Конспект урока "Классическое определение вероятности"

Всероссийский фестиваль педагогического творчества (2015/16 учебный год).

Номинация: Педагогические идеи и технологии профессионального образования

Методическая разработка

урока математики

Тема: «Классическое определение вероятности»

Разработала:

Зинченко Татьяна Алексеевна, преподаватель математики

Сургутского нефтяного техникума (филиала)

Федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего

профессионального образования

«Югорский государственный университет»

Сургут, 2015 г.

Тема «Классическое определение вероятности»

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с новым разделом математики: "Теория вериятности", с ее основными понятиями и задачами. Систематизировать знания по теме: «Элементы комбинаторики. События». Формировать умения решать задачи на определение вероятности с использование основных формул комбинаторики. Показать практическую направленность изучаемого вопроса.

2. Развивать логическое мышление, умения делать выводы, в результате взаимосвязанных умозаключений, построенных на анализе ситуации, внимание, память, речь в ходе устных ответов и объяснений решений задач; развитие математической речи путём введения в активный словарь основных понятий изучаемого раздела.

3. Воспитывать стремление добиваться наилучших результатов, умение рефликсировать.

Тип урока: формирование новых знаний

Формы организации учебной деятельности обучающихся: коллективная и индивидуальная.

Методы работы: рассказ, беседа, демонстрация (презентаций).

Оборудование

• Презентация

• Плакат с формулами комбинаторики.

• Кроссворды

• Задачи, по изучаемой теме

• Выдержки из методических рекомендаций для студентов очной формы обучения, по изучаемой теме.

Ход урока

1. Орг. момент ( 1 – 2 мин)

2. Актуализация знаний ( 15 мин)

3. Формирование новых знаний ( 30 мин)

4. Закрепление новых знаний ( 20 мин)

5. Итог урока (11 мин)

6. Домашнее задание ( 2 мин)

Ход урока

1. Орг. Момент

Здравствуйте. Сегодня на уроке мы познакомимся с самым азартным разделом математики : «Теорией вероятности». Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.

Обратимся к словам одного из них. Блез Паскаль говорил: «Случайные открытия делают только подготовленные умы». Вот и займемся этим, подготовим наш ум для открытий.

1. Актуализация знаний

Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

В теории вероятности тоже есть основные понятия. И чтобы узнать его разгадаем ребус.

В теории вероятности основным является понятие события.

Данный вопрос вы изучали самостоятельно, проверим.

Что такое событие? ( СОБЫТИЕ – это явление, которое происходит в результате осуществления каких -либо условий).

А виды событий мы вспомним с помощью кроссворда. (Приложение 1)

ГОРИЗОНТАЛЬ:

1. Данные события по отношению друг к другу являются:

А – «Буровая бригада бурит скважину № 5 на Федоровском месторождении»

В – «Эксплуатационная бригада, производит добычу нефти из скважины № 5 на Федоровском месторождении» (несовместными).

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

1. Данные события:

А – «Студент успешно сдал сессию»

В – «Студент не сдал сессию» (ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ)

Событие называется противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А, и наоборот.

1. С помощью данной формулы: вычисляются (РАЗМЕЩЕНИЯ) Соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

2. А – «В 2010 году будет освоена новая скважина на Федоровском месторождении» (СЛУЧАЙНОЕ) Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

ВЕРТИКАЛЬ:

1. Соединения, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов (ПЕРЕСТАНОВКИ)

2. Данные события по отношению друг к другу являются:

А – «Оператор Иванов работает ЦДНГ(цех добычи нефти и газа) № 5 Федоровскнефть»

В – «Оператор Иванов является студентом СНТ» (СОВМЕСТНЫМИ)

Два события А и В называют совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

6) Событие А – «Сессия когда – нибудь закончится» (ДОСТОВЕРНОЕ)

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

7) Это действие в комбинаторике обозначают восклицательным знаком. (ФАКТОРИАЛ) Произведение всех натуральных чисел начиная с единицы до n.

8) А – «Планируемый показатель дебита скважины №2 Федоровского месторождения на 30 февраля 2010 г. составит 50 тонн» (НЕВОЗМОЖНОЕ)

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

9) Соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (СОЧЕТАНИЯ)

10) Плох тот студент, который не мечтает видеть эту цифру в своей зачетке. (ПЯТЬ)

Составьте из выделиных букв слово (Вероятность). Это еще одно из основных понятий теории вероятности и нам предстоит разобраться с фразой «Вероятность наступления этого события равна».

3. Формирование новых знаний.

Блез Паскаль сказал: «Доводы, до которых человек додумался сам, обычно убеждают его больше, нежели те, которые пришли в голову другим».

Вашему вниманию предлагается задача. (Приложение 2)

Поздним декабрьским вечером студент Петров сидел дома ел бутерброд с маслом и смотрел телевизор. Его внимание привлекло следующее сообщение. Опровергнуто известное утверждение «Бутерброд всегда падает маслом вниз». Оказывается, вероятность осуществления этого события составляет 50% на 50%. Что в числовой характеристике составляет р = 0,5. Посмотрев на свои лекции, у студента возникли вопросы:

Что такое вероятность?

Какова моя вероятность завтра сдать экзамен, если рассмотреть следующие случаи:

а) Из 50 вопросов выучу 20 вопросов.

б) Буду знать все вопросы.

в) Не буду учить ничего и лягу спать.

Что надо знать, чтоб найти вероятность?

Какой может быть вероятность?

Сейчас вам необходимо обсудить предложенную задачу и попытаться дать ответы на поставленные вопросы. (обсуждают в четверках)

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой мы можем прочитать: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

А вот советский математик А. Н. Колмогоров, который дал строгое логическое обоснование теории вероятностей так ввел это понятие : «Вероятность – это числовая характеристика возможности появления какого либо определенного события в тех или иных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз.»

Чтобы определить вероятность надо знать: количество исходов этого события и количество исходов благоприятствующих событию.

Пусть А – некоторое событие,

m – количество исходов благоприятствующих появлению события А

n – количество исходов этого события

Тогда вероятностью наступления случайного события А называется отношение

Обозначается вероятность Р, данное обозначение происходит от французского слова.

.

А если студент знает все вопросы. Каким событием будет тогда сдача экзамена? Чему тогда равна вероятность сдачи экзамена? ( единицы).

А если студент пришел не готовый чему равны его шансы сдать экзамен? Какое это будет событие? Чему будет равна вероятность? (нулю).

Вывод: вероятность наступления случайного события больше или равно нулю, но меньше или равно единице: 0 ≤ Р(А) ≤ 1. Часто результат вероятности события записывается в процентном отношении, связано это с тем, что это более наглядно и часто используется в экономике и статистики.

Известно, по крайней мере, шесть основных схем определения и понимания вероятности. Но наиболее используемым и практичным является рассмотренное определение, оно называется классическим. Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Пьер-Симо́н Лапласа.

Следующее важное понятие теории вероятности зашифрованно в этом ребусе:

Исход.

Именно с этим понятием связана знаменитая ошибка Даламбера.

Он пытался определить: какова вероятность, что подброшенные вверх две монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. Обе монеты упали на «орла»;

2. Обе монеты упали на «решку»;

3. Одна из монет упала на «орла», другая на «решку»

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому вероятность равна Р (А) = .

В чем ошибка?

Правильное решение:

1. Первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;

2. Первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;

3. Первая монета упала на «орла», а вторая – на «решку»;

4. Первая монета упала на «решку», а вторая – на «орла».

Сколько всего исходов? (4). Сколько исходов будут благоприятными? (2) исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исходов в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

4. Закрепление новых знаний.

А теперь я вас хочу пригласить в математическое казино, где знания добываются собственным умом.

Делайте ваши ставки господа. (Приложение 3)

Задача № 1.

Среди 125 КНС разыгрывается приз. Какова вероятность, что номер победившей КНС будет заканчиваться на тройку?

Решение. А – номер победившей станции заканчивается на тройку.

n = 125, m = 13 ( т. к номера победителей могут быть: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123).

Задача № 2.

На семи одинаковых карточках разрезной азбуки буквы: «А», «О», «Э», «Г», «Н», «Р», «М». Наудачу выбрали пять карточек и положили их в ряд в порядке их извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «РЭНГМ».

Решение. А – получилось слово «РЭНГМ».

Число всех исходов найдем с помощью размещения. n = .

Число благоприятных исходов m = 1.

Задача № 3.

Вероятность запуска насоса после ремонта равна 0,95 %. Произвели 55 попыток запуска. Найдите ожидаемое число неудачных запусков.

Решение.

Что известно в этой задачи? (Вероятность наступления события).

Какое это событие? ( Насос после ремонта запуститься)

Что еще известно? (Число всех исходов).

А – насос после ремонта будет работать.

Р(А) = 0,95 = . n = 55, m - ?.

, .

Это количество исходов при которых насос запуститься, значит количество исходов при которих насос работать не будет равно 55 – 52 = 3.

Задача № 4.

Значением показаний манометра ( прибор для измерения давления) может быть любое двузначное число. Какова вероятность того, что наугад выбранный результат состоит из одинаковых цифр.

Решение: А – значение показаний манометра состоит из одинаковых цифр.

Всего исходов n = 90, число благоприятных исходов m = 9 ( т.к. показатели могут быть: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).

Р(А) =

Задача № 5.

Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50. На экзамене он должен ответить на два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на оба вопроса?

Решение:

А – студент ответит на оба вопроса.

Билеты составляют из 60 вопросов по два, при этом порядок расположения вопросов не важен, значит чтобы подсчитать количество всех исходов воспользуемся сочетанием. n =

Благоприятными будут исходы если оба вопроса в билете из 50 выученных, количество благоприятных исходов можно тоже найти с помощью сочетания. m =

Р(А) =

Задача № 6.

Из полного набора домино извлекается наудачу одна кость. Какова вероятность того, что число очков в ней четное.

А – число выпавших очков четное.

Число всех исходов n = 28 (количество костей в домино). m = 15

Р(А) =

5. Итог урока.

Ставок больше нет.

А сейчас мы постараемся выразить свое отношение к изученному материалу в поэтической форме. Я предлагаю вам попытаться составить «синквейн»

Это короткое литературное произведение, характеризующее предмет (тему), состоящее из пяти строк, которое пишется по определённому плану. Слово «синквейн» происходит от французского слова «пять».

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, т.е какая это тема для нас, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме (которые мы произведем)

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает значимость темы.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы (для чего может использоваться, чем быть)

Теория вероятностей.
Новая, интересная.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует во всех областях.
Инструмент познания.

Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей. (Джеймс Максвелл)

6. Домашнее задание.

Решить оставшиеся задачи к уроку.