Урок по теме: "Вычисление интегралов"

“Чтобы переваривать знания,
их надо поглощать с аппетитом”
А.Франс

Тема урока: "Вычисление интегралов."

Цели урока: 

 Обучающая цель: Систематизировать практические и теоретические знания, выработать умение находить неопределенный и определенный интегралы. Развивать культуру устного вычисления определенных интегралов.

 Развивающая цель:  Развивать мышление и речь учащихся. развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память;

Воспитательная цель: Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности.

Задачи урока:

• Развитие познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности, настойчивости  при достижении конечного результата.

• формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;

• обеспечить повторение основных понятий.

Тип урока: изучение нового материала.

Ученик должен знать: понятие первообразной, таблицу первообразных функций, формулу Ньютона –Лейбница, геометрический смысл определенного интеграла

Ученик должен уметь: вычислять определенный интеграл

Оборудование: Карточки,

Формы организации учебной деятельности учащихся:

Работа в малых группах, фронтальный опрос, элементы беседы, тестирование, выполнение индивидуальных заданий, комплексный подход к оценке знаний.

План урока

1. Организационный момент.

2. Объявление темы и целей урока.

3. Актуализация опорных знаний

4. Изучение новой темы

5. Закрепление изученного материала.

6. Подведение итогов урока.

7. Рефлексия

8. Домашнее задание.

Ход урока

1. Орг.момент. Проверка Д/З

2. Объявление темы и целей урока

1. Актуализация знаний

1) фронтальный опрос:

- Первообразная, обозначение

- Неопределенный интеграл, запись

- Чему равна первообразная функции у=f(kx+m)?

- Что такое определенный интеграл для данной функции?

- Обратная операция нахождения первообразной для данной функции называют…

• Найдите первообразную функции (устно): y=5; y=2x; y=3x²; y=cosx; y=1/x.

Ответы на обороте доски: 5x; x²; x³; sinx; ln│x│.

2) Теоретический тест на проверку знаний (Ответы писать на листах теста)

1. Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

           А) производной; В) первообразной;

С) обратной; D) непрерывной.

1. Совокупность всех первообразных функций     F(x) + С      для данной функции f(x) называется … функции f(x)

            А) область определения; В) производной;

С) область значения; D)   интегралом.

1. С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

            А) определенный интеграл;   В) производную;   С) обратную функцию.

 

      4.    Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

             А) 0;   В) 2х + С;   С) 2х;   D) 2.

1.  Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком

     функции у = f(x),  снизу осью  … , с боков прямыми …    .

           А) непрерывной функции; Ох;   х = а, х = b;  

 В) непрерывной, неотрицательной;  у = а, у = b; Ох.    

С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.  

Ответы:

№ вопроса	1	2	3	4	5
Вариант ответа	В	Д	А	В	А

3) Устная работа: (задания записаны на доске)

1) Исправить ошибки в записи: а) ∫ 2dx=2+C; ( 2x + C)

б) ∫−5 dx=5 x. (– 5x + C)

2) Найти интеграл:

а) ∫ 3 dx; ( +C )

б) ∫ dx ; ( + C = - + C )

в) ( 5 ln │x│+ C)

3) Вычислить: а) dx ; (1)

б) dx ( sinπ - sin0 = 0 ).

1. Изучение нового материала

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

         Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел.

Предыстория интегрального исчисления восходит к древности. Ученый, создавший интеграл. Евдокс Книдский (живший около 408-355 гг. до н.э.) – древнегреческий учёный.  Он  дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он применил так называемый метод «исчерпывания», который нашёл своё использование (с некоторыми изменениями) в трудах его последователей.

Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

Что представляет собой  «метод исчерпывания» рассмотрим  на простом примере.  

Предположим, что  надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная.

Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

 Вслед за Евдоксом метод «исчерпывания» и его варианты для вычисления объёмов и площадей применял древний учёный Архимед. Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра. Выражаясь современным языком, Архимед определил интегралы.

 Что же такое интеграл?  Слово «интеграл» произошло  от латинского  integer — целый, то есть целая, вся — площадь. Термин был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли. 

Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он адаптировал интегральный символ , образованный из буквы S — то есть от сокращения слова латинского  summa (сумма).

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива формула  , где F(x) – первообразная для f(x). Приведенную формулу называют формулой Ньютона-Лейбница .

Определенным интегралом ) в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

1. Закрепление материала

• Решение упражнений

№1. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

• Выполнение самостоятельной работы в парах. Учащиеся проводят самопроверку.

Ответы записаны на отвороте доски.

С/р С/Р

1 вариант	Ответ		2 вариант	Ответ

1. Подведение итогов урока.

2. Рефлексия

3. Домашнее задание: §57. №1004, №1006.

1.Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

А) производной; В) первообразной;

С) обратной; D) непрерывной.

2.Совокупность всех первообразных функций F(x) + С для данной функции f(x) называется … функции f(x):

А) область определения; В) производной;

С) область значения; D) интегралом.

3.С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

А) определенный интеграл; В) производную; С) обратную функцию.

4. Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

А) 0; В) 2х + С; С) 2х; D) 2.

5. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу осью … , с боков прямыми … .

А) непрерывной функции; Ох; х = а, х = b;

В) непрерывной, неотрицательной; у = а, у = b; Ох.

С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.

1.Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

А) производной; В) первообразной;

С) обратной; D) непрерывной.

2.Совокупность всех первообразных функций F(x) + С для данной функции f(x) называется … функции f(x):

А) область определения; В) производной;

С) область значения; D) интегралом.

3.С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

А) определенный интеграл; В) производную; С) обратную функцию.

4. Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

А) 0; В) 2х + С; С) 2х; D) 2.

5. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу осью … , с боков прямыми … .

А) непрерывной функции; Ох; х = а, х = b;

В) непрерывной, неотрицательной; у = а, у = b; Ох.

С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.

1.Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

А) производной; В) первообразной;

С) обратной; D) непрерывной.

2.Совокупность всех первообразных функций F(x) + С для данной функции f(x) называется … функции f(x):

А) область определения; В) производной;

С) область значения; D) интегралом.

3.С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

А) определенный интеграл; В) производную; С) обратную функцию.

4. Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

А) 0; В) 2х + С; С) 2х; D) 2.

5. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу осью … , с боков прямыми … .

А) непрерывной функции; Ох; х = а, х = b;

В) непрерывной, неотрицательной; у = а, у = b; Ох.

С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.

а)

б)

в)

г)

д)

1 вариант	Ответ

1 вариант	Ответ

1 вариант	Ответ

1 вариант	Ответ

11