kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Поурочное планирование урока алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия. Урок является уроком обобщения и повторения, систематизации знании учащихся, .мотивирует учащихся к осознанному восприятию и значимости материала для подготовки к контрольной работе.При проведении урока используется мультимедийный проектор, индивидуальные конверты учащихся, индивидуальные карточки оценки работы ученика, карточки проверки знания формул, проверочная работа с кодированным ответом (по вариантам).

Просмотр содержимого документа
«pril2»

      1. ПРИЛОЖЕНИЕ


Страницы Российской истории.

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”



“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”




Задача 1 (физическая). "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".


Задача 2 (от строителя). При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?









Задача 3 (Задача от будущего медика).

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?







Арифметическая прогрессия аn

1. Определение    


2. Формула n-первых членов прогрессии


3. Сумма n-первых членов прогрессии




4. Свойства






Ф.И.


 

Формулы

Устная работа

Работа у доски

Проверочная работа

Тест


баллы







  1. Итог

 


 

 

 


  1. Оценка

 


 

 

 




  1. Арифметическая прогрессия:  an

1. Определение

2.Разность арифметической прогрессии

3. Формула n - первых членов

4. Сумма n - первых членов прогрессии

5. Свойство




2


Просмотр содержимого документа
«Арифметическая прогрессия»








Разработка урока

алгебры по теме:


«Арифметическая

прогрессия»









Автор: учитель математики

Байтемирова Клара Низамуттеновна

















с.Пресногорьковка

2014










Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.


Образовательные цели: создание условий на уроке для проверки и коррекции знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме "Арифметическая прогрессия";

решения задач с использованием межпредметных связей;

преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.

Развивающие цели: способствовать развитию исследовательских навыков учащихся, умений анализировать полученные данные и делать выводы;

умений осуществлять самопроверку и взаимопроверку, работу в группах;

внимания, зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательные цели:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, честность, дисциплинированность;

воспитание культуры общения, культуры диалога.

Задачи учителя на уроке:

проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии;

оценить умения решать ключевые задачи по данной теме;

проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;

продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Мотивация: мотивировать учащихся к осознанному восприятию и значимости материала для подготовки к контрольной работе и итоговой аттестации.

Задачи учащихся на уроке:

устранить пробелы в знаниях;

подготовиться к успешному решению контрольной работы;

применять знания в нестандартной ситуации (решение задач прикладного содержания).

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, индивидуальные конверты учащихся, индивидуальные карточки оценки работы ученика, карточки проверки знания формул, проверочная работа с кодированным ответом (по вариантам).


Все карточки смотреть в ПРИЛОЖЕНИИ.


Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, в парах, групповая.


Метод обучения: частично - поисковый, установление связи теоретических и практических знаний.


Методы ведения урока:

преобразовательный (при усвоении учащимися и творческом применении навыков и умений в процессе практической деятельности);

контрольный (при выявлении качества усвоения знаний, умений и навыков и их коррекция в процессе выполнения учащимися практических заданий);

методы стимулирования и мотивации, долга и ответственности;

методы наблюдения, сравнения, мини - диалога, самостоятельной работы, применения ТСО, наглядности;

нетрадиционные методы: самоанализа (применение взаимо - самоконтроля), личностного подхода (вселяется уверенность в свои силы).


ХОД УРОКА


I.Организационный этап.


Ознакомление учащихся с целью и задачами урока, инструктаж учащихся по организации работы на уроке.


Эпиграф урока: (мультимедийный проектор)


Желаю работать, желаю трудиться,

Желаю успехов сегодня добиться.

Ведь в будущем всё это вам пригодится.

И легче в дальнейшем вам будет учиться (слайд № 2)


II. Проверка знаний фактического материала и умение раскрывать элементарные внешние связи в предметах и явлениях. (слайд № 3)

Учащимся предлагается заполнить таблицу.


Арифметическая прогрессия аn

1. Определение    


2. Формула n-первых членов прогрессии


3. Сумма n-первых членов прогрессии




4. Свойства






Проверка формул.

Через 5 минут на экране появляются формулы арифметической прогрессии. Ученики проверяют формулы. (Слайд №4)

Арифметическая прогрессия аn

1. Определение    

an+1= an +d

2. Формула n-первых членов прогрессии

an=a1 + d(n-1)

3. Сумма n-первых членов прогрессии

4. Свойства


Самооценивание.


III. Устная работа:

Цель: проверить ЗУН по теме: «Прогрессии.  

Метод: фронтальный опрос.

Задание: (Слайд №5)

1. Дать формулу n-го члена последовательности

1,2,3,4,5, . . . Ответ: n

1,4,9,16,25, . . . Ответ: n2

1,8,27,64,125, . . . Ответ: n3


2. Вычислить первые три члена последовательности: (Слайд №6)

An=4n-1

А1=3, А2=7, А3=11

Вn= -5n+4

В1= -1, В2= -6, В3= -11

Сn=-n

С1=-1, С2=-2, С3=-3


Самооценивание.


IV. Обратимся к страницам истории. (Слайд №7)

“Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит –
Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”


Хочу рассказать вам об одном интересном эпизоде из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, стремясь надолго занять детей, задал на уроке следующую задачу.

“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

На удивление учителя один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: “Я уже решил”. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Ребятам предлагается решить туже самую задачу, ведь 9 – летний Гаусс с ней справился. Рассуждения Гаусса – как проверка. (Слайд №9)

Решаем у доски.

Страницы Российской истории.

В первом учебнике “ Арифметика” Магницкого (конец 18 в.) имеется значительное количество задач на прогрессии. Приведем пример задачи аналогичной тем, что упоминаются в математическом учебнике. (Слайд №10)

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Решение

А1=10,А2=20, А3=30,…А24=240

Сумма=(10+240)/2*24=250*12=3000=30рублей

Эту задачу решаем у доски.


Страницы современной школы. 1 группа (Слайд №11)

Задача 1 (физическая). "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Решение:

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Для 2-ой группы (Слайд №12)

Задача 2 (от строителя). При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Решение:

Ответ: 78 бревен в одной кладке.


Задача 3 (Задача от будущего медика). 3 группа (Слайд №13)

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?


Решение:
Имеем арифметическую прогрессию а1=15, d=10, аn=105. Найти n.
Решение:
аn=a+(n-1)*d
105=15+(n-1)*10
105=15+10n-10
10n=100
n=10  Ответ: 10 процедур.


VII. Домашнее задание: (Слайд № 14)


а)Творческое: найти задачи, связанные с арифметической прогрессией из различных областей: физики, медицины и т.д.

б) Решить задачи на прогрессию из сборника по подготовке к ВОУД (по вариантам)


VIII. Итог урока.

В течение урока мы повторили основные формулы арифметической прогрессии.

Показывали применение этих формул в стандартных и нестандартных ситуациях, тем самым вели подготовку к контрольной работе и успешной сдачи итоговой ВОУД.


Что для вас наиболее значимым было на уроке?


Что у вас вызвало интерес?




Заключение: на мультимедийном проекторе (Слайд № 15)


"Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет".


Желаю вам успехов в ваших дальнейших поисках!














































Теоретически – практический тест

Вариант 1

  1. Бесконечно упорядоченный набор чисел

а) порядок б) последовательность в) номер

2. Последовательность обозначается

а) аn б) аn в) ( аn )

3. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

4. Члены последовательности обозначаются:

а) а1, а2, а3,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а23,….

5. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные

г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные

6. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением

в) рекуррентный способ г) словесно

7. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

8. Найдите седьмой член последовательности

( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

9. Найдите второй член последовательности ( сn ),

если с1 = 8; сn+1 = cn – 1

а) 6 б) 7 в) 8

10. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.

а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …



Вариант 2

1. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением

в) рекуррентный способ г) словесно

2. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные

г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а1, а2, а3,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а23,….

4. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

5. Последовательность обозначается

а) аn б) аn в) ( аn )

  1. Бесконечно упорядоченный набор чисел

а) порядок б) последовательность в) номер

7. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.

а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …

8. Найдите второй член последовательности ( сn ),

если с1 = 8; сn+1 = cn – 1

а) 6 б) 7 в) 8

9. Найдите седьмой член последовательности

( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

10. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …


(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям.)


Ответы: (Слайд 16)

В1: 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а

В2: 1.а,в,г; 2.б,в; 3.в; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10.б








Дополнительное задание:


Решите задачу: условия задачи на мультимедийном проекторе, там же и доказательство.


Найдите: (Слайд №17)


а) сумму 2 + 4 + 6 + : + 2n, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа


от 2 до 2n;


Решение. (Слайд № 18)


Найдите: (Слайд № 19)

б) сумму 1 + 3 + 5 + : + (2n - 1), слагаемыми которой являются все не четные числа


от 1 до 2n - 1.


Решение. (Слайд № 20)







Просмотр содержимого презентации
«открытый урок в 9 классе»

Обобщение и систематизация знаний по теме:   «Арифметическая  прогрессия»  9 класс

Обобщение и систематизация знаний по теме:

«Арифметическая

прогрессия»

9 класс

Желаю работать, желаю трудиться,  Желаю успехов сегодня добиться.  Ведь  в будущем всё это вам пригодится.  И легче в дальнейшем вам будет учиться .

Желаю работать, желаю трудиться,

Желаю успехов сегодня добиться.

Ведь в будущем всё это вам пригодится.

И легче в дальнейшем вам будет учиться .

Арифметическая прогрессия а n 1. Определение     2. Формула n-первых членов прогрессии 3. Сумма n-первых членов прогрессии 4. Свойства

Арифметическая прогрессия а n

1. Определение    

2. Формула n-первых членов прогрессии

3. Сумма n-первых членов прогрессии

4. Свойства

Арифметическая прогрессия a n 1. Определение       a n+1 = a n +d 2. Формула n-первых  a n =a 1 + d(n-1)  членов прогрессии 3. Сумма n-первых  членов прогрессии 4. Свойства

Арифметическая прогрессия a n

1. Определение      a n+1 = a n +d

2. Формула n-первых a n =a 1 + d(n-1)

членов прогрессии

3. Сумма n-первых

членов прогрессии

4. Свойства

1. Дать формулу n -го члена последовательности Ответ: n 1,2,3,4,5, . . . Ответ: n 2 1,4,9,16,25, . . . 1,8,27,64,125, . . .  Ответ: n 3

1. Дать формулу n -го члена последовательности

Ответ: n

1,2,3,4,5, . . .

Ответ: n 2

1,4,9,16,25, . . .

1,8,27,64,125, . . .

Ответ: n 3

2. Вычислить первые три члена последовательности : A n =4 n -1 А 1 =3, А 2 =7, А 3 =11 В n =-5 n +4 В 1 = -1, В 2 = -6, В 3 = -11 С n =- n С 1 =-1, С 2 =-2, С 3 =-3

2. Вычислить первые три члена последовательности :

A n =4 n -1

А 1 =3, А 2 =7, А 3 =11

В n =-5 n +4

В 1 = -1, В 2 = -6, В 3 = -11

С n =- n

С 1 =-1, С 2 =-2, С 3 =-3

“ Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит –  Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”

“ Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит – Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”

“ Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Задача 1 (физическая).  “ Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

Задача 1 (физическая).

Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если  в  ее основание положить 12бревен ?

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12бревен ?

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Домашнее задание а)Творческое: найти задачи по данной теме из различных областей. б) Решить задачи на прогрессию из сборника по подготовке к ВОУД (по вариантам)

Домашнее задание

а)Творческое: найти задачи по

данной теме из различных областей.

б) Решить задачи на прогрессию из сборника по подготовке к ВОУД (по вариантам)

« Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок  И поискам предела нет » .

« Да, путь познания не гладок,

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет » .

Ответы: В1 : 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а В2 : 1.а,в,г; 2.б,в; 3.в; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10.б

Ответы:

В1 : 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а

В2 : 1.а,в,г; 2.б,в; 3.в; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10.б

Решите задачу 1 : Найдите сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2n;

Решите задачу 1 :

Найдите сумму

2 + 4 + 6 + … + 2n,

слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2n;

Дано :  арифметическая прогрессия   Найти:  Решение :  Ответ: (для четных чисел)

Дано : арифметическая прогрессия

Найти:

Решение :

Ответ:

(для четных чисел)

Решите задачу 2 : Найдите : сумму 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечетные числа от 1 до 2n – 1 .

Решите задачу 2 :

Найдите : сумму

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), слагаемыми которой являются все нечетные числа от 1 до 2n – 1 .

Дано :  арифметическая прогрессия  Найти:  Решение: Ответ :  (для нечетных чисел).

Дано : арифметическая прогрессия

Найти:

Решение:

Ответ :

(для нечетных чисел).


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия"

Автор: Байтемирова Клара Низамуттеновна

Дата: 18.12.2014

Номер свидетельства: 145379

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Конспект урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия" ( 9 класс)"
    ["seo_title"] => string(79) "konspiekt-uroka-po-alghiebrie-na-tiemu-arifmietichieskaia-proghriessiia-9-klass"
    ["file_id"] => string(6) "255231"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447876831"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(73) "Урок по теме Арифметическая прогрессия "
    ["seo_title"] => string(47) "urok-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "243162"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1445632116"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(104) "Презентация к уроку на тему: "Арифметическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(65) "priezientatsiia-k-uroku-na-tiemu-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "136171"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1417061851"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(162) "Технологическая карта урока алгебры "Решение задач по теме "Арифметическая прогрессия"" "
    ["seo_title"] => string(105) "tiekhnologhichieskaia-karta-uroka-alghiebry-rieshieniie-zadach-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "102618"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402536950"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(141) "конспект урока математики "Решение задач по теме арифметическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(89) "konspiekt-uroka-matiematiki-rieshieniie-zadach-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "102586"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402528285"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства