Вычисление интегралов

Урок-игра

Математическое кафе “Интеграл ”

“Чтобы переваривать знания,
их надо поглощать с аппетитом”
А.Франс

 Тема урока: "Вычисление интегралов."

Цели урока:
1. Обучающая цель: Систематизировать практические и теоретические знания, выработать умение находить неопределенный и определенный интегралы. Развивать культуру устного вычисления определенных

2. Развивающая цель: Развивать мышление и речь учащихся. развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память;

3. Воспитательная цель:Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, используя при этом здоровьесберегающие технологии ведения урока (урок-игра). Способствовать преодолению страха при выполнении этого типа задач.

Задачи урока:

• Развитие познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности, настойчивости при достижении конечного результата.

• формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;

• обеспечить повторение основных понятий.

Предварительная подготовка к проведению урока:

- разбить класс на группы по 2 человека (распределить по столикам в кафе), внутри каждой группы определить ответственного (самого сильного ученика в данной группе), объяснить главным в группе порядок заполнения бланков результатов;

- приготовить разноцветные бланки задач соответственно меню, таблички с номерами столов ( в том числе vip стол для гостей урока), бланки со справочным материалом, помогающих при нахождении интегралов ( так называемый “Хлеб”).

Урок проводится 13.10..2014 уч.г.в конце темы «Интегральные исчисления»

Оборудование:

1. Меню для каждого столика, табличка с номером стола.

2. Цветные бланки заданий для каждого блюда меню и чистые бланки того же цвета для решений.

3. “Хлеб”- бланки со справочными материалами, помогающими при нахождении интегралов.

4. Плакаты с названием математического кафе и высказыванием А.Франса.

5. Записи на доске: задания для устного счёта.

План и ход урока

1. Организационный момент.

2. Историческая справка.

3. Теоретический тест (проверка кредитоспособности)

4. Проверка “кредитоспособности”.(Устная работа)

5. Приём официантами заказов от каждого столика.

6. Нахождение неопределенных интегралов. (Холодные закуски).

7. Вычисление определенных интегралов. (Первые блюда).

8. Вычисление площади криволинейной трапеции. (Вторые блюда)

9. Вычисление интегралов. (Напитки).

10. Подведение итогов урока.

1. Сейчас занимайте столики по 2 человека за каждым.

- Так как будущая специальность Вашего класса ещё не известна, а сегодня мы с вами посетим необычное кафе, математическое, с названием «Интеграл». Почему такое название, как вы думаете?

- Да, именно потому, что сейчас изучаем эту тему. Немного истории развития математического анализа. Прошу послушать историческую справку об интеграле.

2. Историческая справка.

История возникновения интегралов.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел.

Предыстория интегрального исчисления восходит к древности. Ученый, создавший интеграл. Евдокс Книдский (живший около 408-355 гг. до н.э.) – древнегреческий учёный. Он дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он применил так называемый метод «исчерпывания», который нашёл своё использование (с некоторыми изменениями) в трудах его последователей.

Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

Что представляет собой «метод исчерпывания» рассмотрим на простом примере.

Предположим, что надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная.

Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

Вслед за Евдоксом метод «исчерпывания» и его варианты для вычисления объёмов и площадей применял древний учёный Архимед. Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра. Выражаясь современным языком, Архимед определил интегралы.

Что же такое интеграл? Слово «интеграл» произошло от латинского integer — целый, то есть целая, вся — площадь. Термин был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли. 

Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он адаптировал интегральный символ , образованный из буквы S — то есть от сокращения слова латинского  summa (сумма).

- Ну, а теперь перейдём к трапезе.

-На столы №1,2 администраторы-официанты приносят меню кафе, оценочный лист и «Хлеб». В меню предлагаются блюда изысканной кухни интегралов.

3. Первым делом проверим, а кредитоспособны ли вы? Хватит ли у вас знаний по теме

” Интегралы”, чтобы вкусить всю прелесть этих блюд? Ну что же, приступим.

 

Известный актер и кинорежиссер Василий Шукшин говорил: «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится потом надежнее, крепче, умнее».

Итак, отмечаем только ответы. Тест на время. 30 секунд на обдумывание.

Администраторы-официанты на столы разносят тесты соответствующего цвета.

Теоретический тест на проверку кредитоспособности

«$»

Задания выполняют все , сидящие за столом. Ответы писать на листах теста.

1. Если для любого х из множества Х выполняется равенство F´(x) = f(x), то функцию F(x) называют … для функции f(x) на данном множестве.

           А) производной; В) первообразной; С) обратной; D) непрерывной.

1. Совокупность всех первообразных функций F(x) + С для данной функции f(x) называется … функции f(x)

      А) область определения; В) производной; С) область значения; D) неопределенным

  интегралом.

1. С помощью формулы Ньютона – Лейбница находят…

        А) определенный интеграл; В) производную; С) обратную функцию;

D) неопределенный интеграл.

4.    Найдите множество первообразных для функции f(x) = 2

 А) 0;  В) 2х + С;   С) 2х;   D) 2.

1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком

функции у = f(x), снизу осью … , с боков прямыми …    .

А) непрерывной функции; Ох; х = а, х = b;    В) непрерывной, неотрицательной;

у = а, у = b; Ох.   С) непрерывной, неотрицательной; х = а, х = b; Оу.  

Ответы:

№ вопроса	1	2	3	4	5
Вариант ответа	В	Д	А	В	А

Администраторы - официанты собирают ответы на теоретические тесты.

Официанты проверяют выполнение заданий.

Главные на каждом столе выставляют баллы в оценочный лист.

4.Устная работа: (задания записаны на доске; цена ответа 1 балл)

1). Исправить ошибки в записи ; ( 2x + C)

. (– 5x + C)

2). Найти интеграл:dx; (

; ( + C = -

3) Вычислить: ; (1)

( sinπ - sin0 = 0 ).

5.Администраторы-официанты принимают заказы.

- Перед вами на столах лежит меню (Приложение 2) сегодняшнего дня. Самостоятельно делайте заказ из любого набора блюд. Стоимость каждого блюда обозначена в баллах.

Официанты соберут ваши заказы и обеспечат своевременную доставку интегральных явств.

Официанты разносят холодные закуски.

6.- На ваших столах холодные закуски:

- «Весна» на зеленых тарелках. Решаете на этих же листах. Приступайте. Желаю вам приятного аппетита!

-«Интегральная рапсодия» на розовых тарелках. Решаете на этих же листах. Приступайте. Желаю вам приятного аппетита!

Задание найти неопределенные интегралы:

Салат «Весна»:

1. ; 2) ; 3) ; 4)

Ответы: 1) ; 2) ; 3) - 6x + C; 4)

Салат «Интегральная рапсодия»:

1) ; 2); 3);

Ответы: 1) 2); 3)

Ученики выполняют задания.

- Вы так увлечены предлагаемыми блюдами нашей интегральной кухни, что даже забыли о “хлебе”! Сейчас вам ”хлеб” будет очень кстати. (Приложение 3 )

Официанты проверяют выполнение заданий.

Главные на каждом столе выставляют баллы в оценочный лист.

- Проводится смена блюд. И сейчас на ваших столах появятся прекрасные интегральные первые блюда.

7. Официанты разносят первые блюда.

Борщ с интегралом:

1) 2) 3) 4)

Ответы: 1); 2); 3) 4)

Cуп-пюре из курицы (интегральное искусство):

1) + 5)dx; 2) 3); 4)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

(Аналогичная работа тому, как осуществлялась проверка выполнения заданий по “холодным закускам”. Напоминать ответственным за столы проставлять баллы в бланке результатов.)

Официанты разносят вторые блюда.

8. Блинчики с мясом «Равновесие»: (задание выполняется на клетчатой бумаге)

1)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =0, x = 1. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =1, x = 2. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =1, x = 3. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =0, x = 1. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

Ответы: 1) кв.ед., 2) кв.ед., 3) кв.ед., 4) кв.ед

Плов «Интегральная фантазия»:

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =0, x = 1. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

2)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =0, x = 1. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = , y = 0, x =1, x = 2. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = +1, y = 0, x =0, x = 1. Фигуру необходимо аккуратно изобразить.

Ответы: 1) кв.ед., 2) кв.ед., 3)кв.ед., 4) кв.ед.

Дополнительные задания:

9. Напитки : коктейль «Интеграл»

Вычислить интегралы:

1) 2) 3) + sinx)dx; 4)

Ответы: 1) 2) – 3 cosx + 3) 4) 5sinx +

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y = y = 2x - и осью ОХ.

Ответ: 1 кв.ед.

1. Подведение итогов.

Сейчас за каждым столиком необходимо просуммировать набранные баллы и занести результаты в таблицу. В соответствии с количеством набранных баллов каждый посетитель кафе получит “бонусы” в классный журнал. Д