Прогнозируемый результат:- Знать соотношения в прямоугольном треугольнике (1) ; (2) ; (3) , где и – проекции катетов a и b на гипотенузу c.
- Уметь доказывать теорему Пифагора.
- Уметь применять теорему пифагора к решению задач.
План урока:
- Организационный момент.
- Актуализация знаний.
- Сообщение учащихся о жизни Пифагора Самосского.
- Работа над теоремой.
- Значение теоремы Пифагора (рассказ ученика).
- Решение задач с применением теоремы.
- Египетский треугольник.
- Домашнее задание.
- Итог урока.
ХОД УРОКА:
1. Организационный момент. (5 минут)
а) Сообщение темы урока: «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
Сегодня на уроке мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала.
б) Вопрос к учащимся: Какие вопросы возникли у вас в связи с темой урока?
(выслушиваю учеников)
в) А теперь попробуйте сформулировать цель урока
(говорят учащиеся)
Учитель сам четко формулирует цель.
2. Актуализация знаний.
Прежде чем приступить к изучению нового материала вспомним теорему о высоте, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника;
- сформулируйте следствия из теоремы о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике согласно рисункам 1–3;
- чему равна высота CD на рис. 1;
- найдите катет BC на рис. 2;
- найдите катет СE на рис. 3.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
CD - ? BC - ? СE - ?
B
9 C 25 K С
4
D
4
9
CA B D A D 12 E
16
3. Сообщение учащихся о жизни Пифагора Самосского.
Итак, кто такой Пифагор? Чем он прославился?
На экране появляется портрет Пифагора.
Слово предоставляется учащимся ----------------------- (5 минут).
Пифагор Самосский (ок. 580 – 500 гг. до н. э.)
Древнегреческий математик, философ, идеалист. Родился на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии. По преданию Пифагор якобы прожил в Египте 22 года и, овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, переехал в Вавилон, где в течение 12 лет знакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Возвратившись на родину Пифагор поселился в Кротоне, где организовал школу, действовавшую почти 30 лет. Школа Пифагора была одновременно философской школой и политической партией, и религиозным братством.
Учение Пифагора и его учеников охватило гармонию, геометрию, теорию чисел, астрономию. Но более всего пифагорийцы ценили результаты, полученные в теории гармонии, так как они подтверждали их идею, что числа определяют все.
Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.
Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца». Пифагор одним из первых пришел к выводу, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Именем Пифагора назван кратер на видимой стороне Луны.
Пифагорейцами было сделано много других важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
- теорема о сумме внутренних углов треугольника;
- построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
- геометрические способы решения квадратных уравнений;
- деление чисел на четные и нечетные, простые и составные, введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
- доказательство того, что не является рациональным числом;
- создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.
Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти с лишним лет был убит в уличной схватке во время народного восстания.
После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.
4. Откройте тетради, запишите число … и тему урока «Теорема Пифагора».
- Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора?
- А еще? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)
Действительно, это шуточная формулировка теоремы.
В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». (Рис. 4)
- Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами a, b и гипотенузой c (рис 4)
Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, - площадь квадрата построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, и - площади квадратов, построенных на его катетах (рис. 5).
А
b
c
B
C
a
Рис. 4 Рис. 5
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. На рис. 6 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
c
b
a
Рис. 6
Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны»
Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы, рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 7, рис. 8).
Рис. 7 Рис. 8
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашел ее доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы».В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов ее доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части.
А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.
Теорема. «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 9).
Дано: АВС, С =
Доказать:
Рис. 9
Доказательство
Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. Обозначим: АС = b; BC = a; АВ = с; CD = ; AD = ; ВС = .
ADC ~ ACB, тогда напротив их равных углов лежат пропорциональные стороны:
(1)
CDB ~ ACB, тогда напротив их равных углов лежат пропорциональные стороны:
(2)
Из (1) и (2) следует:
или
.
Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.
Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении
.
5. О значении теоремы Пифагора расскажет ученик --------------------(слайд V)
6. Решение задач с применением теоремы Пифагора
Задача №1
Р
Дано: - прямоугольный
РМ = 8, МК = 6
Найти: РК
?
8
К
6
М
Рис. 10
Решение
– прямоугольный с гипотенузой РК,
по теореме Пифагора:
.
Задача №2
C
Дано: - прямоугольный
FD = 5, CD = 3
Найти: CF
5
3
?
D
F
Рис. 11
Решение
– прямоугольный с гипотенузой FD (рис. 11),
по теореме Пифагора:
.
7. Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трем последовательным натуральным числам. Что это за треугольник, расскажет ученик ------------------------------
Обратная теорема
Нетрудно убедиться, что теорема, обратная к теореме Пифагора, также справедлива Она позволяет проверить, является ли тот или иной треугольник прямоугольным. Например, если стороны треугольника имеют длины в 3, 4 и 5 единиц, то такой треугольник прямоугольный, так как 52 = 32 + 42. Этим пользовались землемеры и строители Древнего Египта: они размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским».
9 C 25 K С 
4 
C A B D A D 12 E
(1)
