kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия" ( 9 класс)

Нажмите, чтобы узнать подробности

УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ
 « АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ».   

ЦЕЛЬ УРОКА:
    - Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.
   - Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул
п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.
   - Способствовать формированию у учащихся:
 умения анализировать математическое предложение;
умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;
умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.

ПЛАН:

1.Обосновать необходимость изучения темы.
2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.
3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.
4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.
5. Легенда о немецком математике Гауссе.
6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.
7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).
8. Домашнее задание.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«ариф.прогрессия»



МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ



УРОК – ЛЕКЦИЯ ПО АЛГЕБРЕ

(9 класс)

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

( 2 урока )





Разработала

учительница математики

МОУ Юловская оош
Зубкова Наталья Ивановна







УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ

« АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ).



ЦЕЛЬ УРОКА:

- Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.

- Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул

п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.

- Способствовать формированию у учащихся:

умения анализировать математическое предложение;

умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;

умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.





ПЛАН:


1.Обосновать необходимость изучения темы.

2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.

3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.

4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.

5. Легенда о немецком математике Гауссе.

6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.

7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).

8. Домашнее задание.








ХОД УРОКА.


1.Организационный момент.


2. Постановка цели урока перед учащимися.


Научиться выделять среди всех последовательностей

арифметическую прогрессию и ее свойства.


3.Повторение с целью проверки уровня усвоения пройденного и подведения к новому материалу.


УСТНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.


1. Назовите первые пять членов последовательности ( ап), если ап = п2+ 5

2. Выделите общее свойство членов последовательностей:

2;3;4;5;…

14;12;10;8;…

-3;-4;-5;….

0,3;0,6;0,9;…


ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОДВЕДЕНИИ ИТОГОВ ФРОНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ:

1.Что такое последовательность?

2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.

3.Какие существуют способы задания последовательностей?

Приведите примеры.


4.Ознакомление с новым материалом и его закрепление.


1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.


ЗАДАЧА.

Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок ).










1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

5;7;9;11;13;15;17.


2) Запишите последовательность с помощью таблицы.



а1

а2

а3

а4

а5

а6

а7

5

7

9

11

13

15

17


3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.

а2 - а1 =7-5=2 а3 - а2 =9-7=2

а4 - а 3=11-9=2 а5 - а4=13-11=2

а6 - а5 =15-13=2 а7 - а6 =17-15=2


d-разность ;


d= а2 - а1 = а3 - - а2 = а4 - а3 = …

d= ап+1 – ап




- разность


4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.


а1 = 5, ап+1 = ап +2


УЧИТЕЛЬ:


Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат. рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последователь­ность чисел, построенная по такому за­кону, который позволяет неограничен­но продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее вре­мя термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практиче­ских нужд вида последовательностей со­хранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.

Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.


5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.

Учащиеся пытаются сформулировать

определение, учитель им помогает.


6) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух.

7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.

(5+9):2=7.

8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?

1+ а3 ) :2= а2 (5+9):2=7, а2=7,


9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность

d= ап+1 - ап = ап+2 - ап+1=…

ап+1 - ап = ап+2 - ап+1

2 ап+1 = ап+2 + ап

ап+1 =( ап+2 + ап):2

ап+1 =( ап+2 + ап):2




- свойство членов арифметической прогрессии.



ВЫВОД:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.


ПРИМЕР.1. Дано:( ап)-арифметическая прогрессия,

а1 =4, d= 7.

Найти: первые пять членов, т.е. а2, а3, а4, а5

Решение:

а2 = а1+ d=4+7=11

а3= а2+ d=11+7=18

а4 = а3+ d=18+7=25

а5 = а4+ d=25+7=32

Ответ: 4;11;18;25;32.


2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ п-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.


( ап )- арифметическая прогрессия,

d-разность прогрессии,

а1 - первый член .

а2 = а1 + d

а3= а2+ d = а1+ d + d = а1 +2 d

а4 = а3+ d = а1 +2 d + d = а1 +3d

………………………………

ап ап = а1 + (п-1) d




- формула п-го члена арифметической прогрессии.


ПРИМЕР.2. Дано: (ап )-арифметическая прогрессия,d=3, а1=20,

Найти: а512 .

Решение: ап = а1 + (п-1) d

а5= а1 + (5-1) d

а5=20+4*3=32

а12= а1 + (12-1) d

а12=20+11*3=53

Ответ: а5=32, а12=53.


ПРИМЕР.3. Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.

Найти: а11

Решение:

а1=15, а2=13, d= а2 – а1

d=13-15= - 2,

ап = а1 + (п-1) d

а11 = а1 + (11-1) d

а11 = 15 + 10*(-2)=-5.

Ответ: а11=-5.



3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.


1)Постановка проблемы.

2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).

В Д О

















































































А С Е


3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.


4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.

Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).


5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.

S(ABGE)= AE*AB

S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов

S(ABDC)=n



Sn- сумма n – первых членов арифметической прогрессии.



-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.


ап = а1 + (п-1) d




-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.



ПРИМЕР.4. Дано: (ап)-арифметическая прогрессия,

а1=-40, а5= -32.

Найти:S5.

Решение:


=


S5=-180

Ответ: S5=-180.


ПРИМЕР.5. Дано:8;4;0;…-арифметическая прогрессия.

Найти:S20

Решение:


20

d= a2 – a1=4-8=-4

20 =- 600 .

Ответ: -600.


4 .СООБЩЕНИЕ УЧАЩЕГОСЯ.



Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в

раннем возрасте проявил необыкновенные способ­ности к

изучению арифметики.

Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе

учебных заведений два первых года обуче­ния почти

полностью отводились на чтение и письмо.

И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не

выделялся.

Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли ариф­метике.

Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натураль­ных чисел от единицы до ста.

Нервно заскрипели на аспидных досках грифели уче­ников. Их всех, за исключением только одного, пугала на­висшая угроза почувствовать на собственном теле силь­ные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хо­рошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгно­венно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова форму­лировки задачи.

Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаус­са даже и не допускал мысли, что на столь поспешно по­ложенной доске может оказаться правильное решение задачи.

Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло време­ни, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, кото­рые были сданы первыми.

Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма про­стым и оригинальным.

В решении Карла ярко проявилась его математиче­ская зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ... +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сум­ма каждой пары слагае­мых, которые одинаково отстоят от концов запи­санного выражения, рав­на 101

( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51).

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза мень­ше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся иско­мая сумма

равна 101-50 = 5050.

Способности Гаусса в области счета всегда удив­ляли людей, которым до­водилось с ним встречать­ся. В развитии этих спо­собностей очень большую роль сыграли целеустрем­ленность, трудолюбие и тщательность выполнения каж­дой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений Карл Гаусс всегда со­блюдал образцовый порядок. Каждую цифру он писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные спо­собы проверки.









К. Гаусс.






5 .СООБЩЕНИЕ УЧАЩЕГОСЯ.

С арифметической прогрессией связано на­чало творческого пути другого выдающегося матема­тика — Андрея Николаевича Колмогорова. В своей статье «Как я стал математиком» он пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

1 = 12,

1 + 3 = 22,

1 + 3 + 5 = З2,

1+3 + 5 + 7 = 42 и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки уст­роили маленькую школу, в которой занимались с де­сятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано. Там же я опубликовал приду­манные мною арифметические задачи».

Как была обнаружена эта закономерность, автор приведенных строк не указывает (как и в описанной выше легенде о Гауссе также не ясно, как он заметил нужное свойство). Вполне возможно, что это были только чисто арифметические наблюдения. Может быть, он использовал такой же прием, как и Гаусс, просуммировав прогрессию ап = 2п - 1. Но могло быть и так.

Положим в тождестве

2к - 1 = к2 - - 1)2

последовательно к = 1, 2, 3, ..., п; имеем цепочку равенств

1 = I2,

3 = 22 - I2,

5 = 32 - 22

7 = 42 - З2,

………….

2к - 1 = п2 - (п - I)2.

Сложив эти равенства, получим нужную формулу:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п - 1) = п2.




6. УЧИТЕЛЬ:

Арифметическая и геометрическая прогрессии — два важных инструмен­та, которые используются в различных построениях и при решении чисто прак­тических задач. Поэтому вполне зако­номерно, что в знаменитой книге Л.Ф.

Магницкого «Арифметика», напи­санной для учеников Математико-навигационной школы (первой специализи­рованной школы в России, которая указом Петра от 14 января 1701 года была открыта в Москве), пятая часть имеющихся в ней задач отведена уче­нию о прогрессиях.

Свойства прогрессий и задачи, с ними связанные, являются эффектив­ным пропедевтическим средством для изучения основ алгебры, дифференци­ального и интегрального исчислений. И, тем самым, не случайно, что экзамена­ционные комиссии различных ВУЗов не­пременно включали задачи на прогрес­сии в

свои варианты вступительных эк­заменов (например, в вариантах

МГУ им. М.В. Ломоносова в период 2000-2005 г. встретилось 34 такие задачи).

Задачи, в которых используются определения, свойства, формулы п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии , встречаются в КИМах ГИА и ЕГЭ.

Знание определения и свойств арифметической прогрессии позволяет решать сложные уравнения. А при решении еще, каких задач используются свойства арифметической прогрессии, Вы можете узнать в журнале «Математика в школе»№2 за 1991 год, в газете « Математика» № 6 за 2006 год.



РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

+5)+(х+8)+(х+11)+…+(х+32)=200.


х+5,х+8,х+11 … х+32- арифметическая прогрессия,

а1= х+5, а2= х+8

d= а2 – а1

d= (х+8)-(х+5)=3

ап = а1 + (п-1) d

ап= х+32, то х+32=(х+5)+ (п-1)*3

х+32- х-5= 3п- 3

3п=30

п=10

Тогда по формуле суммы п первых членов арифметической прогрессии получим

(2x+37)*5=200

2x+37=40

2x=3

x=1,5

Ответ:1,5.


7. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель повторяет весь теоретический материал урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы арифметической прогрессии.

8. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

изучить материал учебника ( п.25,п.26) и конспекта лекции;

рассмотреть другой способ вывода формулы п-первых членов арифметической прогрессии в учебнике ;

выучить определение, свойства и формулы.


9. ЛИТЕРАТУРА:


    1. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

    2. Глейзер Г.И. История математики в школе, 7-8 классы. Пособие для учителей. – М .: Просвещение, 1982.

    3. Учебно – методическая газета « Математика»

( приложение к газете « Первое сентября»).

    1. Журнал « Математика в школе »

    2. Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

    3. Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.

    4. Интернет. Википедия.



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Конспект урока по алгебре на тему "Арифметическая прогрессия" ( 9 класс)

Автор: Зубкова Наталья Ивановна

Дата: 18.11.2015

Номер свидетельства: 255231

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока по теме: "Арифметическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia-1"
    ["file_id"] => string(6) "142284"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418246186"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(141) "конспект урока математики "Решение задач по теме арифметическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(89) "konspiekt-uroka-matiematiki-rieshieniie-zadach-po-tiemie-arifmietichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "102586"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402528285"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(173) "Презентация на тему: "Арифметическая прогрессия.Формула n-го члена арифметической прогрессии" "
    ["seo_title"] => string(110) "priezientatsiia-na-tiemu-arifmietichieskaia-proghriessiia-formula-n-gho-chliena-arifmietichieskoi-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "137500"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1417361273"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(126) "Конспект урока по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия" "
    ["seo_title"] => string(81) "konspiekt-uroka-po-tiemie-arifmietichieskaia-i-ghieomietrichieskaia-proghriessiia"
    ["file_id"] => string(6) "124621"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1414752642"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(148) "План- конспект урока по теме "Арфметическая прогрессия. Формула n - го член" 9 класс"
    ["seo_title"] => string(91) "plan-konspiekt-uroka-po-tiemie-arfmietichieskaia-proghriessiia-formula-n-gho-chlien-9-klass"
    ["file_id"] => string(6) "262967"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1449439292"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства