kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Теорема Виета.

Нажмите, чтобы узнать подробности

На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов- теореме Виета.Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.

Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета.»

Фран­цуз­ский ма­те­ма­тик Фран­с­уа Виет, изу­чая квад­рат­ные урав­не­ния, об­на­ру­жил изящ­ную связь между кор­ня­ми урав­не­ния и его ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Тео­ре­ма Виета – цель на­ше­го урока.

Вспом­ним.

Квад­рат­ным на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние вида: , где .

Урав­не­ние можно почлен­но раз­де­лить на :

Цель – по­лу­чить при­ве­ден­ное квад­рат­ное урав­не­ние:

Вспом­ним фор­му­лу кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

 Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Тео­ре­му Виета сфор­му­ли­ру­ем для при­ве­ден­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния:

Числа  яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния  тогда и толь­ко тогда, когда пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы:

Тео­ре­ма Виета утвер­жда­ет, что квад­рат­ное урав­не­ние и си­сте­ма од­но­вре­мен­но раз­ре­ши­мы или нераз­ре­ши­мы.

Корни урав­не­ния дают все ре­ше­ния си­сте­мы . И на­о­бо­рот, все ре­ше­ния си­сте­мы дают корни урав­не­ния.

Си­сте­ма сим­мет­ри­че­ская от­но­си­тель­но  и , т. е. если пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем, то пара  тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем. По­то­му что си­сте­ма не из­ме­нит­ся, если в си­сте­ме  и  мы по­ме­ня­ем ме­ста­ми, а зна­чит, в фор­му­ли­ров­ке тео­ре­мы мы можем за­ме­нить пару  на пару .

До­ка­жем тео­ре­му Виета.

Дано:  – корни урав­не­ния .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство

Итак, мы знаем фор­му­лу кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

Сло­жим их:

Пер­вое ра­вен­ство си­сте­мы до­ка­за­но.

Если  и  удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию, то их сумма рав­ня­ет­ся .

Пе­ре­мно­жим  и :

Чис­ли­тель мы со­кра­ти­ли по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов.

Вспом­ним, что такое дис­кри­ми­нант.

Под­ста­вим:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, пер­вая часть тео­ре­мы Виета до­ка­за­на. Если  и  – корни квад­рат­но­го при­ве­ден­но­го урав­не­ния, то они удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме .

Про­дол­жим до­ка­за­тель­ство.

Дано:  – ре­ше­ние си­сте­мы .

До­ка­зать:  – корни урав­не­ния .

До­ка­за­тель­ство

Мы имеем:

Итак, мы до­ка­за­ли, что если вы­пол­ня­ют­ся тре­бо­ва­ния си­сте­мы, то  – ко­рень квад­рат­но­го урав­не­ния, но так как наша си­сте­ма сим­мет­рич­на, то можно  за­ме­нить на  и на­о­бо­рот. Зна­чит: , т. е.  тоже ко­рень урав­не­ния .

Итак, в об­рат­ную сто­ро­ну тео­ре­ма до­ка­за­на.

А имен­но, до­ка­за­но, что если числа  и  об­ра­зу­ют пару, ко­то­рая удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме , то эти числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния. Тео­ре­ма Виета для при­ве­ден­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния до­ка­за­на пол­но­стью.

 Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспом­ним, что .

Числа  яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния  тогда и толь­ко тогда, когда пара  яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы:

Рас­смот­рим эти со­от­но­ше­ния.

На­ри­су­ем оси ко­ор­ди­нат. Пред­по­ло­жим, что , т. е. ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх. Пред­по­ло­жим, что дис­кри­ми­нант , име­ют­ся два корня,  и , и есть ось сим­мет­рии у па­ра­бо­лы. Вспом­ним, что  или  (если есть корни). В тер­ми­нах , это за­пи­сы­ва­ет­ся так:

То есть пер­вое урав­не­ние  от­ра­жа­ет сим­мет­рию па­ра­бо­лы от­но­си­тель­но пря­мой  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Сим­мет­рия па­ра­бо­лы

Что по­ка­зы­ва­ет вто­рое урав­не­ние ?

Оно по­ка­зы­ва­ет, ка­ко­вы знаки у кор­ней.

Если , то корни од­но­го знака.

Если , то корни раз­ных зна­ков.

Мы до­ка­за­ли тео­ре­му Виета. Но чем же она хо­ро­ша?

Во-пер­вых, она ино­гда поз­во­ля­ет от­но­си­тель­но про­сто ре­шить само урав­не­ние.

 Пример 1

Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние

Это урав­не­ние можно ре­шить через дис­кри­ми­нант, но это до­воль­но уто­ми­тель­но.

Под­ме­тим осо­бен­ность этого урав­не­ния. Если  мы опу­стим, то по­лу­чим .

Зна­чит,  – это оче­вид­ный ко­рень урав­не­ния.

Но если мы знаем один ко­рень, то легко най­дем и вто­рой ко­рень.

Но так как пер­вый ко­рень нам уже из­ве­стен, то:

Ответ: .

Итак, мы нашли корни урав­не­ния по тео­ре­ме Виета.

Да­вай­те по­смот­рим, что нам надо было бы сде­лать, если бы мы за­хо­те­ли ре­шить эту за­да­чу через дис­кри­ми­нант:

Раз­ни­ца в удоб­стве ре­ше­ния оче­вид­на.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

 Пример 2

Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние

Это за­да­ние можно ре­шить двумя спо­со­ба­ми.

1 спо­соб (через дис­кри­ми­нант):

;

2 спо­соб (тео­ре­ма Виета):

Тут очень про­сто по­до­брать корни:

;

Ответ: .

Здесь тео­ре­ма Виета дала спо­соб под­бо­ра кор­ней.

Рас­смот­рим еще один при­мер.

 Пример 3

Опре­де­ли­те число кор­ней и знаки кор­ней урав­не­ния .

Ре­ше­ние

Для того чтобы ре­шить эту за­да­чу, нам даже не нужно ре­шать само урав­не­ние.

Чтобы узнать, сколь­ко кор­ней в урав­не­нии, най­дем дис­кри­ми­нант.

 – зна­чит, имеем два корня: .

Первую часть за­да­чи мы ре­ши­ли.

Для опре­де­ле­ния зна­ков кор­ней при­вле­ка­ем тео­ре­му Виета:

 – про­из­ве­де­ние кор­ней – от­ри­ца­тель­ное число, со­от­вет­ствен­но, корни урав­не­ния раз­ных зна­ков.

Итак, тео­ре­ма Виета дала нам воз­мо­жость опре­де­лить знаки кор­ней урав­не­ния.

Ответ: 2 корня раз­ных зна­ков.

 Заключение

Итак, мы до­ка­за­ли и об­су­ди­ли важ­ную тео­ре­му – тео­ре­му Виета. При­ве­ли за­да­чи на ее при­ме­не­ние.

 

Спи­сок ли­те­ра­ту­ры

  1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.

  2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010.

  3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

До­маш­нее за­да­ние

  1. Дано квад­рат­ное урав­не­ние  ука­жи­те сумму и про­из­ве­де­ние кор­ней.

  2. Кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния  яв­ля­ют­ся -13 и 2.Чему равны ко­эф­фи­ци­ен­ты  и ?

  3. Ре­ши­те урав­не­ние .




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Теорема Виета.

Автор: Корнейчук Наталья Ильинична

Дата: 28.03.2017

Номер свидетельства: 404200

Похожие файлы

object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(26) "Теорема Виета "
    ["seo_title"] => string(16) "tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "107955"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403514746"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "Конспект урока алгебры в 8 классе по теме "Теорема Виета" "
    ["seo_title"] => string(64) "konspiekt-uroka-alghiebry-v-8-klassie-po-tiemie-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "141474"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418130364"
  }
}
object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. "
    ["seo_title"] => string(51) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "101444"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402417588"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(182) "Открытый урок алгебры  в 8 классе с применением технологии критического мышления  « Теорема Виета  »"
    ["seo_title"] => string(99) "otkrytyiurokalghiebryv8klassiesprimienieniiemtiekhnologhiikritichieskoghomyshlieniiatieoriemaviieta"
    ["file_id"] => string(6) "322607"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1461640370"
  }
}
object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(133) "Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме "Теорема Виета" (Презентация) "
    ["seo_title"] => string(84) "konspiekt-uroka-po-alghiebrie-v-8-klassie-po-tiemie-tieoriema-viieta-priezientatsiia"
    ["file_id"] => string(6) "127698"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415363698"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства