Урок геометрии в 9 классе. Построение правильных многоугольников.

Открытый урок геометрии в 9 классе.

Тема урока: Построение правильных многоугольников.

1)Образовательные цели:

• совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности;

• научить строить некоторые правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки;

• формирование навыка конструирования и моделирования на компьютере.

• обобщить знания учащихся о способах построения правильных многоугольников.

2)Развивающие цели:

• развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения самостоятельных творческих заданий;

• развивать умение обосновывать свое решение;

• развить умение находить свои ошибки.

3)Воспитательные цели:

• развивать умение вести индивидуальную, групповую дискуссию, самостоятельного поиска решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи;

• формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе,

Ход урока:

I. Актуализация опорных знаний.

- 5 учеников получают индивидуальное задание по карточке:

1. Вычислить периметр и площадь правильного треугольника со стороной 4 см.

2. Вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 3 см.

3. Вычислить периметр и площадь правильного четырехугольника со стороной 2 см.

- Повторить определение правильных многоугольников.

Остальные учащиеся выполняют задание:

В правильном многоугольнике число сторон равно n, а радиус описанной около него окружности равен R. Вычислите сторону, площадь и радиус вписанной в него окружности, если известно, что n = 3 ( 1 вариант), n = 4 (2 вариант), n = 6 (3 вариант).

Проверка задания с помощью таблицы (слайд 2)

Учитель математики.

Есть в школьной геометрии такие темы, при изучении которых встречаешься с «необычно красивым» материалом. К ним можно отнести тему "Правильные многоугольники" (на доске написана тема урока «Построение правильных многоугольников»)

Древнегреческие ученые проявляли большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. В старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники, восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня. Издавна людей поражала красота, гармония многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Правильные многоугольники своим совершенством и красотой форм всегда привлекали к себе внимание многих лучших умов человечества. (слайд 3-11)

• Построение правильных многоугольников, то есть деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи:

1)Создание колеса со спицами;

2)Деление циферблата часов;

3)Строительство античных театров;

Пифагорейцев они привлекали обнаруженной в них «золотой пропорцией». Именно в школе ПИФАГОРА зародилось учение о правильных многоугольниках; кроме того, пифагорейцы рассмотрели вопрос покрытия плоскости правильными многоугольниками.

• Евклид описал построение правильных

3 , 4 , 5 , 6- угольников, построил правильный 15-угольник

Развитие готического стиля и широкое применение витражей в строительстве соборов также заставило вернуться к задачам построения правильных многоугольников

• Именно Альбрехт Дюрер осуществил новое построение правильного пятиугольника, передав потомкам средневековый способ построения постоянным раствором циркуля.

• Дюрер занимался фортификацией, разрабатывая системы оборонительных сооружений;

• Решил задачу построения правильного восьмиугольника;

• Разработал принципы черчения художественно исполненных букв

• Математик Иоганн Кеплер создал трактат «Новогодний подарок или о шестиугольных снежинках», опубликованный в 1611 году. В нем он практически привел первый пример разбиения плоскости на правильные шестиугольники

Запишем тему урока «Построение правильных многоугольников».

II. Изучение нового материала.

1.Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

В математике есть специальные задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки. Что же можно делать с помощью циркуля и линейки?

• Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки.

• С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку; можно отложить отрезок заданной длины.

Выполняя эти несложные операции, мы можем решать разные задачи на построение.

В 7 классе мы с вами изучали ряд простейших построений циркулем и линейкой.

• биссектрисы угла;

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;

• разделить данный отрезок пополам;

• построение угла, равного данному;

• построение треугольников по трем заданным элементам и т.д.

Интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является практическая задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон, поставленная еще в глубокой древности. Решение этой задачи можно найти в трудах древнегреческих ученых Архимеда, Евклида, Пифагора, математика 17-18 веков Гаусса

Еще в 5-6 веке до нашей эры Евклидом были решены задачи на построение правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника, пятнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. А Карл Фридрих Гаусс доказал возможность построения правильного 17-тиугольника(слайд 11).

Ребята, сегодня мы с вами рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников.

Для построения правильных многоугольников обычно используется окружность, описанная около многоугольника

Задача 1. (слайд 12)

Построение правильного шестиугольника, сторона которого равна данному отрезку.

• Какая зависимость существует между стороной правильного шестиугольника и радиусом описанной около него окружности?

• Пусть РQ – заданный отрезок, равный стороне правильного шестиугольника, который нам необходимо построить. Чему равен радиус описанной около этого шестиугольника окружности?

• Составьте план построения правильного шестиугольника со стороной РQ.( слайд 13)

Задача 2. Построение правильного треугольника (слайд 14)

Ребята выполняют построение в тетради.

Задача 3. Построение правильного 12-угольника (слайд 15).

Ребята выполняют построение в тетради

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n угольник. (слайд 16)

Мы уже говорили, что построение n-угольника эквивалентно делению окружности на n равных дуг. Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла.

План построения правильного n-угольника

1. Провести биссектрисы углов правильного п-угольника. Точка пересечения биссектрис О будет являться центром описанной окружности. Построить эту окружность.

1. Из точки О провести перпендикуляры к сторонам правильного п-угольника до

пересечения с окружностью.

1. Соединить последовательно вершины правильного п-угольника с полученными точками пересечения.

Полученный многоугольник – искомый правильный 2п-угольник

Применяя указанный способ можно с помощью циркуля или линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них.

Например. Построив правильный четырехугольник, можно построить правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2^k угольник, где k2.

Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, не зная даже вообще возможны ли эти построения.

В решении поставленной проблемы построения правильных многоугольников большой вклад внес немецкий математик Гаусс (1801 г) (как уже говорилось ранее)

Он открыл способ построения правильного 17-угольника только с помощью циркуля и линейки и указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника указанными средствами. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом вида (2 в степени 2^k )+1 или а также те, которые получаются из них удвоением числа сторон.

Таким образом, с помощью циркуля и линейки оказалось невозможным построение правильного 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28….- угольников и т.д.

3, 4, 5, 6, 8,10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40 … - угольники можно построить. Гаусс описал даже построение правильного 257-угольника только с помощью циркуля и линейки.

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28… – угольники невозможно построить только с помощью циркуля и линейки

Проверка усвоения изученного материала.

Итоговое тестирование

1.Выберите верные утверждения

1.Если все углы многоугольника равны, то он является правильным.

2.Если все стороны многоугольника равны, то он является правильным.

3. Любой выпуклый многоугольник является правильным.

4.Любой правильный многоугольник является выпуклым.

2. Какой правильный многоугольник всегда можно построить с помощью циркуля и линейки, если дан правильный n-угольник?

1. Правильный (n-1) угольник

2. Правильный 2n- угольник

3. Правильный 3n- угольник

4. Правильный (n+1) угольник

3.Какие из перечисленных правильных многоугольников нельзя построить с помощью циркуля и линейки?

1. Правильный семиугольник.

2. Правильный восьмиугольник

3. Правильный шестиугольник

4. Правильный пятиугольник

4.Какие утверждения неверны?

1. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

2. Треугольник является правильным, если все его углы равны.

3. Любой равносторонний треугольник является правильным.

4.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.

5. Найти площадь правильного четырехугольника, если радиус окружности, описанной около этого четырехугольника, равна 3

Ответы:

1. 2

2. 4

3. 18

4. 27

Со 2 группой учащихся проводится игра «Блеф-клуб».

Презентация «Блеф –клуб» по теме «Правильные многоугольники»

Верите ли вы, что: (Отвечать только да или нет)

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

2. В любой многоугольник можно вписать окружность (правильный)

3. Верите ли вы, что площадь правильного четырехугольника со стороной см равна 9 кв. см

4. Верите ли вы, что для правильного многоугольника

5. С помощью циркуля и линейки можно построить правильный двенадцатиугольник.

6. По данному n-угольнику можно ли построить правильный 2 n – угольник.

7. Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.

8. Площадь правильного многоугольника можно вычислить по формуле , где - периметр многоугольника, а - радиус вписанной окружности.

Итог урока.

• Обобщение всех полученных результатов, оценить работы учащихся за урок.

• Мнения учащихся об уроке и перспективе применения полученных знаний.

Задание на дом: п. 109, упр. 1094, 1100 Построить правильный пятиугольник, пользуясь опорной схемой.