинаковыми цифрами, так как каждая цифра записана только 1 раз: 11,22,…99 – 9 чисел. Значит, всего n=90-9-9=72 числа Всего 5 нечетных цифр (на 1 месте) – по 4 четных числа, всего 20 вариантов Четных цифр – 4 (на 1 месте) – по 3 четных числа, всего 12 вариантов m=20+12=32- благоприятных исхода p(A)=
2	4 6 8 – 3 числа
3	2 4 6 8 – 4 числа
4	2 6 8 – 3 числа
И т.д.

пара.

Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

I	II	III	Решение.
1	1	4	А: «Во всех ящиках разное число шаров» n=10 - всего исходов m=6- благоприятных исходов (1,2,3), (2,1,3), (1,3,2),(2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) p(A)=
1	4	1
4	1	1
2	2	2
2	1	3
2	3	1
1	2	3
1	3	2
3	1	2
3	2	1

Задачи повышенного уровня сложности

Прежде чем перейти к решению более сложных задач, нам предстоит вспомнить такие комбинаторные конструкции как размещения, сочетания и перестановки.

Сейчас я зачитаю примеры, а вам нужно будет определить о каких комбинациях идет речь и назвать соответствующую формулу, позволяющую подсчитывать количество вариантов в каждой комбинации.

Пример №1. Сколькими способами можно расставить 10 человек в одну шеренгу? (Это ПЕРЕСТАНОВКИ из 10 элементов, здесь просто люди меняются местами).

Пример №2. Сколькими способами можно разложить 10 учебников на полке, среди которых 3 учебника геометрии и 2 учебника алгебры? (ПЕРЕСТАНОВКИ с повторениями, т.к. те же 10 элементов просто меняют местами. Но, если учебники геометрии в первый раз были расположены на 1 и 2 местах, а во второй раз их поменяли местами, суть комбинации от этого не изменится).

Пример №3. Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных из класса, если в нем обучаются 25 человек? (Это СОЧЕТАНИЯ, так как в этих выборках не важно, кого выберут первым, а кого вторым. В паре Маша, Саша или Саша, Маша порядок не имеет значения. Считается, что это один из возможных вариантов дежурных).

Пример №4. Сколькими способами можно составить расписание учебных занятий в группе, если всего изучается 15 предметов, а в день должно стоять 6 уроков? (Это РАЗМЕЩЕНИЯ, так как в этих выборках важен порядок расположения предметов. То есть набор «Математика, биология, русский язык, история, химия, физкультура» и набор, состоящий из тех же предметов, но уже в другом порядке, считаются различными.

«Счастливчиков», которым предстоит решать задачи у доски, мы тоже определим с помощью жребия: вам предстоит из колоды карт вытащить по одной карте. Тот, у кого окажется карта меньшего достоинства, идет решать задачу к доске. Карты в колоду не возвращаем. Если вы достанете карты одинакового достоинства, опыт повторяем. (После того, как первый студент вытянет карту, второму предложить оценить свои шансы на победу).

1 пара.

Перестановки. Перестановки с повторениями

а) Ребенок имеет на руках 4 кубика с буквами: А,М,Р,Т. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "МАРТ"?

Р₄=4!=1*2*3*4=24; Р(А)=

б) Ребенок имеет на руках 4 кубика с буквами: К,К,О,С. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "КОКС"? Перечислите все возможные варианты.

в) Ребенок имеет на руках 4 кубика с буквами: А,А,П,П. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "ПАПА"? Перечислите всевозможные варианты.

2 пара.

Сочетания.

В классе 15 человек, из них 6 отличников. Для участия в конкурсе отбирается группа, состоящая из 4 человек. Какова вероятность того, что в эту группу попадут 2 отличника?

Всего группу из 4 человек из всего класса 15 человек можно выбрать

2 отличников из 4 можно выбрать:

р(А)=

Итог урока.

Ребята, давайте подведем итог урока.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО!!!

Сейчас я буду приводить вам примеры событий, а вы должны определить, какое оно – случайное, достоверное, невозможное.

в августе у студентов будут каникулы (достоверное);
завтра будет солнечно (случайное);
в 11-м классе школьники не будут изучать алгебру (невозможное);
при включении света, лампочка перегорит (случайное);
хотя бы один человек на планете сегодня отмечает свой день рождения (достоверное);
подбросили 2 игральные кости. В сумме выпало 13 очков (невозможное).

Скажите мне, пожалуйста, на самом ли деле вам приходится в жизни сталкиваться с вычислением вероятности, прикидкой своих шансов, оцениванием результатов? Можете ли вы привести такие примеры?

Задание на дом.

Выполнить самостоятельную работу (по карточкам индивидуально) не все, а только тем, кто мало работал на уроке, или кто не согласен со своей оценкой.

Вариант 1

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 10 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.
В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по конденсаторам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по конденсаторам.
На семинар приехали 7 ученых из России, 6 из Голландии и 7 из Финляндии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что третьим окажется доклад ученого из Финляндии.
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Вариант 2

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает .
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Франции и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Франции.
В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 6 из них встречается вопрос по Канту. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по Канту.
На семинар приехали 6 ученых из Великобритании, 7 из Хорватии и 2 из Норвегии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым окажется доклад ученого из Великобритании.
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 45 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Вариант 3

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.
В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 17 из них встречается вопрос по странам Африки. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по странам Африки.
На семинар приехали 7 ученых из Венгрии, 5 из Португалии и 2 из Португалии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым окажется доклад ученого из Венгрии.
Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 24 доклада, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Вариант 4

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 19 из России, 14 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 13 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.
На семинар приехали 3 ученых из Швейцарии, 5 из Голландии и 4 из Франции. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым окажется доклад ученого из Швейцарии.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?