этических норм, гуманизма, активной жизненной позиции.
Интеграция: математика – химия – физика – русская литература.
Оборудование: портреты О. Хайяма, Ф. Виета, Р. Декарта, Евклида, Н. И. Лобачевского, карта Среднего Востока (ХI век).
Ход урока.
Организационный момент.
Мотивация учебной деятельности.
Учитель. Прежде чем начать урок, я предлагаю вам послушать стихотворения и разгадать секрет нашего урока – его тему.
1-й ученик. Посвящение математике.
Строга, логична, величава,
Пряма в решеньях, как стрела,
Твоя немеркнущая слава
В веках бессмертье обрекла.
Я славлю разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века,
Царицу всех земных наук!
2-й ученик. В жизни часто нам приходится
Разные решать задачи
Нахождения чего-то и сравнения.
Помогают в этом уравнения.
3-й ученик. По праву достойна
В стихах быть воспета
О свойствах корней Теорема Виета
Что лучше, скажи,
Постоянства такого,
Умножишь ты корни –
И дробь уж готова!
В числителе – С,
В знаменатели – А,
А сумма корней
Тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь,
Разве в этом беда?!
В числителе – В,
В знаменателе – А.
Итак, сегодня на уроке речь пойдет об…..(уравнениях).
Мы с вами попробуем обобщить свои знания о тех уравнениях, с которыми мы уже знакомы.
Актуализация опорных знаний учащихся.
Учащиеся отвечают на вопросы:
Что называется уравнением?
Что называется корнем уравнения?
Какие виды уравнений мы уже умеем решать?
1). Работа над линейными уравнениями.
- Вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях. (Ответы учеников)
Уравнение вида ax = b, где a и b – некоторые числа, а х – переменная, называется линейным. Линейное уравнение может иметь один корень, если а ǂ 0; ни одного корня, если а = 0 и b ǂ 0; и бесчисленное множество корней, если а = 0 и b = 0.
Алгоритм решения уравнений, сводимых к линейным:
Раскрыть скобки.
Перенести слагаемые с переменной в одну сторону, а числа – в другую, изменив при этом знак.
Найти корень уравнения, предварительно приведя подобные слагаемые.
Учащимся предлагается решить следующие уравнения:
а) 6х + 5(2х – 7) = 5х + 9;
б) 3(х – 5) = 3х + 8;
в) 8 + 2(2х – 9) = 4х – 10.
2). Работа над квадратными уравнениями.
Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с – некоторые числа (а ǂ 0), х – переменная, называется квадратным.
- Для решения квадратного уравнения находим дискриминант D: D = b2 – 4ас.
Если D ˃ 0, то уравнение имеет 2 корня; если D = 0, то один корень; если D ˂ 0, то уравнение корней не имеет.
- b ± √ D
Корни уравнения находим по формуле: х1,2 = -------------- .
2а
Учитель. Если в уравнении а = 1, то уравнение называется приведенным.
- Для решения приведенных квадратных уравнений часто пользуются теоремой Виета: «Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену».
Иногда квадратные уравнения можно решать, пользуясь такими свойствами коэффициентов: если а + b + с = 0, то корни уравнения х1 =1 и х2 = с/а; если а – b + с = 0, то
Учитель. Первым, кто описал решение линейных уравнений, был Муххамед аль-Хорезми, написавший трактат «Ал-джебра и ал-мукабала». В переводе на современный язык прием ал-джебра означает перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую, ал-мукабала – приведение подобных слагаемых.
Способы решения квадратных уравнений содержатся у вавилонян, Евклида и Диофанта.
А чтобы быстрее запомнить формулу корней квадратного уравнения, можно выучить стихотворение: Чтобы найти количество корней,
Дискриминант ты вычислить сумей.
Нужно только очень постараться:
b в квадрат минус 4ас.
Быстро мы теперь ответ находим:
Минус b плюс-минус D под корнем
Делим на 2а – и будь таков!
Уравнения ответ готов!
3) Работа над дробно-рациональными уравнениями.
Учитель. Напомню алгоритм решения таких уравнений на примере:
х – 3 1 х + 5
--------- + ---- = -----------;
х- 5 х х(х – 5)
Решение. 1. Переносим все слагаемые в левую часть, изменив при этом знаки:
х – 3 1 х + 5
--------- + ---- - ----------- = 0;
х- 5 х х(х – 5)
2. Приводим дроби к общему знаменателю:
х – 3х + х – 5 – х - 5
------------------------------- = 0;
Х(х – 5)
3.Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель ǂ 0. Составим и решим систему:
х2 – 3х – 10 = 0; х1 =5;
х ǂ 0; =˃ х2 = - 2;
х ǂ 5, х ǂ 0;
х ǂ 5.
4.Исключаем из решений те значения переменной, которые обращают знаменатель в ноль.
Ответ: х = - 2.
Учитель.
Для чего нужно уметь решать различные уравнения? (Ответы учащихся)
- Правильно, чтобы с их помощью решать задачи. Но они оказывают помощь при решении задач не только в алгебре, но и в других науках, например в химии и физике.
Задача. Рассмотрим уравнение реакции соединения магния с сульфатной кислотой. Из химии вам известно, что в результате реакции выделяется водород.
2,4 x
Mg + H2SO4 = MgSO4 + H2 ↑
22,4 12,4
Решение. По основному свойству пропорции получим: 22,4х = 2,4 ∙ 12,4 =˃ х = (2,4 ∙ 12,4)/22,4 ≈ 1,3 (л).
Корень уравнения х = 1,3, а с точки зрения химии мы нашли объем выделившегося водорода.
- какое уравнение нам пришлось решать? (Линейное)
Задача. Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с, летит и под действием силы тяжести падает вниз. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
Решение. Если не учитывать сопротивление воздуха, то высота может быть найдена по формуле: h = v0t – gt2/2;
60 = 40t - 5 t2;
t 2 - 8 t + 12 = 0.
Ответ: t1 = 2; t2 = 6.
- По теореме Виета нашли 2 корня уравнения. Что мы нашли с точки зрения физики?
(Тело оказывается на заданной высоте дважды: через 2 с и через 6 с после бросания.)
- В этой задаче нам пришлось решать квадратное уравнение.
И, наконец, задача из жизни. (Любая задача на движение или совместную работу.)
Задача. Баржа была разгружена с помощью двух подъемных кранов в течение 1,5 ч, причем 1 кран приступил к работе на 7 ч позже 2 крана. Известно, что 1 кран, работая один, может разгрузить баржу на 5 ч быстрее, чем 2 кран, работая отдельно. За сколько времени может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно?
Решение. Пусть за х ч может разгрузить баржу 1 кран, а за (х + 5) ч – 2 кран. 1/х – производительность 1 крана, 1/(х + 5) – производительность 2 крана.
8/х – часть работы сделанная 1 краном, 15/(х + 5) – часть работы, сделанная 2 краном.
Т.к. , работая вместе, они выполнили всю работу, то составим уравнение:
8 15
----- + ---------- = 1;
х х + 5
8х + 40 + 15х – х2 – 5х = ), если х(х + 5) ǂ 0.
х2 – 18х – 40 = 0
х1 = 20, х2 = - 2.
- 2 не удовлетворяет условию, значит. За 20 ч выполнит работу 1 кран, за 20 + 5 = 25 – выполнит работу 2 кран.
Ответ: 20 ч, 25 ч.
- Эту задачу мы решили с помощью дробно-рационального уравнения.
Но все разнообразие уравнений не исчерпывается только этими тремя видами уравнений, которые мы уже научились решать.
Для математиков, уже умевших после вавилонян, Евклида и аль-Хорезми решать линейные и квадратные уравнения третьей степени. Это желание понятно: ведь кубы – это объемы, их надо уметь вычислять. Решение простейших кубических уравнений, особенно если в них удачно подобраны коэффициенты, не представляет труда.
- Попробуйте найти корень уравнения 3х3 – 24 = 0.
Учащиеся решают уравнение.
- Ограничиваются ли все виды уравнений третьей степени только такими или могут встречаться ещё какие-то, а для их решения понадобятся какие-то другие приемы решения?
Первым. Кто отчетливо поставил этот вопрос и так же отчетливо дал ответ на него, был замечательный таджикский ученый и поэт Омар Хайям. О способах решения кубических уравнений мы поговорим позже, а сейчас просто попытаемся создать портрет человека, предложившего один из таких способов (геометрический), - портрет Омара Хайяма.
Родился Омар Хайям в 1048 году, почти 1000 лет назад, в городе Нишапуре, к югу от Ашхабада. Жил и работал Самарканде, Бухаре, Исхафане и других городах Средней Азии и Ирана (все называемые города можно показать на карте).Полное имя этого человека состоит из многих слов: Гиясаддин Абуль Фахт Омар ибн Ибрахим аль-Хайям Нишапури, столько же, а может и больше, граней у его таланта. В молодости он увлекался астрономией и математикой, позже в нем пробудился интерес к географии, философии, поэзии. Первое его сочинение «Трудности арифметики» до нас не дошло. Но мы знакомы с одним из важнейших его трудов – сочинением «Трактат о доказательствах проблем ал-джебры и ал-мукабалы».
Эта книга содержала почти всю совокупность алгеброических знаний того времени. В ней дается классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степеней, утверждается, что алгебра – наука об определении неизвестный с помощью уравнений. Это первое дошедшее до нас определение алгебры как науки. Алгебра Хайяма число словесная. Основным способом решения он считает геометрическое построение искомого корня В этом смысл идеи Хайяма
В 1077 г Хайям закончил работу над еще одним математическим трудом («Трактат об истолковании темных положений у Евклида»), содержащим оригинальную теорию параллельных прямых. Идеи, содержащиеся в этой книге, созвучны идеям Н. И. Лобачевского (это уже ХIХ век(.
Благодаря покровительству одного из министров, Хайям становится придворным астрономом и советником Мелик-шаха. Ему предоставлена крупнейшая обсерватория Ближнего Востока.
Хайям произвел реформу календаря, сделав его не лунным. А солнечным. Этот календарь отличается от современного всего на 7 с.
Многие восточные правители приглашали О. Хайяма стать придворным ученым.
В современном мире Омар Хайям известен как поэт, создатель оригинальных философско-лирических четверостиший, объединенных в сборник «Рубайят».
Рубаи – один из самых сложных жанровых таджикско-персидской литературы. Объем рубаи – 4 строки, 3 из которых рифмуются между собой.
Маленькая книжечка его стихов живет на его родине, в соседних странах, во всем мире, переходит из рук в руки, из дома в дом, из страны в страну. Будоражит мысли, заставляет людей размышлять и спорить о мире, о жизни, о счастье. Хотя современники поэта считали его занятие рубаями несерьезным, его стихи мы читаем и сейчас.
Ваш возраст – возраст вопросов и ответов, вопросов. На которые вы не всегда можете найти ответы. Мудрый поэт поможет вам найти их. С высоты прожитых лет он даст мудрые советы, потому что имеет на это право. Право это выстрадано жизнью – трудной, полной испытаний. Он испытал взлеты при одних правителях и опалу, гонения при других. 10-15 лет он провел в уединении, общаясь только с книгой и размышляя.
Чтение рубаи.
Не смотри, что иной выше всех по уму,
А смотри, верен слову ли он своему.
Если слов он своих не бросает на ветер –
Нет цены, как ты сам понимаешь, ему.
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало:
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть.
И лучше будь один, чем рядом с кем попало.
Живи праведно, будь тем доволен, что есть,
Живи вольно, храни свободу, и честь.
Не горюй , не завидуй тому, кто богаче.
Кто беднее тебя, тех на свете не счесть
И с другом, и с врагом ты должен быть хорош.
Кто по натуре добр, в том злобы не найдешь.
Обидишь друга, наживешь врага ты,
Врага обнимешь – друга обретешь!
- Итак, кем же был Омар Хайям?
Омар Хайям – математик.
О параллельных он закончил труд.
Пройдут года, столетия пройдут,
И скажут люди:
- Первым был Хайям,
Он истину приблизил первым к нам.
Омар Хайям – астроном.
Он солнечный составил календарь.
Подобного не знали люди встарь.
На 7 с он нашего точней,
Но много ль было в нем счастливых дней.
Омар Хайям – философ.
Меня философом враги мои зовут.
Однако, видит бог, ошибочен их суд.
Ничтожней многих я: ведь мне ничто неясно.
Неясно даже то, зачем и кто я тут.
Омар Хайям – поэт.
Одни о ереси и вере спор ведут,
Других сомнения ученые гнетут.
Но вот выходит страж и громко возглашает:
«Путь истинный, глупцы, лежит ни там, ни тут».
Подведение итогов урока.
- Мы обобщили знания об уравнениях, рассмотрели применение уравнений в других науках и в очередной раз убедились, что математика, как и любая другая наука, не развивается сама по себе, все открытия в ней творят люди. Так, например, свой вклад в развитие учения об уравнениях внесли Евклид и Диофант, аль-Хорезми и О. Хайям, Виет и другие ученые. И люди эти не замкнуты лишь на математике, они были высоко образованны и всесторонне развиты, к чему должен стремиться каждый человек.
