На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов- теореме Виета.Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.
Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Теорема Виета.
Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета.»
Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.
Вспомним.
Квадратным называется уравнение вида: 
, где 
.
Уравнение можно почленно разделить на 
:
Цель – получить приведенное квадратное уравнение:
; 
, 
Вспомним формулу корней квадратного уравнения:
; 
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения
Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:
Числа 
, 
являются корнями уравнения тогда и только тогда, когда пара 
является решением системы:
Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.
Корни уравнения дают все решения системы . И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.
Система симметрическая относительно и , т. е. если пара является решением, то пара 
тоже является решением. Потому что система не изменится, если в системе и мы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить пару на пару .
Докажем теорему Виета.
Дано: , – корни уравнения .
Доказать: .
Доказательство
Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:
, 
Сложим их:
Первое равенство системы доказано.
Если и удовлетворяют уравнению, то их сумма равняется 
.
Перемножим и :
Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.
Вспомним, что такое дискриминант.
Подставим:
Что и требовалось доказать.
Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Если и – корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .
Продолжим доказательство.
Дано: – решение системы .
Доказать: , – корни уравнения .
Доказательство
Мы имеем:
Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то – корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можно заменить на и наоборот. Значит: 
, т. е. тоже корень уравнения .
Итак, в обратную сторону теорема доказана.
А именно, доказано, что если числа и образуют пару, которая удовлетворяет системе , то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.
Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения
Вспомним, что , .
Числа , являются корнями уравнения 
тогда и только тогда, когда пара является решением системы:
Рассмотрим эти соотношения.
Нарисуем оси координат. Предположим, что 
, т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант 
, имеются два корня, 
и 
, и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что 
или 
(если есть корни). В терминах , это записывается так:
То есть первое уравнение 
отражает симметрию параболы относительно прямой 
(см. Рис. 1).
Рис. 1. Симметрия параболы
Что показывает второе уравнение 
?
Оно показывает, каковы знаки у корней.
Если 
, то корни одного знака.
Если 
, то корни разных знаков.
Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?
Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.
Пример 1
Решите уравнение 
.
Решение
Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.
Подметим особенность этого уравнения. Если 
мы опустим, то получим 
.
Значит, 
– это очевидный корень уравнения.
Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.
Но так как первый корень нам уже известен, то:
Ответ: 
, 
.
Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.
Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:
Разница в удобстве решения очевидна.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решите уравнение 
.
Решение
Это задание можно решить двумя способами.
1 способ (через дискриминант):
, 
;
2 способ (теорема Виета):
Тут очень просто подобрать корни:
, ;
Ответ: , .
Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Определите число корней и знаки корней уравнения 
.
Решение
Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.
Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.
– значит, имеем два корня: 
.
Первую часть задачи мы решили.
Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета:
– произведение корней – отрицательное число, соответственно, корни уравнения разных знаков.
Итак, теорема Виета дала нам возможость определить знаки корней уравнения.
Ответ: 2 корня разных знаков.
Заключение
Итак, мы доказали и обсудили важную теорему – теорему Виета. Привели задачи на ее применение.
Список литературы
Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Дано квадратное уравнение
укажите сумму и произведение корней.Корнями квадратного уравнения
являются -13 и 2.Чему равны коэффициенты 
и 
?Решите уравнение
.
Похожие файлы
Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства