Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах

Запланированные эта

пы урока

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Преподаватель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план.

Вопросы:

1. Угол между прямыми равен 90º. Как называются такие прямые?

/перпендикулярные/

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если

она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

/да/

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

/Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в

плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости./

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

/как длина перпендикуляра, поведенного из точки к данной прямой./

5. По рисунку назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к

плоскости α, основание наклонной, проекцию наклонной на плоскость α

Презентация

Середина урока

Зафиксируем некоторую плоскость π. Для произвольной точки А пространства проведем прямую а, перпендикулярную данной плоско­сти. Точка А^/ пересечения этой прямой с данной плоскостью называется ортогональной проекцией точки А на плоскость (рис. 15.1).

Соответствие, при котором точкам пространства сопоставляются их ортогональные проекции на данную плоскость, называется ортогональ­ным проектированием на эту плоскость. Сама плоскость называется плоскостью проектирования.

Рассмотрим некоторые свойства ортогонального проектирования.

Свойство 1. Ортогональное проектирование переводит прямые, не перпендикулярны плоскости проектирования, в прямые, а прямые, перпендикулярные плоскости проектирования, - в точки.

Свойство 2. Ортогональное проектирование сохраняет отношение отрезков, лежащих на прямой, не перпендикулярной плоскости проектирования. В частности, середина отрезка проектируется в середину проекции этого отрезка.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекции на эту плоскость (рис. 16.1. а).

Считают, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол (рис 16.1, б).

Углом между отрезками и плоскостью называется угол между прямой, содержащей отрезок, и этой плоскостью.

Т еорема (о трех перпендикулярах). Если прямая, лежащая в пло­скости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство. Пусть АА' — пер­пендикуляр к плоскости π, АВ — на­клонная, А'В — ортогональная про­екция наклонной (рис. 15.4).

Так как прямая АА' перпендику­лярна плоскости я, то любая прямая 6, лежащая в плоскости я, будет перпендикулярна прямой АА'.

Если, кроме этого, прямая b перпендикулярна прямой А'В, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости она будет перпен­дикулярна плоскости АА'В. Следовательно, она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности и наклонной АВ.

Верно и обратное. А именно, если прямая, лежащая в плоскости, перпендику­лярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Пример. Докажите, что в кубе ABCDA_lB_lC_lD_J прямые АС и BD₁ перпендикулярны (рис. 15.5).

Решение. Ортогональной проекцией прямой BD₁ на плоскость ABC является прямая BD (рис. 15.6). Прямая АС перпендикулярна BD, следовательно, она перпендикулярна BD₁.

Презентация

https://www.youtube.com/watch?v=-EIa171lixA

Презентация

Конец урока

Задание.

№15.4. (20%) На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой равна 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

№15.6. (40%) Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Ортогональная проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите ортогональную проекцию другого отрезка.

Дескриптор: Обучающийся

- определяет отрезок, который является проекцией наклонной;

-применяет теорему Пифагора;

- находит длину этого отрезка.

Задача. (40%) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AС₁ и плоскостью BСC₁.

Дескриптор: Обучающийся

- определяет отрезок, который является наклонной;

- определяет отрезок, который является проекцией наклонной;

- определяет угол между прямой и плоскостью;

- определяет tg данного угла;

- определяет диагональ грани куба;

- вычисляет tg угла.

Рефлексия.

- что узнал, чему научился

- что осталось непонятным

- над чем необходимо работать

Д/з Гл.2, §15, §16