Угол между прямой и плоскостью

Урок по геометрии

Учитель. Назарова Л.В. Школа: МОУ СОШ п. Индустриальный Екатериновского района

Класс 11.

Тема: «Угол между прямой и плоскостью».

Тип урока: повторение, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

Образовательная: обобщить, систематизировать знания учащихся об углах между прямой и плоскостью; продолжить формирование умений и навыков в в решении задач по данной теме.

Развивающая: углубление знаний, умений и навыков, знакомство с различными методами (геометрическим, векторно-координатнм, методом дополнительных построений); развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки.

Воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, прививать аккуратность и трудолюбие.

1. Устная работа

1. Дайте определение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

2. Справедливо ли утверждение, что прямая, пересекающая плоскость круга в центре круга и перпендикулярная его радиусу, перпендикулярна, плоскости круга? Ответ поясните.

1. . К плоскости прямоугольника в точке пересечения диагоналей
   восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение, что произвольная его точка будет равноудалена от вершин прямоугольника? Почему?

1. . Найдите диагональ куба, ребро которого равно 1.

5.Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от трех точек, не принадлежащих одной прямой.

1. Воспроизведение и коррекция опорных знаний D₁ ^C₁

а) Учитель: Найти угол B

между диагональю АС₁, куба А.. '.D, и C

диагональю АС его нижнего основания. А B

Нетрудно видеть, что тангенс искомого угла будет равен .

б) Найти угол между ребром СС₁ и АС. Это прямой угол.

Учитель: Как определить углы между АС₁, и плоскостью грани АВС, между СС₁ и той же плоскостью.

Считают, что прямая, пер­пендикулярная плоскости, обра­зует с этой плоскостью прямой угол.

2.Определение.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее орто­гональной проекцией на эту плоскость.

3.Определение. Проектирование в направлении пря­мой, перпендикулярной плоскости проекций, называ­ется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: М = Пр(М').

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющемся ортого­нальным, длина проекции отрезка может быть меньше, боль­ше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением

Пр(АВ) = |AS|*cos, где - величина угла между прямой АВ и плоскостью проекций а.

III . Решение опорных задач

1. Назовите плоскости перпендикулярные ребру куба?

(AD DD₁C₁C, AD ABB₁A₁₎

1. D₁C - диагональ.

Построить плоскость перпендикулярную D₁C.

(построение: AD D₁C DC₁B₁ D₁C.

DC₁ D₁C

1. Докажите, что A₁C B₁D₁A

Доказательство. Докажем, что

а)A₁C AD₁

б)A₁C B₁D₁

При доказательстве перпендикулярности прямой и плоскости,

как правило, используется теорема о трех перпендикулярах.

а)Спроектируем A₁C на плоскость AD₁D. Пр A₁C= A₁D, т.к.

A₁D AD₁ = A₁C AD₁

б)Докажем, что A₁C B₁D_{1 :} β= (A₁B₁C₁D₁) Пр _β A₁C= A₁C_1, т.к.

A₁C₁ B₁D₁ = A₁C B₁D₁

1. Построить точку пересечения прямой A₁C с плоскостью B₁D₁A_1/

1 шаг. Необходимо построить плоскость содержащую данную прямою.

2шаг. Построить линию пересечения данной и построенной плоскостей.

3шаг. Найти точку пересечения построенной и данной прямой.

IV. III . Решение опорных задач

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AA1 и AB1C1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AA1 и BC1D.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BCC1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и ABC1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BC1D.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BB1D1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BCC1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BB1D1.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BA1D.

V . Решение задач типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010 математика, используя различные методы решения.

1. Векторно-координатный метод решения задач.

Вектор N _┴ β, угол α, угол между

прямой l и плоскостью β.

N a cos (N ,a) = cos (90 - α) = sin α

α

β

l sin α = (1)

Устный диктант.

1. Назвать общее уравнение плоскости. (Ax + By + Cz + D = 0?

2. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости?

( N(A,B,C) перпендикулярен плоскости.)

1. Пусть вектор N _┴ β, вектор а || l . найдите угол между прямой и плоскостью. (α = 90 - (N ,a) = sin α =

Задача 1

В кубе A…D1 точка Е - середина ребра A ₁B ₁. D₁ С₁

Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью B D D₁. А₁

Решение.

Вектор перпендикулярен плоскости С

(ВВ ₁ D₁), вектор || прямой АЕ. А В

а – угол между прямой АЕ и плоскостью (ВВ ₁ D₁₎.

=

Если есть три взаимно перпендикулярных ребра, то можно ввести систему координат.

||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

точка D(0;0;0) обозначим |DD₁| =Z 0

По нашему выбору координат точка А(1;0;0), Е(1;1/2;1), А₁(1;0;1), С₁(0;1;1)

{0;1/2;1} |= = ;

{-1;1;0} |== .

=

Ответ:

Задача 2. (самостоятельное решение) С 2 из варианта №1 типовых вариантов заданий ЕГЭ 2010 математика.

В кубе A…D1 найдите угол между прямой A B ₁ и плоскостью A BС _1.

Решение. D₁ С₁

Вектор CD ₁ перпендикулярен плоскости (АВС₁ ),

вектор АВ₁ || прямой АВ₁ , А₁

α – угол между прямой АВ₁ и плоскостью (АВС₁ ).

Для нахождения угла α используем формулу (1). D ₁ С

Запишем её для наших векторов. А В

Чтобы найти координаты векторов и их абсолютные величины, введём систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD₁| =Z 0, по нашему выбору координат точка А(1;0;0), С(0;1;0), В₁(1;1;1).

{0;1;1}, ==

{1;0;1}, = =,

= , . Ответ: 30 ⁰.

1. Метод дополнительных построений.

Задача 3. (С2.13. стр.75 «Универсальные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ» математика 2010. Под редакцией А.Л.Семёнова и И.В. Ященко).

В правильной шестиугольной призме А…F ₁ , все ребра которой равны 1, точка G – середина ребра А₁ В ₁. Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью ВСС₁.

Решение

А ₁ В₁ М₁

С

Достроим треугольную призму ВМСВ ₁М ₁С _1. В М

Основание призмы равносторонний треугольник. Построим прямую ВG ₁ || прямой АG. Угол между прямой АG и плоскостью ВСС₁ - есть угол между прямой ВG ₁ и плоскостью (ВСС₁ )_.

Построим ортогональную проекцию прямой АG на плоскость (ВСС₁ )_.

Пр ВG ₁= ВК, т.к. G ₁К(ВСС₁ )_. Угол G ₁ВВ ₁ = α.

Из треугольника ВG ₁В ₁ - прямоугольный, G ₁В ₁В= 90⁰= sin α = G ₁В ₁ : ВG _1.

sin α = . Ответ: sin α = .

Домашнее задание (карточки с разно уровневыми задачами, которые нужно решить различными методами: координатно-векторным методом, методом дополнительных построений и геометрическим).

Приложение 1.

Карточки с домашнем заданием.

Уровень А.

1. В кубе A…D1 найдите угол между прямой СD ₁ и плоскостью ADD _1.

Уровень В.

1. В кубе A-D₁ найдите угол между прямой AС и плоскостью BCD_1.

2. В правильной шестиугольной призме A-F₁ все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и BCC₁ плоскостью BCC₁.

3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все её рёбра равны 1. Найдите угол между прямой AB и плоскостью SBD

Уровень С.

1. В кубе A…D₁- найдите косинус угла между прямой DB ₁ и плоскостью ADD₁.

Приложение 2.

Решение задач домашнего задания.

Уровень А.

_{1). В кубе A…D1 найдите угол между прямой СD1 и плоскостью ADD1.
Решение (кординатно – векторный метод)}

_{Вектор DC ┴ (ADD1 ), вектор CD1 || прямой CD1}

_{угол между прямой CD1 и плоскостью ADD1, есть угол α}

Sinα=,

Чтобы найти координаты векторов и их абсолютные величины, введём систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD₁| =Z 0, е.С(0,1,0), т. D ₁(0,0,1),

С D{0, -1,0 } |С D| = 1

С D ₁{0, -1, 1 } |С D ₁| =

Sin α =, α = 45⁰ . Ответ: 45⁰.

Уровень В

I)В кубе A-D₁ найдите угол между прямой AС и плоскостью BCD₁

Решение: (координатно-векторный метод)

Построим угол между прямой AC и плоскостью BCD₁ . Для этого:

1) AВ ₁ ВСD₁, вектор СА|| АС

2) для нахождения угла α , угла между прямой АС и плоскостью BCD₁ используем формулу скалярного произведения векторов

Sin α=

Если есть три взаимно перпендикулярных ребра, то можно ввести систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD₁| =Z 0, тогда точка А(1,0,0), т. В ₁(1,1,1),

С(0,1,0).

AВ₁{0,1,1} |AВ₁| =

АC{-1,1,0} |СА| =

Sin α =. Ответ 30˚

2)В правильной шестиугольной призме A-F₁ все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и BCC₁ плоскостью BCC₁

Решение (метод дополнительных построений)

1)Построим BQ=AB , CQ=DC

2) Призма BCQB₁C₁Q₁ , ∆ВСQ равносторонний

_{3) Спроектируем} BQ на плоскость BCC₁D₁, QK _{BC, значит Пр BCC1 BQ=BK, т.к. QK BC и QK КК1 =QK (BB1C1), угол QBK=α, угол между прямой и плоскостью .}

_{Из ∆QBK = угол α=60˚. Ответ 60˚}

_{3) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью SBD/}

_{Решение (геометрический метод)}

_{Построим угол между прямой АВ и (BDS), спроектируем AB на (BDS).}

_{AO BD, AO SO =AO (BDS), значит Пр ВDS AB=OB;}

_{Угол ABO =α, ? угол между прямой FB и плоскостьюBDS.}

_{Угол равен 45˚}

_{Ответ 45˚}

_{Задачи уровня С}

I)В кубе A…D₁- найдите косинус угла между прямой DB ₁ и плоскостью ADD₁

Решение:

Если есть три взаимно перпендикулярных ребра,

то можно ввести систему координат.

DА||OX,

DC||OY,

D₁D||OZ точка D( 0;0;0)

Пусть ребро куба равно 1

Точка A₁(1;0;1), В₁ (1,1,1)

_B1A_{1A1 D1, B1A1AA1 =B1A1 (ADD1), Пр ADD1DB1=DA1}

_{Значит угол B1D1A1=α, угол между прямой DB1 и плоскостью ADD1}

_{Найдем угол между векторами и используя формулу скалярного}

Определим координаты векторов и и их абсолютные величины

{1;1;1;} ||= =

==

= ==

Ответ

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 Ч.1 Методические рекомендации для учителя. Москва 2003: Мнемозина.

2. Костаева Т.В., Соловьёва Г.Д., Фомина И.Н. Современный урок математики.//методические рекомендации по моделированию урока. Саратов 2010.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А., Ященко И.В «Универсальные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ» математика 2018. «Интеллект – центр 2018

4. Корнеева А.О. Методы решения стереометрических задач. Саратов 2007.

5. Семёнов А.Л., Ященко И.В Типовые варианты заданий ЕГЭ 2018 математика.