Теорема Виета.

На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов- теореме Виета.Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета.»

Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.

Вспомним.

Квадратным называется уравнение вида: , где .

Уравнение можно почленно разделить на :

Цель – получить приведенное квадратное уравнение:

; ,

Вспомним формулу корней квадратного уравнения:

;

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:

Числа , являются корнями уравнения тогда и только тогда, когда пара является решением системы:

Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.

Корни уравнения дают все решения системы . И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.

Система симметрическая относительно и , т. е. если пара является решением, то пара тоже является решением. Потому что система не изменится, если в системе и мы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить пару на пару .

Докажем теорему Виета.

Дано: , – корни уравнения .

Доказать: .

Доказательство

Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:

Сложим их:

Первое равенство системы доказано.

Если и удовлетворяют уравнению, то их сумма равняется .

Перемножим и :

Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.

Вспомним, что такое дискриминант.

Подставим:

Что и требовалось доказать.

Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Если и – корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .

Продолжим доказательство.

Дано: – решение системы .

Доказать: , – корни уравнения .

Доказательство

Мы имеем:

Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то – корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можно заменить на и наоборот. Значит: , т. е. тоже корень уравнения .

Итак, в обратную сторону теорема доказана.

А именно, доказано, что если числа и образуют пару, которая удовлетворяет системе , то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.

Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспомним, что , .

Числа , являются корнями уравнения тогда и только тогда, когда пара является решением системы:

Рассмотрим эти соотношения.

Нарисуем оси координат. Предположим, что , т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант , имеются два корня, и , и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что или (если есть корни). В терминах , это записывается так:

То есть первое уравнение отражает симметрию параболы относительно прямой (см. Рис. 1).

Рис. 1. Симметрия параболы

Что показывает второе уравнение ?

Оно показывает, каковы знаки у корней.

Если , то корни одного знака.

Если , то корни разных знаков.

Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?

Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.

Пример 1

Решите уравнение .

Решение

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.

Подметим особенность этого уравнения. Если мы опустим, то получим .

Значит, – это очевидный корень уравнения.

Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.

Но так как первый корень нам уже известен, то:

Ответ: , .

Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.

Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:

Разница в удобстве решения очевидна.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решите уравнение .

Решение

Это задание можно решить двумя способами.

1 способ (через дискриминант):

, ;

2 способ (теорема Виета):

Тут очень просто подобрать корни:

, ;

Ответ: , .

Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Определите число корней и знаки корней уравнения .

Решение

Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.

Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.

– значит, имеем два корня: .

Первую часть задачи мы решили.

Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета:

– произведение корней – отрицательное число, соответственно, корни уравнения разных знаков.

Итак, теорема Виета дала нам возможость определить знаки корней уравнения.

Ответ: 2 корня разных знаков.

Заключение

Итак, мы доказали и обсудили важную теорему – теорему Виета. Привели задачи на ее применение.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Дано квадратное уравнение укажите сумму и произведение корней.
Корнями квадратного уравнения являются -13 и 2.Чему равны коэффициенты и ?
Решите уравнение .

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Теорема Виета.

Автор: Корнейчук Наталья Ильинична

Дата: 28.03.2017

Номер свидетельства: 404200

Похожие файлы

Теорема Виета

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(26) "Теорема Виета "
    ["seo_title"] => string(16) "tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "107955"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403514746"
  }
}

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме "Теорема Виета"

object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "Конспект урока алгебры в 8 классе по теме "Теорема Виета" "
    ["seo_title"] => string(64) "konspiekt-uroka-alghiebry-v-8-klassie-po-tiemie-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "141474"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418130364"
  }
}

Решение квадратных уравнений. Теорема Виета.

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. "
    ["seo_title"] => string(51) "rieshieniie-kvadratnykh-uravnienii-tieoriema-viieta"
    ["file_id"] => string(6) "101444"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402417588"
  }
}

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета"
    ["seo_title"] => string(46) "privedennoe_kvadratnoe_uravnenie_teorema_vieta"
    ["file_id"] => string(6) "594947"
    ["category_seo"] => string(7) "algebra"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1639595114"
  }
}

Открытый урок алгебры в 8 классе с применением технологии критического мышления « Теорема Виета »

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(182) "Открытый урок алгебры  в 8 классе с применением технологии критического мышления  « Теорема Виета  »"
    ["seo_title"] => string(99) "otkrytyiurokalghiebryv8klassiesprimienieniiemtiekhnologhiikritichieskoghomyshlieniiatieoriemaviieta"
    ["file_id"] => string(6) "322607"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1461640370"
  }
}

Теорема Виета.

Просмотр содержимого документа «Теорема Виета.»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Теорема Виета.»