Урок Алгебры 8 класс

8 класс 12.01.2017

У р о к № 49
Применение теоремы Виета
и обратной ей теоремы

Цели: создать условия для формирования умений применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений.

Задачи урока:

образовательные:

• «открыть» зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;

• рассмотреть применение теоремы Виета для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях.

развивающие:

• формировать умения анализировать, обобщать и делать выводы;

• развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.

воспитательные:

• формировать умение работать в соответствии с намеченным планом;

• воспитывать целеустремленность.

Ход урока

I. Организационный момент.

На предыдущих уроках мы работали над темой «Квадратные уравнения». Изучили решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена, с помощью формул и рассмотрели, как используются квадратные уравнения при решении задач. Сегодня на уроке нам предстоит выяснить, какая связь существует между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Начнем с проверки и повторения основного теоретического материала, необходимого для изучения новой темы.

II. Устная работа.

Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х² – 12х – 45 = 0; д) х² – 27х = 0;

б) у² + 17у + 60 = 0; е) 60z + z² = 0;

в) 3у – 40 + у² = 0; ж) 3х² – 15х + 18 = 0;

г) х² – 2х + 16 = 0; з) х² + х + 8 = 0.

Фронтальный опрос:

1.Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2.Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

3.Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?

4.Что называют дискриминантом квадратного уравнения?

5.Сколько корней может иметь квадратное уравнение и отчего это зависит?

III. Проверочная работа

В а р и а н т 1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 3х – 18 = 0; х₁ = –3;

б) 2х² – 5х + 2 = 0; х₁ = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т 2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 4х – 21 = 0; х₁ = –3;

б) 2х² – 7х + 6 = 0; х₁ = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова!

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе b, в знаменателе а.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х₁ = 12,5 и х₂ – корни уравнения х² – 13х + q = 0, тогда х₁ + х₂ = 13 и

х₁ · х₂ = q. Имеем 12,5 + х₂ = 13, значит, х₂ = 13 – 12,5, х₂ = 0,5. Тогда 12,5 · 0,5 = q, q = 25.

О т в е т: х₂ = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х₁ = 8 и х₂ – корни уравнения 5х² + bx + 24 = 0, тогда х₁ + х₂ = –, х₁ ∙ х₂ = . Имеем 8 ∙ х₂ = , значит, х₂ = . Тогда 8 + = –, 8,6 = –0,2 ∙ b, b = –43.

О т в е т: х₂ = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х₁ = 1, х₂ = .

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х₁ = –1, х₂ = –.

В буквенном виде это может быть записано так:

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

Р е ш е н и е

Пусть х₁, х₂ – корни уравнения х² + 2х + q = 0. По теореме Виета: х₁ + х₂ = –2 (1) и х₁ · х₂ = q (2). По условию = 12. (Через х₁ обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х₁ – х₂) (х₁ + х₂) = 12;

(х₁ – х₂) · (–2) = 12;

х₁ – х₂ = –6;

х₁ = х₂ – 6.

Подставим в первое равенство вместо х₁ его значение:

х₂ – 6 + х₂ = –2;

2х₂ = 4;

х₂ = 2.

Вычислим х₁ = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.

V. Итоги урока

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

• Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

• Если коэффициент с квадратного уравнения является положительным числом, то какими по знаку могут быть его корни? А если с – отрицательное число?

• Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его коэффициентов равна нулю? а + с = b?

Домашнее задание: ________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

№ 585, № 588, № 594 (б, в, г), № 595 (а, в, г), № 592*.