kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Угол между прямой и плоскостью

Нажмите, чтобы узнать подробности

Обобщающее повторение по теме и подготовка к ЕГЭ

Просмотр содержимого документа
«Угол между прямой и плоскостью»

Урок по геометрии

Учитель. Назарова Л.В. Школа: МОУ СОШ п. Индустриальный Екатериновского района

Класс 11.

Тема: «Угол между прямой и плоскостью».

Тип урока: повторение, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

Образовательная: обобщить, систематизировать знания учащихся об углах между прямой и плоскостью; продолжить формирование умений и навыков в в решении задач по данной теме.

Развивающая: углубление знаний, умений и навыков, знакомство с различными методами (геометрическим, векторно-координатнм, методом дополнительных построений); развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки.

Воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, прививать аккуратность и трудолюбие.

  1. Устная работа

1. Дайте определение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

2. Справедливо ли утверждение, что прямая, пересекающая плоскость круга в центре круга и перпендикулярная его радиусу, перпендикулярна, плоскости круга? Ответ поясните.

  1. . К плоскости прямоугольника в точке пересечения диагоналей
    восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение, что произвольная его точка будет равноудалена от вершин прямоугольника? Почему?

  1. . Найдите диагональ куба, ребро которого равно 1.

5.Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от трех точек, не принадлежащих одной прямой.




  1. Воспроизведение и коррекция опорных знаний D1 C1

а) Учитель: Найти угол B

между диагональю АС1, куба А.. '.D, и C

диагональю АС его нижнего основания. А B

Нетрудно видеть, что тангенс искомого угла будет равен .

б) Найти угол между ребром СС1 и АС. Это прямой угол.

Учитель: Как определить углы между АС1, и плоскостью грани АВС, между СС1 и той же плоскостью.


Считают, что прямая, пер­пендикулярная плоскости, обра­зует с этой плоскостью прямой угол.

2.Определение.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее орто­гональной проекцией на эту плоскость.

3.Определение. Проектирование в направлении пря­мой, перпендикулярной плоскости проекций, называ­ется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: М = Пр(М').

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющемся ортого­нальным, длина проекции отрезка может быть меньше, боль­ше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением

Пр(АВ) = |AS|*cos, где - величина угла между прямой АВ и плоскостью проекций а.

III . Решение опорных задач

  1. Назовите плоскости перпендикулярные ребру куба?

(AD DD1C1C, AD ABB1A1)

  1. D1C - диагональ.

Построить плоскость перпендикулярную D1C.

(построение: AD D1C DC1B1 D1C.

DC1 D1C


  1. Докажите, что A1C B1D1A

Доказательство. Докажем, что

а)A1C AD1

б)A1C B1D1

При доказательстве перпендикулярности прямой и плоскости,

как правило, используется теорема о трех перпендикулярах.

а)Спроектируем A1C на плоскость AD1D. Пр A1C= A1D, т.к.

A1D AD1 = A1C AD1

б)Докажем, что A1C B1D1 : β= (A1B1C1D1) Пр β A1C= A1C1, т.к.

A1C1 B1D1 = A1C B1D1

  1. Построить точку пересечения прямой A1C с плоскостью B1D1A1/

1 шаг. Необходимо построить плоскость содержащую данную прямою.

2шаг. Построить линию пересечения данной и построенной плоскостей.

3шаг. Найти точку пересечения построенной и данной прямой.

IV. III . Решение опорных задач


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AA1 и AB1C1.

В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AA1 и BC1D.

В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BCC1.


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и ABC1.


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BC1D.


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AB1 и BB1D1.

В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BCC1.


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BB1D1.


В кубе AD1 найдите угол между прямой и плоскостью

AC1 и BA1D.




V . Решение задач типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010 математика, используя различные методы решения.

  1. Векторно-координатный метод решения задач.



Вектор N β, угол α, угол между

прямой l и плоскостью β.

N a cos (N ,a) = cos (90 - α) = sin α

α

β


l sin α = (1)


Устный диктант.


  1. Назвать общее уравнение плоскости. (Ax + By + Cz + D = 0?

  2. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости?

( N(A,B,C) перпендикулярен плоскости.)

  1. Пусть вектор N β, вектор а || l . найдите угол между прямой и плоскостью. (α = 90 - (N ,a) = sin α =

Задача 1

В кубе AD1 точка Е - середина ребра A 1B 1. D1 С1

Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью B D D1. А1

Решение.

Вектор перпендикулярен плоскости С

(ВВ 1 D1), вектор || прямой АЕ. А В

а – угол между прямой АЕ и плоскостью (ВВ 1 D1).

=

Если есть три взаимно перпендикулярных ребра, то можно ввести систему координат.

||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

точка D(0;0;0) обозначим |DD1| =Z 0

По нашему выбору координат точка А(1;0;0), Е(1;1/2;1), А1(1;0;1), С1(0;1;1)

{0;1/2;1} |= = ;


{-1;1;0} |== .

=


Ответ:


Задача 2. (самостоятельное решение) С 2 из варианта №1 типовых вариантов заданий ЕГЭ 2010 математика.


В кубе AD1 найдите угол между прямой A B 1 и плоскостью A BС 1.

Решение. D1 С1

Вектор CD 1 перпендикулярен плоскости (АВС1 ),

вектор АВ1 || прямой АВ1 , А1

α – угол между прямой АВ1 и плоскостью (АВС1 ).

Для нахождения угла α используем формулу (1). D 1 С

Запишем её для наших векторов. А В


Чтобы найти координаты векторов и их абсолютные величины, введём систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD1| =Z 0, по нашему выбору координат точка А(1;0;0), С(0;1;0), В1(1;1;1).

{0;1;1}, ==

{1;0;1}, = =,

= , . Ответ: 30 0.


  1. Метод дополнительных построений.


Задача 3. (С2.13. стр.75 «Универсальные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ» математика 2010. Под редакцией А.Л.Семёнова и И.В. Ященко).

В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, точка G – середина ребра А1 В 1. Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью ВСС1.

Решение

А 1 В1 М1

С

Достроим треугольную призму ВМСВ 1М 1С 1. В М

Основание призмы равносторонний треугольник. Построим прямую ВG 1 || прямой АG. Угол между прямой АG и плоскостью ВСС1 - есть угол между прямой ВG 1 и плоскостью (ВСС1 ).

Построим ортогональную проекцию прямой АG на плоскость (ВСС1 ).

Пр ВG 1= ВК, т.к. G 1К(ВСС1 ). Угол G 1ВВ 1 = α.

Из треугольника ВG 1В 1 - прямоугольный, G 1В 1В= 900= sin α = G 1В 1 : ВG 1.

sin α = . Ответ: sin α = .

Домашнее задание (карточки с разно уровневыми задачами, которые нужно решить различными методами: координатно-векторным методом, методом дополнительных построений и геометрическим).



Приложение 1.


Карточки с домашнем заданием.


Уровень А.

  1. В кубе AD1 найдите угол между прямой СD 1 и плоскостью ADD 1.

Уровень В.

  1. В кубе A-D1 найдите угол между прямой AС и плоскостью BCD1.

  2. В правильной шестиугольной призме A-F1 все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и BCC1 плоскостью BCC1.

  3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все её рёбра равны 1. Найдите угол между прямой AB и плоскостью SBD

Уровень С.

  1. В кубе A…D1- найдите косинус угла между прямой DB 1 и плоскостью ADD1.













Приложение 2.


Решение задач домашнего задания.

Уровень А.

1). В кубе AD1 найдите угол между прямой СD1 и плоскостью ADD1.
Решение (кординатно – векторный метод)


Вектор DC ┴ (ADD1 ), вектор CD1 || прямой CD1

угол между прямой CD1 и плоскостью ADD1, есть угол α

Sinα=,

Чтобы найти координаты векторов и их абсолютные величины, введём систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD1| =Z 0, е.С(0,1,0), т. D 1(0,0,1),

С D{0, -1,0 } |С D| = 1

С D 1{0, -1, 1 } |С D 1| =

Sin α =, α = 450 . Ответ: 450.







Уровень В

I)В кубе A-D1 найдите угол между прямой AС и плоскостью BCD1

Решение: (координатно-векторный метод)










Построим угол между прямой AC и плоскостью BCD1 . Для этого:

1) AВ 1 ВСD1, вектор СА|| АС

2) для нахождения угла α , угла между прямой АС и плоскостью BCD1 используем формулу скалярного произведения векторов

Sin α=

Если есть три взаимно перпендикулярных ребра, то можно ввести систему координат.

Пусть ||оси OX

|| оси OY

|| оси ОZ

Точка D(0;0;0) обозначим |DD1| =Z 0, тогда точка А(1,0,0), т. В 1(1,1,1),

С(0,1,0).

1{0,1,1} |AВ1| =

АC{-1,1,0} |СА| =

Sin α =. Ответ 30˚




2)В правильной шестиугольной призме A-F1 все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и BCC1 плоскостью BCC1




Решение (метод дополнительных построений)

1)Построим BQ=AB , CQ=DC

2) Призма BCQB1C1Q1 , ∆ВСQ равносторонний

3) Спроектируем BQ на плоскость BCC1D1, QK BC, значит Пр BCC1 BQ=BK, т.к. QK BC и QK КК1 =QK (BB1C1), угол QBK=α, угол между прямой и плоскостью .

Из ∆QBK = угол α=60˚. Ответ 60˚

3) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью SBD/

Решение (геометрический метод)

Построим угол между прямой АВ и (BDS), спроектируем AB на (BDS).

AO BD, AO SO =AO (BDS), значит Пр ВDS AB=OB;

Угол ABO =α, ? угол между прямой FB и плоскостьюBDS.

Угол равен 45˚

Ответ 45˚





Задачи уровня С

I)В кубе A…D1- найдите косинус угла между прямой DB 1 и плоскостью ADD1

Решение:









Если есть три взаимно перпендикулярных ребра,

то можно ввести систему координат.

DА||OX,

DC||OY,

D1D||OZ точка D( 0;0;0)

Пусть ребро куба равно 1

Точка A1(1;0;1), В1 (1,1,1)

B1A1A1 D1, B1A1AA1 =B1A1 (ADD1), Пр ADD1DB1=DA1

Значит угол B1D1A1=α, угол между прямой DB1 и плоскостью ADD1

Найдем угол между векторами и используя формулу скалярного

Определим координаты векторов и и их абсолютные величины

{1;1;1;} ||= =


==

= ==

Ответ





Литература

  1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 Ч.1 Методические рекомендации для учителя. Москва 2003: Мнемозина.

  2. Костаева Т.В., Соловьёва Г.Д., Фомина И.Н. Современный урок математики.//методические рекомендации по моделированию урока. Саратов 2010.

  3. Смирнова И.М., Смирнов В.А., Ященко И.В «Универсальные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ» математика 2018. «Интеллект – центр 2018

  4. Корнеева А.О. Методы решения стереометрических задач. Саратов 2007.

  5. Семёнов А.Л., Ященко И.В Типовые варианты заданий ЕГЭ 2018 математика.







Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Угол между прямой и плоскостью

Автор: Назарова Любовь Валентиновна

Дата: 27.08.2019

Номер свидетельства: 518518

Похожие файлы

object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Конспект урока по теме "Угол между прямой и плоскостью. Решение задач". "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-po-tiemie-ughol-miezhdu-priamoi-i-ploskost-iu-rieshieniie-zadach"
    ["file_id"] => string(6) "155959"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421340327"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(160) "План - конспект урока по теме "Перпендикуляр и наклоная . Угол между прямой и плоскостью""
    ["seo_title"] => string(95) "plan-konspiekt-uroka-po-tiemie-pierpiendikuliar-i-naklonaia-ughol-miezhdu-priamoi-i-ploskost-iu"
    ["file_id"] => string(6) "250880"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447156845"
  }
}
object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "Угол между прямой и плоскостью"
    ["seo_title"] => string(35) "ughol_miezhdu_priamoi_i_ploskost_iu"
    ["file_id"] => string(6) "420832"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1496822325"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(85) "Угол между прямой и плоскостью. Решение задач. "
    ["seo_title"] => string(54) "ughol-miezhdu-priamoi-i-ploskost-iu-rieshieniie-zadach"
    ["file_id"] => string(6) "155937"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1421339378"
  }
}
object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(116) "Конспект урока на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости" "
    ["seo_title"] => string(65) "konspiekt-uroka-na-tiemu-pierpiendikuliarnost-priamoi-i-ploskosti"
    ["file_id"] => string(6) "151845"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1420756287"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства