kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Теорема Виета.

Нажмите, чтобы узнать подробности

На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов- теореме Виета.Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета.»

Фран­цуз­ский ма­те­ма­тик Фран­с­уа Виет, изу­чая квад­рат­ные урав­не­ния, об­на­ру­жил изящ­ную связь между кор­ня­ми урав­не­ния и его ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Тео­ре­ма Виета – цель на­ше­го урока.

Вспом­ним.

Квад­рат­ным на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние вида: , где .

Урав­не­ние можно почлен­но раз­де­лить на :

Цель – по­лу­чить при­ве­ден­ное квад­рат­ное урав­не­ние:

Вспом­ним фор­му­лу кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

 Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Тео­ре­му Виета сфор­му­ли­ру­ем для при­ве­ден­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния:

Числа  яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния  тогда и толь­ко тогда, когда пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы:

Тео­ре­ма Виета утвер­жда­ет, что квад­рат­ное урав­не­ние и си­сте­ма од­но­вре­мен­но раз­ре­ши­мы или нераз­ре­ши­мы.

Корни урав­не­ния дают все ре­ше­ния си­сте­мы . И на­о­бо­рот, все ре­ше­ния си­сте­мы дают корни урав­не­ния.

Си­сте­ма сим­мет­ри­че­ская от­но­си­тель­но  и , т. е. если пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем, то пара  тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем. По­то­му что си­сте­ма не из­ме­нит­ся, если в си­сте­ме  и  мы по­ме­ня­ем ме­ста­ми, а зна­чит, в фор­му­ли­ров­ке тео­ре­мы мы можем за­ме­нить пару  на пару .

До­ка­жем тео­ре­му Виета.

Дано:  – корни урав­не­ния .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство

Итак, мы знаем фор­му­лу кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

Сло­жим их:

Пер­вое ра­вен­ство си­сте­мы до­ка­за­но.

Если  и  удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию, то их сумма рав­ня­ет­ся .

Пе­ре­мно­жим  и :

Чис­ли­тель мы со­кра­ти­ли по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов.

Вспом­ним, что такое дис­кри­ми­нант.

Под­ста­вим:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, пер­вая часть тео­ре­мы Виета до­ка­за­на. Если  и  – корни квад­рат­но­го при­ве­ден­но­го урав­не­ния, то они удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме .

Про­дол­жим до­ка­за­тель­ство.

Дано:  – ре­ше­ние си­сте­мы .

До­ка­зать:  – корни урав­не­ния .

До­ка­за­тель­ство

Мы имеем:

Итак, мы до­ка­за­ли, что если вы­пол­ня­ют­ся тре­бо­ва­ния си­сте­мы, то  – ко­рень квад­рат­но­го урав­не­ния, но так как наша си­сте­ма сим­мет­рич­на, то можно  за­ме­нить на  и на­о­бо­рот. Зна­чит: , т. е.  тоже ко­рень урав­не­ния .

Итак, в об­рат­ную сто­ро­ну тео­ре­ма до­ка­за­на.

А имен­но, до­ка­за­но, что если числа  и  об­ра­зу­ют пару, ко­то­рая удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме , то эти числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния. Тео­ре­ма Виета для при­ве­ден­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния до­ка­за­на пол­но­стью.

 Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспом­ним, что .

Числа  яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния  тогда и толь­ко тогда, когда пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы:

Рас­смот­рим эти со­от­но­ше­ния.

На­ри­су­ем оси ко­ор­ди­нат. Пред­по­ло­жим, что , т. е. ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх. Пред­по­ло­жим, что дис­кри­ми­нант , име­ют­ся два корня,  и , и есть ось сим­мет­рии у па­ра­бо­лы. Вспом­ним, что  или  (если есть корни). В тер­ми­нах , это за­пи­сы­ва­ет­ся так:

То есть пер­вое урав­не­ние  от­ра­жа­ет сим­мет­рию па­ра­бо­лы от­но­си­тель­но пря­мой  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Сим­мет­рия па­ра­бо­лы

Что по­ка­зы­ва­ет вто­рое урав­не­ние ?

Оно по­ка­зы­ва­ет, ка­ко­вы знаки у кор­ней.

Если , то корни од­но­го знака.

Если , то корни раз­ных зна­ков.

Мы до­ка­за­ли тео­ре­му Виета. Но чем же она хо­ро­ша?

Во-пер­вых, она ино­гда поз­во­ля­ет от­но­си­тель­но про­сто ре­шить само урав­не­ние.

 Пример 1

Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние

Это урав­не­ние можно ре­шить через дис­кри­ми­нант, но это до­воль­но уто­ми­тель­но.

Под­ме­тим осо­бен­ность этого урав­не­ния. Если  мы опу­стим, то по­лу­чим .

Зна­чит,  – это оче­вид­ный ко­рень урав­не­ния.

Но если мы знаем один ко­рень, то легко най­дем и вто­рой ко­рень.

Но так как пер­вый ко­рень нам уже из­ве­стен, то:

Ответ: .

Итак, мы нашли корни урав­не­ния по тео­ре­ме Виета.

Да­вай­те по­смот­рим, что нам надо было бы сде­лать, если бы мы за­хо­те­ли ре­шить эту за­да­чу через дис­кри­ми­нант:

Раз­ни­ца в удоб­стве ре­ше­ния оче­вид­на.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

 Пример 2

Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние

Это за­да­ние можно ре­шить двумя спо­со­ба­ми.

1 спо­соб (через дис­кри­ми­нант):

;

2 спо­соб (тео­ре­ма Виета):

Тут очень про­сто по­до­брать корни:

;

Ответ: .

Здесь тео­ре­ма Виета дала спо­соб под­бо­ра кор­ней.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

 Пример 3

Опре­де­ли­те число кор­ней и знаки кор­ней урав­не­ния .

Ре­ше­ние

Для того чтобы ре­шить эту за­да­чу, нам даже не нужно ре­шать само урав­не­ние.

Чтобы узнать, сколь­ко кор­ней в урав­не­нии, най­дем дис­кри­ми­нант.

 – зна­чит, имеем два корня: .

Первую часть за­да­чи мы ре­ши­ли.

Для опре­де­ле­ния зна­ков кор­ней при­вле­ка­ем тео­ре­му Виета:

 – про­из­ве­де­ние кор­ней – от­ри­ца­тель­ное число, со­от­вет­ствен­но, корни урав­не­ния раз­ных зна­ков.

Итак, тео­ре­ма Виета дала нам воз­мо­жость опре­де­лить знаки кор­ней урав­не­ния.

Ответ: 2 корня раз­ных зна­ков.

 Заключение

Итак, мы до­ка­за­ли и об­су­ди­ли важ­ную тео­ре­му – тео­ре­му Виета. При­ве­ли за­да­чи на ее при­ме­не­ние.

 

Спи­сок ли­те­ра­ту­ры

  1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.

  2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010.

  3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

До­маш­нее за­да­ние

  1. Дано квад­рат­ное урав­не­ние  ука­жи­те сумму и про­из­ве­де­ние кор­ней.

  2. Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния  яв­ля­ют­ся -13 и 2.Чему равны ко­эф­фи­ци­ен­ты  и ?

  3. Ре­ши­те урав­не­ние .




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Теорема Виета.

Автор: Корнейчук Наталья Ильинична

Дата: 28.03.2017

Номер свидетельства: 404200

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(26) "Теорема Виета "
    ["seo_title"] => string(16) "tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "107955"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403514746"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "Конспект урока алгебры в 8 классе по теме "Теорема Виета" "
    ["seo_title"] => string(64) "konspiekt-uroka-alghiebry-v-8-klassie-po-tiemie-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "141474"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418130364"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. "
    ["seo_title"] => string(51) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "101444"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402417588"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(182) "Открытый урок алгебры  в 8 классе с применением технологии критического мышления  « Теорема Виета  »"
    ["seo_title"] => string(99) "otkrytyiurokalghiebryv8klassiesprimienieniiemtiekhnologhiikritichieskoghomyshlieniiatieoriemaviieta"
    ["file_id"] => string(6) "322607"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1461640370"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета"
    ["seo_title"] => string(46) "privedennoe_kvadratnoe_uravnenie_teorema_vieta"
    ["file_id"] => string(6) "594947"
    ["category_seo"] => string(7) "algebra"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1639595114"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1730 руб.
2660 руб.
1260 руб.
1940 руб.
1290 руб.
1980 руб.
1220 руб.
1870 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства