Теорема Виета

Урок по алгебре

в 8 классе

по теме:

«Теорема Виета», (закрепение).

Цели урока:

1) Обобщить и закрепить знания по решению квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и ей обратной; уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений.

2) Развивать логическое  мышление, навыки сравнения и анализа; развивать монологическую речь в  ходе  объяснений,  обоснований  выполняемых  действий; развивать коммуникативные навыки; навыки  самостоятельной  работы.

Оборудование:

компьютер, проектор, презентация, карточки для устной работы.

План урока:

1) Повторение теоремы Виета. Ее применение для любого квадратного уравнения.

2) Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.

3) Тест на проверку усвоения темы.

4) Задание для разбора классом.

Ход урока:

1. Организационный момент

Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку. Оглашение плана урока.

(Сл. 1,2)

2. Работа по теме урока

Учитель: С какой теоремой познакомились на прошлом уроке?

Как она звучит для приведенного квадратного уравнения? (Сл. 3)

Как можно ее записать для неприведенного квадратного

уравнения. (Сл. 4)

Задание на доске: решить уравнения и сделать проверку с помощью теоремы Виета (работают 4 ученика)

1. х² – 9 = 0;

2. 3х² + 15х = 0;

3. х² – 4х – 11 = 0;

4. 2х² + 5х – 3 = 0.

В это время фронтальная работа с классом:

1 Составить квадратное уравнение, корни которого известны

а) х1 = 2; х2 = - 7 Решение:

p = - ( 2 – 7) = - (- 5) = 5

q = 2 · (-7) = - 14

х² + 5х – 14 = 0 (Сл.5)

б) х1 = - 2; х2 = - 5 Решение:

p = - (- 2 – 5)= 7

q = -2 · (-5) = 10

х² + 7х + 10 = 0 (Сл.6)

в) х1 = 0,5; х2 = 0,75 Решение:

p = - (0,5 + 0,75)= - 1,25

q = 0,5 · 0,75 = 0, 375

х² – 1,25х + 0,375 = 0

8х² – 10х + 3 = 0 (Сл.7)

2. Составить квадратное уравнение, если а = 2, х1 = 4, х2 = - 1

Решение:

p = - (4 - 1)= - 3

q = 4 · (-1) = - 4

х² – 3х - 4 = 0

2х² – 6х – 8 = 0 (Сл.8)

Проверка работы у доски:

1. х² – 9 = 0; а = 1; в= p = 0; с =q = - 9.

(х – 3)(х+3) = 0; х1 + х2 = 3 + (-3) = 0 = - p

х1 = 3; х2 = - 3. х1 · х2 = 3 · (-3) = - 9 = q

2. 3х² + 15х = 0; а = 3; в = 15; с = q = 0.

3х(х + 5) = 0; p = 5;

х1 = 0; х2 = - 5. х1 + х2 = 0 + (-5) = - 5 = - p

х1 · х2 = 0 · (-5) = 0 = q

3. х² – 4х – 11 = 0; а = 1; в= p = - 4; с =q = - 11.

Х1 = 2 + √15; х2 = 2 - √15. х1 + х2 = 2 + √15+ 2 - √15 = 4 = -p

х1 · х2 =(2 + √15)( 2 - √15) = 4 – 15 = - 11 = q

4. 2х² + 5х – 3 = 0. а = 2; в = 5; с = - 3;

х1 = 0,5; х2 = - 3. p = 2,5; q = - 1,5.

Х1 + х2 = 0,5 + (-3) = - 2,5 = - p

х1 · х2 = 0,5 · (-3) = - 1,5 = q

Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.

Учитель: Можно ли находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта?

Ответ – да, но при условии, если уравнение приведенное, а корни целочисленные. Теорема, обратная теореме Виета гласит: если найдутся два числа, сумма которых равна числу противоположному коэффициенту при х, а их произведение есть свободное слагаемое приведенного квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Такой способ решения называется способом подбора, и этим способом можно пользоваться наиболее результативно, если уловить связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов. Попробуем эту связь объединить в таблицу:

(Сл.9) х² + pх + q = 0

q 0	p 0	х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀
q 0	p	х1 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀
q	p 0	х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ - ׀ х2 ׀
q	p	х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х2 ׀ - ׀ х1 ׀

Решение приведенных квадратных уравнений способом подбора

(фронтальная работа с классом, уравнения на карточках)

1) х² – х – 6 = 0

х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 6; х1 = 3; х2 = - 2.

2) х² + 5х + 4 = 0

х1 + х2 = - 5; х1 · х2 = 4; х1 = - 1; х2 = - 4.

3) х² – 11х + 18 = 0

х1 + х2 = 11; х1 · х2 = 18; х1 = 9; х2 = 2.

4) х² + 7х – 18 = 0

х1 + х2 = - 7; х1 · х2 = - 18; х1 = 2; х2 = - 9.

5) х² – 3х – 4 = 0

х1 + х2 = 3; х1 · х2 = - 4; х1 = 4; х2 = - 1.

6) х²- 5х + 6 = 0

х1 + х2 = 5; х1 · х2 = 6; х1 = 3; х2 = 2.

7) х² + 11х + 30 = 0

х1 + х2 = - 11; х1 · х2 = 30; х1 = - 5; х2 = - 6.

8) х² – х – 30 = 0

х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 30; х1 = 6; х2 = - 5.

Тест на проверку усвоения темы:

( с использованием слайдов)

1) Один из корней данного уравнения равен 4, определите второй корень уравнения. (Сл.10)

1 вариант. 2 вариант

х² + pх + 12 = 0 х² + pх - 12 = 0

Варианты ответов: а) – 3; б) 8; в) 3; г) – 8.

2) Один из корней данного уравнения равен 2, определите второй корень уравнения. (Сл.11)

1 вариант. 2 вариант

х² - 8х + q = 0 х² + 8х + q = 0

Варианты ответов: а) 10; б) - 10; в) 6; г) – 6.

3) Определите знаки корней данного квадратного уравнения, если таковые имеются. (Сл.12)

1 вариант. 2 вариант

х² + 3х + 1 = 0 х² - 3х – 1= 0

Варианты ответов: а) корней нет;

б) оба коря отрицательные;

в) оба корня положительные;

г) корни разных знаков.

4) Корнями данного приведенного квадратного уравнения являются два числа (Сл.13)

1 вариант. 2 вариант

х² + 5х – 6 = 0 х² – 5х – 6 = 0

Варианты ответов: а) – 3 и 2; б) 3 и - 2; в) 6 и – 1; г) – 6 и 1.

5) Корнями данного квадратного уравнения являются два числа (Сл.14)

1 вариант. 2 вариант

2х² – 6х + 4 = 0 2х² + 6х + 4 = 0

Варианты ответов: а) 1 и 2; б) 4 и – 1; в) – 4 и 1; г) – 1 и – 2.

Ключ к тесту: (Сл.15)

	1	2	3	4	5
1 вариант	в	в	б	г	а
2 вариант	а	б	г	в	г

Задание для разбора классом.

Не решая уравнения 5х² – 13х – 6 = 0 найдите сумму квадратов его корней.

Решение: 5х² – 13х – 6 = 0

х² – 2,6х – 1,2 = 0

По теореме Виета х1 + х2 = 2,6; х1 · х2 = - 1,2;

По формуле квадрата суммы (х1 + х2 )² = х1² + 2 х1 х2 + х2²

х1² + х2² = (х1 + х2 )² - 2 х1 х2

х1² + х2² = 2,6² – 2 · ( - 1,2) = 9,16.

Ответ: 9,16.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.