Теорема, обратная теореме Пифагора

8 класс. Урок геометрии.

Тема: Теорема, обратная теореме Пифагора.

Цель урока:

• Рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора, и показать её применение в процессе решения задач.

• Закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на её применение.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

1. Актуализация знаний учащихся

   1. Историческая справка. Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (6 в. до н.э.). но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

   2. Теоретический опрос. Сформулировать и доказать теорему Пифагора. (Подготовиться у доски одному из учащихся, затем, после решения задач по готовым чертежам заслушать его ответ всем классом.)

   3. Проверка домашнего задания. Проверить решение домашних задач индивидуально во время решения задач по готовым чертежам. К доске вызвать ученика, чтобы проверить решение дополнительной домашней задачи.

Дополнительная задача из домашнего задания:

Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь. Решение:

Через точку О пересечения диагоналей проведем прямые МК ‌┴ АВ и NP ┴ BC‌, тогда т.к. АВ││СD и BC‌││АD, то NP┴ АD, значит ОМ, ОN, ОК, ОP – высоты треугольников АОВ, ВОС, СОD, DОА.

S

ВОС

АОD

АВСD

АОВ

СОD

АВСD

ВОС

АОD

АВСD

+ S = ВС∙ОN: 2 + АD∙ ОP: 2 = BC∙ (ОN + ОP): 2 = ВС∙  NP: 2 = S : 2 (ВС = АD, NP – высота параллелограмма, т.к. NP┴ВС, NP┴АD). Тогда S = S = S : 4 (∆ВОС=∆ DОА по двум сторонам и углу между ними). S + S = АВ∙ ОМ :2 + СD∙ ОК : 2 = АВ∙ (ОМ + ОК) :2 = АВ∙ МК : 2 = S : 2 (АВ = СD, МК - высота параллелограмма).

Т

АОВ

СОD

АВСD

огда S = S = S : 4 (∆АОВ = ∆СОD по двум сторонам и углу между ними).

П

АВСD

АОВ

ВОС

СОD

DОА

В

С

N

олучили S = S = S = S = S : 4, т.е. диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.

М

К

А

D

Р

1. Решение задач по готовым чертежам (устно)

рис. 1. Найти: АВ.

рис. 2. Найти: ВС.

рис. 3. Найти: АС.

рис. 4. АВСD – ромб. Найти: ВС.

А

рис. 5. АВСD – прямоугольник. АВ:АD = 3:4. Найти: АD.

5 см

В

13 см

рис. 6. Найти: АВ.

А

В

С

8 см

6 см

7 см

А

С

В

12 см

D

А

135°

D

С

№1

№2

№3

В

С

В

135°

С

25 см

С

А

√5

6 см

О

2

А

D

А

В

D

№5

№6

№4

Ответы к задачам:

1. АВ = 10 см.

2. ВС = 2√6 см.

3. АС = 10 см.

4. ВС = 3 см.

5. АD = 4 см.

6. АВ = 3√2 см.

1. Фронтальная работа с классом (устно)

Сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они:

• Сумма смежных углов равна 180°.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

• Вертикальные углы равны.

• В параллелограмме противолежащие стороны равны.

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В последнем случае учащиеся смогут сформулировать утверждение обратное данному, а доказательство его справедливости можно провести дальше.

1. Изучение нового материала

Дано: ∆АВС, АВ² = АС² + ВС².

Выяснить, является ли ∆АВС прямоугольным? (учитель решает у доски, учащиеся – в тетрадях.)

Решение:

1. р

   1

   1

   1

   

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   ассмотрим ∆А В С такой, что С = 90°, А С = АС, В С = ВС. Тогда по теореме Пифагора А В ² = А С ² + В С ²

2. Т

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   1

   ак как А С = АС, В С = ВС, то: А С ² +В С ² = АС² +ВС² = АВ², следовательно, АВ² = А В ² и АВ = А В .

3. ∆

   1

   1

   1

   

   1

   А В С = ∆АВС по трем сторонам, откуда С = С = 90°, т.е. ∆АВС – прямоугольный. Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Данное утверждение называют теоремой, обратной теореме Пифагора.

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Например, треугольник со сторонами 26,24 и 10.

• Приведите примеры пифагоровых треугольников. (10, 8 и 6; 13,12 и 5; 5,4 и 3; 15, 12 и 9 и другие.)

• Являются ли пифагоровыми треугольниками треугольники:

1. с гипотенузой 25 и катетом 15;

2. с катетами 5 и 4?

Треугольник со сторонами 3,4,5 был известен ещё древним египтянам. Египтяне использовали их для построения прямых углов. Делали они это так: на веревке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. угол, лежащий против стороны, равной 5, оказывался прямым. Этот треугольник получил название египетского треугольника и по сей день именно так его называют.

1. Закрепление изученного

Решить устно № 498 а), б), в)

Решить задачу № 499 а) на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

Задача №499 а)Найти меньшую высоту со сторонами 24см,25см,7см.

Решение.

25² = 24² + 7², значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е S = 24∙7:2 = 84( см²).

М

2S

с

с

с

= 2∙84 = 6,72 (см)

25

еньшая высота проводится к большей стороне, а в прямоугольном треугольнике большей стороной является гипотенуза, значит, S = h ∙c:2, где c – гипотенуза, h - высота, проведенная к с

h =

Ответ: 6,72 (см).

Наводящие вопросы:

• Как проверить является ли треугольник прямоугольным?

• К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?

• Какой способ вычисления высоты треугольника часто используют в геометрии?

• Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.

Решить самостоятельно задачи:

1. Определите углы треугольника со сторонами 1, 1, √2.

Решение:

Выясним является ли ∆АВС прямоугольным?

АВ² = АС² + ВС²,

(√2) ² = 1² + 1²

2

А

√2

1

= 2, значит по теореме, обратной теореме Пифагора ∆АВС прямоугольный, где АВ – гипотенуза, а АС = ВС – катеты.

t

С

В

1

g A = ВС

AC

tg A = 1

A = 45°; т. к. ∆АВС прямоугольный, В=90-45=45, С = 90°. Ответ: 45, 45, 90 .

1. В ∆АВС: АВ = √2, ВС = 2. на стороне АС отмечена точка М так, что АМ = 1, ВМ = 1. Найдите АС. Ответ: 1 + √3.

2. В ∆МРК: РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА = АР = √3, АК = 1. Найти: МРК.

Ответ: 75°.

1. Подведение итогов урока

Оценить работу учащихся.

Домашнее задание:

П. 55; вопросы 9, 10.

Решить задачи № 498 (г, д, е), № 499 (б); № 488(а).

Дополнительные задачи:

1. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания – 30 см и 15 см. найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции.

2. Диагонали трапеции равны 5 см и 12 см, а основания – 3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.