На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов- теореме Виета.Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.
Вспомним.
Квадратным называется уравнение вида: , где .
Уравнение можно почленно разделить на :
Цель – получить приведенное квадратное уравнение:
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения
Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:
Числа , являются корнями уравнения тогда и только тогда, когда пара является решением системы:
Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.
Корни уравнения дают все решения системы . И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.
Система симметрическая относительно и , т. е. если пара является решением, то пара тоже является решением. Потому что система не изменится, если в системе и мы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить пару на пару .
Докажем теорему Виета.
Дано: , – корни уравнения .
Доказать: .
Доказательство
Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:
,
Сложим их:
Первое равенство системы доказано.
Если и удовлетворяют уравнению, то их сумма равняется .
Перемножим и :
Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.
Вспомним, что такое дискриминант.
Подставим:
Что и требовалось доказать.
Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Если и – корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .
Продолжим доказательство.
Дано: – решение системы .
Доказать: , – корни уравнения .
Доказательство
Мы имеем:
Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то – корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можно заменить на и наоборот. Значит: , т. е. тоже корень уравнения .
Итак, в обратную сторону теорема доказана.
А именно, доказано, что если числа и образуют пару, которая удовлетворяет системе , то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.
Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения
Вспомним, что , .
Числа , являются корнями уравнения тогда и только тогда, когда пара является решением системы:
Рассмотрим эти соотношения.
Нарисуем оси координат. Предположим, что , т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант , имеются два корня, и , и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что или (если есть корни). В терминах , это записывается так:
То есть первое уравнение отражает симметрию параболы относительно прямой (см. Рис. 1).
Рис. 1. Симметрия параболы
Что показывает второе уравнение ?
Оно показывает, каковы знаки у корней.
Если , то корни одного знака.
Если , то корни разных знаков.
Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?
Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.
Пример 1
Решите уравнение .
Решение
Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.
Подметим особенность этого уравнения. Если мы опустим, то получим .
Значит, – это очевидный корень уравнения.
Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.
Но так как первый корень нам уже известен, то:
Ответ: , .
Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.
Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:
Разница в удобстве решения очевидна.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решите уравнение .
Решение
Это задание можно решить двумя способами.
1 способ (через дискриминант):
, ;
2 способ (теорема Виета):
Тут очень просто подобрать корни:
, ;
Ответ: , .
Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Определите число корней и знаки корней уравнения .
Решение
Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.
Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.
– значит, имеем два корня: .
Первую часть задачи мы решили.
Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета: