Урок алгебры и начала математического анализа в 11 –й класс на тему: «Понятие логарифма»

Урок алгебры и начал анализа 11 –й класс

Тема: «Понятие логарифма»

Цели: 1. Повторить свойства показательной функции, ввести понятия логарифма.

2. Развивать логическое мышление, вычислительные навыки, познавательный интерес.

3. Воспитывать трудолюбие.

Оборудование: компьютер, презентация, таблицы логарифмов, индивидуальные карточки-тесты для домашнего задания.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (0,5 минут)

2. Актуализация опорных знаний (7,5 минут)

Устный опрос с помощью компьютера.

Слайд 1.

1. Дать определение показательной функции.

2. Какие из данных функций являются показательными:

а) y=2^x

б) y=x²

в) y=(3)^x

г) y= (2)^x

д) y=(x-2)³

е) y=Π^x

ж) y=3^-x

1. При каких условиях показательная функция является возрастной (убывающей)?

2. Определить какой является функция – возрастающей или убывающей?

y=5^x

y= (2/3)^x

y= (2)^x

y=Π^x

y= 49^-2/3

1. Схематически изобразить графики функций, когда a›o, когда 0‹a‹1.

2. Дана функция y=8^xb и значение аргументаx: 2; 4; -6; -1/8; 0,04; -1/9; 7. Выберите значения x, при котором 8^x›1

3. При каком значении а график функции y=a^x проходит через точку М (1;2)?

4. Решить уравнения: а) 5^x=32 б) 10^x = 10000 в) (1/7)^x=49

5. Назвать важные процессы в природе, которые описываются показательной функцией. Предполагаемые ответы – радиоактивный распад, разложение одноклеточных организмов и др.-

1. Изучение нового материала.

1. Постановка проблемы. Определение логарифма (5 минут)

Слайд 2.

Учитель: Подробнее остановимся на процессе радиоактивного распада, который описывается законом M=M_p·a^t, где M_p, М – начальная и конечная массы радиоактивного вещества, а- постоянная распада, t – время распада.

Для различных наук (археология, геология, биология и др.) важную роль играет время распада. Как его найти? A^t = M/ M_p·t-?

Как решить это уравнение?

(Дети: Для того, чтобы решить уравнение относительно t, нужно ввести новый математический символ.

Учитель: Верно. Функция y=a^t – показательная. Известно, что она принимает только положительные значения на своей области определения, причем каждое значение соответствует единственному аргументу, то есть для a^t=b, где b›0, этот показатель t – единственный. Этот показатель может быть найден для каждого b›0. Называют его логарифмом числа bпо основании a.

Записывают: t=log_ab. Для нашей задачи t= log_a (М/М_о).

На этом уравнении основан метод датировки археологических находок (древних городищ, ископаемых останков животных). Определение возраста минералов по количеству содержания в них радиоактивных веществ).

1. Самостоятельная работа с учебником (15 минут)

Учитель: Рассмотрим графическое решение в одной системе координат уравнений 2^x=4; 2^x=8; 2^x=6/

Работаем с рисунками 204, 205.

- Сколько корней имеют эти уравнения? (один)

- Какие это корни? (Предполагаемые ответы 2;3)

- Первые два уравнения решаются легко. Что можно сказать о корне третьего уравнения? (Ответ: По рисунку видно, что 2‹x‹3).

- Положительное или отрицательное это число?

- Между какими числами расположено?

- Как его записать? (ответы детей) (опять с помощью log).

Думая над этой ситуацией математики ввели символ log и с его помощью записывали корень уравнения 2^x=6. Читают: «логарифм шести по основанию 2».

Вопрос обучающимся: при каких значениях числа уравнение x=log₂ будет иметь решение?

(В случае затруднения этот вопрос сформулировать другими словами: может ли число b=0, b‹0. Вернемся к графическому решению. Существуют ли точки пересечения? (Ответ: нет). Значит b›0.

Какой можно сделать вывод? Предполагаемый ответ.

Вывод: Так можно рассуждать о любом уравнении вида a^x=b, где a›0, b›0. a≠1. Единственный корень записывают так: x= log_ab. Представить обучающимся самостоятельно сформулировать определение логарифма (1-2 ученика выслушать).

Если определение дано неточно, прочитать по учебнику, разобрать его в случае, если не все поняли. В записи log_ab числа a называют основание логарифма а число b–подлогарифмическим выражением.

1. На экране компьютера примеры: (устно)

Слайд 3.

log₂8 = 3, так как 2³ = 8

log₃ (1/27)=- так как (3^-3 = 1/27)

log_1/5 25 = -2, так как ((1/5)^- = 25

log₄^2=1/2, так как (4^1/2=2)

Учитель: Логарифм по основанию 10 принято называть десятичным логарифмом, записывают lg. Привести пример.

Показать таблицу логарифмов.

Слайд 4

Найти

log₅5= вывод log_aa=1

log₂2 =

log₃3⁴=4 выводlog_aa^с=c

log₅5^-2/3 = -

log₃1=0 вывод log_a 1=0

log₈1=0

1. Определение логарифма можно написать так

A^logab=b, гдеa›0, a≠1, b›0.

1. Закрепление (15 минут).

1. На доске по очереди решают , комментируя решение

№41,3 – 41,6 (б)

№41,7 – 41,9 (б,г)

Слайд 5

1. А что нам предлагает ЕГЭ по единой теме?

Вычислите:

а) 7·5^log₅ ²

б)3^log₃⁷

в) 60/6^log₆⁵

г) 18/3^log₃²

1. Подведение итогов урока. Рефлексия (1,5 минут)

Выставление оценок.

Слайд 6.

Продолжите фразу:

«Сегодня на уроке я научилась……»

«Сегодня на уроке я узнала….»

«Сегодня на уроке я повторила…..»

«Сегодня на уроке я закрепила….»

1. Домашнее задание: раздаю индивидуальные карточки-тесты (0,5 минут)

Знакомство с логарифмом не заканчивается, на следующих уроках мы продолжим работу над определением логарифма, познакомимся с графиком логарифмической функции, свойствами, будем решать уравнения, неравенства. Уравнения, неравенства есть в материалах ЕГЭ. Урок хочу закончить словами французского ученого Лапласа: «Логарифмы сократили вычисления, удлиняя жизнь». Желаю, чтобы знакомство с логарифмами и вам помогло в жизни, удлиняя её и добавляя в неё красоту.

Карточки

Домашнее задание

1 уровень сложности

№1

1. Вычислить: а) log_13 27

1. 6; 2) -3) -6: 4) 6

б) log_12 1/

1)0,1; 2) 5; 3) -5; 4) –

г) log_1/152·5³15

а) 2; б) -2 1/3; в) 2 1/3 г) ³15

1. Вычислить: а) 9·6^log₆ ²

б) 10/2^log₂ ⁵

в)15/5 ^log₅³

1. Какое из выражений имеется смысл:

1. log₄tg 46⁰

2. log₄cos 0

3. log₂ 0?8

4. (log₂0,45) 2/3

а)3; б) 2; в) 1; г) 4

§41. Выучить определение логарифма. Доказать, что число log₂6 – иррациональное

1 уровень сложности

№2

1. Вычислить: а) log_381 3

1. 9; 2) -3) 3; 4)-3

б) log₈^-3

1) -2; 2) -4; 3) -3; 4) 0

в) log_13 1

1) 0; 2) 1; 3) -1; 4) 1/3

г) log_3/2 64/729

1) 6; 2) -6; 3) 1/6; 4) -1/6

1. Вычислить:

а) 10·3^log₃⁵

б) 12/3^log₃⁴

в) 6/8 ^log₈⁵

§ 41. Как в №1

2 уровень сложности

№3

а) log₂8

1) -3; 2) 1; 3) 0; 4) 3

б) log₃3⁴

1) 3; 2) -3; 3) 4; 4) -4

в) log₄1

1_ 4; 2) -1; 3) 1; 4) 0

г) log₉81

1) 9; 2) -9; 3) 81; 4) 2

2. Вычислить:

а) 6 ^log₆⁷

б) 80/3 ^log₃⁷

в) 7·5 ^log₅³

8