Урок по алгебре
в 8 классе
по теме:
«Теорема Виета», (закрепение).
Цели урока:
1) Обобщить и закрепить знания по решению квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и ей обратной; уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений.
2) Развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа; развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий; развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы.
Оборудование:
компьютер, проектор, презентация, карточки для устной работы.
План урока:
1) Повторение теоремы Виета. Ее применение для любого квадратного уравнения.
2) Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.
3) Тест на проверку усвоения темы.
4) Задание для разбора классом.
Ход урока:
1. Организационный момент
Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку. Оглашение плана урока.
(Сл. 1,2)
2. Работа по теме урока
Учитель: С какой теоремой познакомились на прошлом уроке?
Как она звучит для приведенного квадратного уравнения? (Сл. 3)
Как можно ее записать для неприведенного квадратного
уравнения. (Сл. 4)
Задание на доске: решить уравнения и сделать проверку с помощью теоремы Виета (работают 4 ученика)
1. х2 – 9 = 0;
2. 3х2 + 15х = 0;
3. х2 – 4х – 11 = 0;
4. 2х2 + 5х – 3 = 0.
В это время фронтальная работа с классом:
1 Составить квадратное уравнение, корни которого известны
а) х1 = 2; х2 = - 7 Решение:
p = - ( 2 – 7) = - (- 5) = 5
q = 2 · (-7) = - 14
х2 + 5х – 14 = 0 (Сл.5)
б) х1 = - 2; х2 = - 5 Решение:
p = - (- 2 – 5)= 7
q = -2 · (-5) = 10
х2 + 7х + 10 = 0 (Сл.6)
в) х1 = 0,5; х2 = 0,75 Решение:
p = - (0,5 + 0,75)= - 1,25
q = 0,5 · 0,75 = 0, 375
х2 – 1,25х + 0,375 = 0
8х2 – 10х + 3 = 0 (Сл.7)
2. Составить квадратное уравнение, если а = 2, х1 = 4, х2 = - 1
Решение:
p = - (4 - 1)= - 3
q = 4 · (-1) = - 4
х2 – 3х - 4 = 0
2х2 – 6х – 8 = 0 (Сл.8)
Проверка работы у доски:
1. х2 – 9 = 0; а = 1; в= p = 0; с =q = - 9.
(х – 3)(х+3) = 0; х1 + х2 = 3 + (-3) = 0 = - p
х1 = 3; х2 = - 3. х1 · х2 = 3 · (-3) = - 9 = q
2. 3х2 + 15х = 0; а = 3; в = 15; с = q = 0.
3х(х + 5) = 0; p = 5;
х1 = 0; х2 = - 5. х1 + х2 = 0 + (-5) = - 5 = - p
х1 · х2 = 0 · (-5) = 0 = q
3. х2 – 4х – 11 = 0; а = 1; в= p = - 4; с =q = - 11.
Х1 = 2 + √15; х2 = 2 - √15. х1 + х2 = 2 + √15+ 2 - √15 = 4 = -p
х1 · х2 =(2 + √15)( 2 - √15) = 4 – 15 = - 11 = q
4. 2х2 + 5х – 3 = 0. а = 2; в = 5; с = - 3;
х1 = 0,5; х2 = - 3. p = 2,5; q = - 1,5.
Х1 + х2 = 0,5 + (-3) = - 2,5 = - p
х1 · х2 = 0,5 · (-3) = - 1,5 = q
Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.
Учитель: Можно ли находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта?
Ответ – да, но при условии, если уравнение приведенное, а корни целочисленные. Теорема, обратная теореме Виета гласит: если найдутся два числа, сумма которых равна числу противоположному коэффициенту при х, а их произведение есть свободное слагаемое приведенного квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения.
Такой способ решения называется способом подбора, и этим способом можно пользоваться наиболее результативно, если уловить связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов. Попробуем эту связь объединить в таблицу:
(Сл.9) х2 + pх + q = 0
| q 0 | p 0 | х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀ |
| q 0 | p | х1 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀ |
| q | p 0 | х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ - ׀ х2 ׀ |
| q | p | х1 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 0 ׀p׀ = ׀ х2 ׀ - ׀ х1 ׀ |
Решение приведенных квадратных уравнений способом подбора
(фронтальная работа с классом, уравнения на карточках)
1) х2 – х – 6 = 0
х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 6; х1 = 3; х2 = - 2.
2) х2 + 5х + 4 = 0
х1 + х2 = - 5; х1 · х2 = 4; х1 = - 1; х2 = - 4.
3) х2 – 11х + 18 = 0
х1 + х2 = 11; х1 · х2 = 18; х1 = 9; х2 = 2.
4) х2 + 7х – 18 = 0
х1 + х2 = - 7; х1 · х2 = - 18; х1 = 2; х2 = - 9.
5) х2 – 3х – 4 = 0
х1 + х2 = 3; х1 · х2 = - 4; х1 = 4; х2 = - 1.
6) х2- 5х + 6 = 0
х1 + х2 = 5; х1 · х2 = 6; х1 = 3; х2 = 2.
7) х2 + 11х + 30 = 0
х1 + х2 = - 11; х1 · х2 = 30; х1 = - 5; х2 = - 6.
8) х2 – х – 30 = 0
х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 30; х1 = 6; х2 = - 5.
Тест на проверку усвоения темы:
( с использованием слайдов)
1) Один из корней данного уравнения равен 4, определите второй корень уравнения. (Сл.10)
1 вариант. 2 вариант
х2 + pх + 12 = 0 х2 + pх - 12 = 0
Варианты ответов: а) – 3; б) 8; в) 3; г) – 8.
2) Один из корней данного уравнения равен 2, определите второй корень уравнения. (Сл.11)
1 вариант. 2 вариант
х2 - 8х + q = 0 х2 + 8х + q = 0
Варианты ответов: а) 10; б) - 10; в) 6; г) – 6.
3) Определите знаки корней данного квадратного уравнения, если таковые имеются. (Сл.12)
1 вариант. 2 вариант
х2 + 3х + 1 = 0 х2 - 3х – 1= 0
Варианты ответов: а) корней нет;
б) оба коря отрицательные;
в) оба корня положительные;
г) корни разных знаков.
4) Корнями данного приведенного квадратного уравнения являются два числа (Сл.13)
1 вариант. 2 вариант
х2 + 5х – 6 = 0 х2 – 5х – 6 = 0
Варианты ответов: а) – 3 и 2; б) 3 и - 2; в) 6 и – 1; г) – 6 и 1.
5) Корнями данного квадратного уравнения являются два числа (Сл.14)
1 вариант. 2 вариант
2х2 – 6х + 4 = 0 2х2 + 6х + 4 = 0
Варианты ответов: а) 1 и 2; б) 4 и – 1; в) – 4 и 1; г) – 1 и – 2.
Ключ к тесту: (Сл.15)
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 вариант | в | в | б | г | а |
| 2 вариант | а | б | г | в | г |
Задание для разбора классом.
Не решая уравнения 5х2 – 13х – 6 = 0 найдите сумму квадратов его корней.
Решение: 5х2 – 13х – 6 = 0
х2 – 2,6х – 1,2 = 0
По теореме Виета х1 + х2 = 2,6; х1 · х2 = - 1,2;
По формуле квадрата суммы (х1 + х2 )2 = х12 + 2 х1 х2 + х22
х12 + х22 = (х1 + х2 )2 - 2 х1 х2
х12 + х22 = 2,62 – 2 · ( - 1,2) = 9,16.
Ответ: 9,16.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.
