Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия"

1. ПРИЛОЖЕНИЕ

Страницы Российской истории.

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

Задача 1 (физическая). "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Задача 2 (от строителя). При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Задача 3 (Задача от будущего медика).

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Арифметическая прогрессия аn
1. Определение
2. Формула n-первых членов прогрессии
3. Сумма n-первых членов прогрессии
4. Свойства

Ф.И.
	Формулы	Устная работа	Работа у доски	Проверочная работа	Тест
баллы
Итог
Оценка

Арифметическая прогрессия:  an
1. Определение
2.Разность арифметической прогрессии
3. Формула n - первых членов
4. Сумма n - первых членов прогрессии
5. Свойство

2

Разработка урока

алгебры по теме:

«Арифметическая

прогрессия»

Автор: учитель математики

Байтемирова Клара Низамуттеновна

с.Пресногорьковка

2014

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Образовательные цели: создание условий на уроке для проверки и коррекции знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме "Арифметическая прогрессия";

решения задач с использованием межпредметных связей;

преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.

Развивающие цели: способствовать развитию исследовательских навыков учащихся, умений анализировать полученные данные и делать выводы;

умений осуществлять самопроверку и взаимопроверку, работу в группах;

внимания, зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательные цели:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, честность, дисциплинированность;

воспитание культуры общения, культуры диалога.

Задачи учителя на уроке:

проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии;

оценить умения решать ключевые задачи по данной теме;

проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;

продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Мотивация: мотивировать учащихся к осознанному восприятию и значимости материала для подготовки к контрольной работе и итоговой аттестации.

Задачи учащихся на уроке:

устранить пробелы в знаниях;

подготовиться к успешному решению контрольной работы;

применять знания в нестандартной ситуации (решение задач прикладного содержания).

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, индивидуальные конверты учащихся, индивидуальные карточки оценки работы ученика, карточки проверки знания формул, проверочная работа с кодированным ответом (по вариантам).

Все карточки смотреть в ПРИЛОЖЕНИИ.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, в парах, групповая.

Метод обучения: частично - поисковый, установление связи теоретических и практических знаний.

Методы ведения урока:

преобразовательный (при усвоении учащимися и творческом применении навыков и умений в процессе практической деятельности);

контрольный (при выявлении качества усвоения знаний, умений и навыков и их коррекция в процессе выполнения учащимися практических заданий);

методы стимулирования и мотивации, долга и ответственности;

методы наблюдения, сравнения, мини - диалога, самостоятельной работы, применения ТСО, наглядности;

нетрадиционные методы: самоанализа (применение взаимо - самоконтроля), личностного подхода (вселяется уверенность в свои силы).

ХОД УРОКА

I.Организационный этап.

Ознакомление учащихся с целью и задачами урока, инструктаж учащихся по организации работы на уроке.

Эпиграф урока: (мультимедийный проектор)

Желаю работать, желаю трудиться,

Желаю успехов сегодня добиться.

Ведь в будущем всё это вам пригодится.

И легче в дальнейшем вам будет учиться (слайд № 2)

II. Проверка знаний фактического материала и умение раскрывать элементарные внешние связи в предметах и явлениях. (слайд № 3)

Учащимся предлагается заполнить таблицу.

Арифметическая прогрессия аn
1. Определение
2. Формула n-первых членов прогрессии
3. Сумма n-первых членов прогрессии
4. Свойства

Проверка формул.

Через 5 минут на экране появляются формулы арифметической прогрессии. Ученики проверяют формулы. (Слайд №4)

Арифметическая прогрессия аn
1. Определение	an+1= an +d
2. Формула n-первых членов прогрессии	an=a1 + d(n-1)
3. Сумма n-первых членов прогрессии
4. Свойства

Самооценивание.

III. Устная работа:

Цель: проверить ЗУН по теме: «Прогрессии.  

Метод: фронтальный опрос.

Задание: (Слайд №5)

1. Дать формулу n-го члена последовательности

1,2,3,4,5, . . . Ответ: n

1,4,9,16,25, . . . Ответ: n²

1,8,27,64,125, . . . Ответ: n³

2. Вычислить первые три члена последовательности: (Слайд №6)

A_n=4n-1

А₁=3, А₂=7, А₃=11

В_n= -5n+4

В₁= -1, В₂= -6, В₃= -11

С_n=-n

С₁=-1, С₂=-2, С₃=-3

Самооценивание.

IV. Обратимся к страницам истории. (Слайд №7)

“Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит –
Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”

Хочу рассказать вам об одном интересном эпизоде из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, стремясь надолго занять детей, задал на уроке следующую задачу.

“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

На удивление учителя один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: “Я уже решил”. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Ребятам предлагается решить туже самую задачу, ведь 9 – летний Гаусс с ней справился. Рассуждения Гаусса – как проверка. (Слайд №9)

Решаем у доски.

Страницы Российской истории.

В первом учебнике “ Арифметика” Магницкого (конец 18 в.) имеется значительное количество задач на прогрессии. Приведем пример задачи аналогичной тем, что упоминаются в математическом учебнике. (Слайд №10)

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Решение

А1=10,А2=20, А3=30,…А24=240

Сумма=(10+240)/2*24=250*12=3000=30рублей

Эту задачу решаем у доски.

Страницы современной школы. 1 группа (Слайд №11)

Задача 1 (физическая). "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Решение:

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Для 2-ой группы (Слайд №12)

Задача 2 (от строителя). При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Решение:

Ответ: 78 бревен в одной кладке.

Задача 3 (Задача от будущего медика). 3 группа (Слайд №13)

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Решение:
Имеем арифметическую прогрессию а₁=15, d=10, а_n=105. Найти n.
Решение:
а_n=a₁ +(n-1)*d
105=15+(n-1)*10
105=15+10n-10
10n=100
n=10  Ответ: 10 процедур.

VII. Домашнее задание: (Слайд № 14)

а)Творческое: найти задачи, связанные с арифметической прогрессией из различных областей: физики, медицины и т.д.

б) Решить задачи на прогрессию из сборника по подготовке к ВОУД (по вариантам)

VIII. Итог урока.

В течение урока мы повторили основные формулы арифметической прогрессии.

Показывали применение этих формул в стандартных и нестандартных ситуациях, тем самым вели подготовку к контрольной работе и успешной сдачи итоговой ВОУД.

Что для вас наиболее значимым было на уроке?

Что у вас вызвало интерес?

Заключение: на мультимедийном проекторе (Слайд № 15)

"Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет".

Желаю вам успехов в ваших дальнейших поисках!

Теоретически – практический тест

Вариант 1

1. Бесконечно упорядоченный набор чисел

а) порядок б) последовательность в) номер

2. Последовательность обозначается

а) аⁿ б) аn в) ( а_n )

3. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

4. Члены последовательности обозначаются:

а) а¹, а², а³,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а₁, а₂,а₃,….

5. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные

г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные

6. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением

в) рекуррентный способ г) словесно

7. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена х_n = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

8. Найдите седьмой член последовательности

( а_n), заданной формулой: а_n = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

9. Найдите второй член последовательности ( с_n ),

если с₁ = 8; с_n+1 = c_n – 1

а) 6 б) 7 в) 8

10. ( а_n) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.

а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …

Вариант 2

1. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением

в) рекуррентный способ г) словесно

2. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные

г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а¹, а², а³,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а₁, а₂,а₃,….

4. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

5. Последовательность обозначается

а) аⁿ б) аn в) ( а_n )

1. Бесконечно упорядоченный набор чисел

а) порядок б) последовательность в) номер

7. ( а_n) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.

а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …

8. Найдите второй член последовательности ( с_n ),

если с₁ = 8; с_n+1 = c_n – 1

а) 6 б) 7 в) 8

9. Найдите седьмой член последовательности

( а_n), заданной формулой: а_n = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

10. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена х_n = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям.)

Ответы: (Слайд 16)

В1: 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а

В2: 1.а,в,г; 2.б,в; 3.в; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10.б

Дополнительное задание:

Решите задачу: условия задачи на мультимедийном проекторе, там же и доказательство.

Найдите: (Слайд №17)

а) сумму 2 + 4 + 6 + : + 2n, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа

от 2 до 2n;

Решение. (Слайд № 18)

Найдите: (Слайд № 19)

б) сумму 1 + 3 + 5 + : + (2n - 1), слагаемыми которой являются все не четные числа

от 1 до 2n - 1.

Решение. (Слайд № 20)

Обобщение и систематизация знаний по теме:

«Арифметическая

прогрессия»

9 класс

Желаю работать, желаю трудиться,

Желаю успехов сегодня добиться.

Ведь в будущем всё это вам пригодится.

И легче в дальнейшем вам будет учиться .

Арифметическая прогрессия а n

1. Определение    

2. Формула n-первых членов прогрессии

3. Сумма n-первых членов прогрессии

4. Свойства

Арифметическая прогрессия a n

1. Определение      a n+1 = a n +d

2. Формула n-первых a n =a 1 + d(n-1)

членов прогрессии

3. Сумма n-первых

членов прогрессии

4. Свойства

1. Дать формулу n -го члена последовательности

Ответ: n

1,2,3,4,5, . . .

Ответ: n 2

1,4,9,16,25, . . .

1,8,27,64,125, . . .

Ответ: n 3

2. Вычислить первые три члена последовательности :

A n =4 n -1

А 1 =3, А 2 =7, А 3 =11

В n =-5 n +4

В 1 = -1, В 2 = -6, В 3 = -11

С n =- n

С 1 =-1, С 2 =-2, С 3 =-3

“ Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит – Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”

“ Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Задача 1 (физическая).

“ Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12бревен ?

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Домашнее задание

а)Творческое: найти задачи по

данной теме из различных областей.

б) Решить задачи на прогрессию из сборника по подготовке к ВОУД (по вариантам)

« Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет » .

Ответы:

В1 : 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а

В2 : 1.а,в,г; 2.б,в; 3.в; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10.б

Решите задачу 1 :

Найдите сумму

2 + 4 + 6 + … + 2n,

слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2n;

Дано : арифметическая прогрессия

Найти:

Решение :

Ответ:

(для четных чисел)

Решите задачу 2 :

Найдите : сумму

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечетные числа от 1 до 2n – 1 .

Дано : арифметическая прогрессия

Найти:

Решение:

Ответ :

(для нечетных чисел).