Сумма углов многоугольника

1. Геометричні фігури

На рисунку 1.1 зображено декілька геометричних фігур, побудованих у середовищі пакета динамічної геометрії DG. Для того щоб отримати уявлення про можливості пакета змініть положення базових точок рисунка (вони позначені червоними квадратиками). Ви помітите, що положення геометричних фігур при цьому змінюються, змінюється їх взаємне розташування, змінюються розміри фігур, проте деякі важливіші властивості фігур при цьому зберігаються. Ті властивості геометричних фігур, що не змінюються під час рухів і змін масштабу¹, і є геометричними властивостями, які є предметом дослідження геометрії Евкліда. Пакет DG дозволяє виконувати геометричні побудови швидко і точно, швидко і точно виконувати перетворення фігур, вимірювати параметри отриманих геометричних динамічних рисунків (які ми будемо скорочено називати ДР). Параметри ДР можна динамічно змінювати (наприклад, перетягувати базові точки ДР на нові позиції), при цьому пакет буде автоматично (динамічно) обчислювати нові параметри рисунка і перебудовувати його. Це відкриває нові можливості дослідження геометричних фігур. Геометрія стає більш наочною, “експериментальною” — за допомогою пакета DG властивості геометричних фігур можна підмітити, після чого їх можна експериментально перевірити або спростувати.

Рисунок 1.1 ДР “Геометричні фігури”

2. Точка і пряма

Розглянемо першу аксіому геометрії, яка характеризує властивості належності точок і прямих на площині. Після цього обговоримо особливості побудов точок і прямих у середовищі пакета DG.

Аксіома 1. Точка і пряма

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

Для побудови точок у пакеті DG є інструмент Точка, який на панелі геометричних інструментів представлено кнопкою . Для вилучення точок можна скористатися контекстним меню точки, для чого треба підвести курсор миші до відповідної точки (при цьому курсор змінить свій вигляд) і клацнути правою кнопкою миші; потім зі спадаючого меню обрати команду Вилучити точку.

Завдання 2.1

1. Побудуйте на площині декілька точок, скориставшись інструментом Точка.

2. Вилучіть точки за допомогою команди Вилучити точку.

Для підвищення виразності рисунків зображення точок можна редагувати. Для цього треба скористатися контекстним меню точки й обрати в ньому команду Властивості точки. На рисунку 1.2 наведено зображення, яке побудовано виключно точками, з використанням різних елементів форматування.

Рисунок 1. 2 ДР “Побудова та форматування точок у пакеті DG”

Завдання 2.2

1. Спробуйте самостійно повторити побудову ДР “Побудова та форматування точок у пакеті DG”.

2. Побудуйте в пакеті DG оригінальний динамічний рисунок за допомогою тільки одного примітиву Точка.

3. Відрізок

Розглянемо аксіому розміщення точок на прямій.

Аксіома 2. Розміщення точок на прямій

З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

У пакеті DG є спеціальний інструмент Точка фігури для побудови точки, яка належить геометричній фігурі (прямій, променю, відрізку, колу, дузі кола). Для його використання достатньо активізувати цей інструмент — натиснути на кнопку на панелі геометричних інструментів, або обрати команду Фігури\Точка\Точка фігури в головному меню пакета. Якщо тепер підвести курсор до геометричної фігури (прямої, променя, відрізка, кола, дуги кола), він змінить свій вигляд, а після натискування на кнопку миші на геометричній фігурі з’явиться точка. Побудована точка не буде вільною — її не можна перетягнути у довільну точку екрана за допомогою миші, вона завжди буде належати геометричній фігурі на якій її було сконструйовано. Але її можна переміщувати вздовж цієї геометричної фігури. Такі точки в пакеті DG називаються напівзалежними — вони мають тільки одну степінь свободи на відміну від вільних (або базових) точок, які можуть вільно переміщуватися на площині рисунка.

Завдання 3.1

1. Побудуйте в пакеті DG декілька прямих.

2. Побудуйте на прямих декілька точок, скориставшись для цього інструментом Точка фігури.

3. Динамічно змінюючи параметри побудованих прямих та положення точок на них наочно переконайтеся, що аксіома 2 розміщення точок на прямій виконується для прямих та точок, побудованих у пакеті DG.

Зауваження

Точку можна пристебнути до фігури або відстебнути від фігури — властивість точки бути “пристебнутою” до геометричної фігури (бути напівзалежною точкою), можна змінити, перетворивши її на вільну точку. Для цього треба викликати контекстне меню “пристебнутої” точки, клацнувши на ній правою кнопкою миші, й у спадаючому меню обрати команду Відстебнути точку.

Навпаки, вільну точку можна перетворити у напівзалежну, пристебнувши її до фігури. Для цього також треба скористатися контекстним меню точки: підвести відповідну точку до геометричної фігури, після чого викликати контекстне меню точки й у спадаючому меню вибрати команду Пристебнути до фігури.

Рисунок 1. 3 ДР “Як відстебнути та пристебнути точку до прямої”

Завдання 3.2

1. На рисунку, який було підготовлено при виконанні завданні 3.1, відстебніть точки, що лежать на прямих (зрозуміло, базові точки прямих відстебнути від цих прямих неможливо).

2. Впевніться за допомогою експериментів, що відстебнуті точки перетворилися на вільні точки.

3. Знову пристебніть точки, що були відстебнуті, до прямих.

4. Впевніться за допомогою експериментів, що пристебнуті точки перетворилися в напівзалежні точки.

Крім прямої в пакеті DG є і інші прямолінійні примітиви:

• Відрізок — його можна побудувати за допомогою відповідного інструмента Відрізок. Для побудови відрізка достатньо клацнути на точках — кінцях цього відрізка (при цьому кінцями відрізка можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки²; клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).

• Промінь — його можна побудувати за допомогою інструмента Промінь. Для побудови променя достатньо клацнути на точках — початку променя та довільній точці на промені (як і у випадку з відрізком, базовими точками променя можуть бути вільні точки, напівзалежні точки, залежні точки; клацання мишкою на вільному місці створює нову вільну точку).

4. Вимірювання відрізків

Аксіома 3. Вимірювання відрізків

Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

У пакеті DG є спеціальний інструмент — Виміряти відстань для вимірювання довжин відрізків. Для вимірювання довжини відрізка достатньо клацнути мишкою на його кінцях; для вимірювання відстані між двома довільними точками (навіть якщо вони не з’єднані відрізком) достатньо клацнути на цих точках. Довжина відрізка відображається в надписі, який автоматично розміщується біля його середини. Місце надпису можна змінити, перетягуючи його за допомогою миші на нове місце. Для корегування форми представлення надпису треба скористатися його контекстним меню, яке можна викликати, клацнувши на ньому правою кнопкою миші. Точність вимірювань встановлюється в головному меню на вкладниці Опції\Опції\Різне (Рис. 1.4).

Завдання 4.1

1. Побудуйте новий рисунок, а на ньому — довільну пряму. На прямій поставте точку за допомогою інструмента Точка фігури.

2. Виміряйте довжини трьох відрізків, які утворені побудованими трьома точками (дві точки — базові точки прямої і одна напівзалежна точка, що належить прямій).

3. Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома вимірювання відрізків виконується в середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте побудовані точки і спостерігайте за довжинами відрізків.

Рисунок 1. 5 ДР “Аксіома 3. Властивості вимірювання відрізків”

5. Півплощини

Аксіома 4. Розміщення точок відносно прямої на площині

Пряма розбиває площину на дві півплощини.

Якщо дві точки лежать в одній півплощині, на які розбиває площину деяка пряма, то відрізок, з кінцями в цих точках, не перетинає дану пряму. Якщо ж точки лежать в різних півплощинах, на які розбиває площину деяка пряма, то відрізок, з кінцями в цих точках, перетинає дану пряму.

Завдання 5.1

1. Побудуйте новий рисунок, а на ньому — довільну пряму.

2. Побудуйте довільний відрізок, кінці якого не лежать на прямій.

3. Впевніться за допомогою експериментів, що аксіома 4 розміщення точок відносно прямої на площині виконується у середовищі пакета DG. Для цього переміщуйте базові точки рисунка довільним чином і спостерігайте за виконанням аксіоми.

Рисунок 1.6 ДР “Аксіома 4. Розміщення точок відносно прямої на площині.”

6. Півпряма або промінь

Нагадаємо, що півпрямою або променем називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки; ця точка називається початковою точкою півпрямої. Різні півпрямі однієї й тієї ж прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними.

Наведемо приклад використання променя при розв’язуванні задачі.

Задача 1.6.1

У площині дано многокутник F і довільну точка P, яка не належить жодній з його сторін. Як визначити, лежить точка P зовні чи всередині многокутника F?

Ця задачу можна розв’язувати різними способами, але найпростіший, мабуть, такий. Побудуємо довільний промінь, що виходить із точки P і порахуємо число точок перетину променя зі сторонами многокутника F. Якщо точок перетину буде непарне число, то точка P лежить всередині многокутника, якщо ж парне число — зовні многокутника. Особливі випадки мають місце коли промінь проходить через вершини многокутника. Самостійно вдоскональте запропоноване рішення для цих випадків.

Завдання 6.1

1. Побудуйте довільний многокутник, скориставшись для цього інструментом Многокутник. Зауважимо, що при побудові многокутника, після задання всіх його вершин потрібно повторно вказати його першу вершину.

2. Побудуйте довільний промінь, скориставшись для цього інструментом Промінь.

3. За допомогою комп’ютерних експериментів підтвердіть або спростуйте висловлені вище гіпотези щодо умов, коли точка лежить зовні або всередині многокутника.

4. За допомогою комп’ютерних експериментів дослідіть особливі випадки — випадки, коли промінь проходить через вершину многокутника.

Рисунок 1. 7 ДР "Задача 1.6.1"

7. Кут

Згідно з підручником, кутом називається фігура, яка складається з точки — вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки — сторін кута.

У пакеті DG немає примітива кут — його треба конструювати згідно з наведеним означенням: побудувати вершину кута, а потім за допомогою примітива Промінь побудувати дві сторони кута — дві півпрямі, що виходять з побудованої точки — вершини кута³.

Завдання 7.1

1. Побудуйте довільний кут.

2. Змінюючи положення базової точки сторони кута перетворіть побудований кут на гострий; тупий; прямий; розгорнутий.

3. Побудуйте точки на сторонах кута.

4. З’єднайте побудовані точки відрізком, скориставшись для цього інструментом Відрізок.

5. Побудуйте промінь, що проходить між сторонами кута.

8. Відкладання відрізків і кутів

Під час виконання побудов дуже часто виникає потреба відкладання відрізків даної довжини. Наступна аксіома віддзеркалює основну властивість цієї дії.

Аксіома 6. Відкладання відрізків

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Для експериментальної перевірки справедливості цієї аксіоми достатньо побудувати промінь з початком у довільній точці A; на цьому промені побудувати за допомогою інструмента Точка фігури точку C; виміряти довжину відрізка AC, скориставшись інструментом Вимірювати відстань. Після цього, переміщуючи точку C вздовж променя, переконаємося, що довжина відрізка монотонно збільшується при віддаленні точки C від початку A і може набути будь-якого доданого значення. Зображення відповідного ДР “Аксіома 6. Відкладання відрізків” наведено нижче.

Рисунок 1. 8 “ Аксіома 6. Відкладання відрізків”

ДР "Аксіома 6. Відкладання відрізків" віддзеркалює процес відкладання на промені відрізка заданої довжини за допомогою лінійки. Якщо виникає потреба відкласти відрізок, довжина якого дорівнює довжині іншого відрізка, то можна виміряти довжину даного відрізка, а потім за допомогою лінійки відкласти відрізок отриманої довжини на промені. Це можна зробити більш ефективно (без зайвих дій вимірювання довжини відрізка) за допомогою циркуля. Виконайте такі побудови:

• Побудуйте довільний відрізок, скориставшись інструментом Відрізок.

• Побудуйте довільний промінь, скориставшись інструментом Промінь.

• Побудуйте коло, радіус якого дорівнює довжині побудованого відрізка, а центр збігається з початком променя, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

• Побудуйте точку перетину побудованого кола і променя, скориставшись інструментом Точка перетину.

• Виміряйте довжини обох відрізків і переконайтеся, що вони рівні, скориставшись інструментом Виміряти відстань.

• Виконайте тестування розробленого ДР, змінюючи його параметри і спостерігаючи за довжинами відрізків.

На рисунку 1.9 наведено зображення відповідних побудов.

Рисунок 1. 9 ДР “Аксіома 6. Відкладання відрізків за шаблоном”

Відкладання відрізка за шаблоном цілком повторює операції відповідних побудов за допомогою звичайного циркуля.

Зауважимо також, що в пакеті DG є можливість створювати макроси — пойменовані (названі) процедури виконання заданих послідовностей дій. Можна створити макрос SegmentBySample, тоді зазначені побудови будуть виконуватися автоматично після задання вихідних параметрів — кінців відрізка та точок, які задають промінь.

Завдання 8.1

1. Почніть побудову нового ДР, скориставшись для цього командою Файл\Новий.

2. Завантажте макрос SegmentBySample з бібліотеки макросів, скориставшись для цього командою Макроси\Завантажити макрос.

3. Побудуйте довільний відрізок.

4. Побудуйте довільний промінь.

5. Відкладіть на промені відрізок, довжина якого дорівнює довжині заданого відрізка, скориставшись макросом SegmentBySample.

Аксіома 7 стосується відкладання кутів і відображає процес відкладання від променя кута заданої величини за допомогою транспортира.

Аксіома 7. Відкладання кута

Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180, і тільки один.

Неважко створити динамічний рисунок, який ілюструє це твердженню. Ми не будемо обговорювати деталі його побудови. Наведемо можливий варіант ДР “Аксіома 7. Відкладання кута” (Рис. 1.10).

Рисунок 1. 10 ДР “Аксіома 7. Відкладання кута”

Як і у випадку відкладання відрізків, на практиці часто виникає потреба відкласти від даного променя в дану півплощину кут, градусна міра якого дорівнює градусній мірі деякому іншого кута. Якщо для цього використовувати транспортир, то спочатку треба виміряти величину заданого кута, а потім відкласти його відповідним чином від заданого променя. Відкладемо кут, рівний даному куту (тобто, кут, що має ту ж саму градусну міру), за допомогою циркуля.

Сконструюємо ДР “Відкладання кута за шаблоном”.

1. Побудуйте кут BAC, який відіграватиме роль шаблона. Для побудови скористайтеся інструментом Промінь.

2. Побудуйте промінь DE — промінь, від якого відкладатимуться кути.

3. Побудуйте коло радіусом AB з центром у точці D, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

4. Знайдіть точку F перетину побудованого кола з променем DE, скориставшись інструментом Точка перетину.

5. Побудуйте коло радіусом BC з центром у точці F.

6. Побудуйте коло радіусом AC з вершиною в точці D.

7. Знайдіть точки H і I перетину кіл з центрами в точках F і D, скориставшись інструментом Точка перетину.

8. Виберіть з точок H і I ту, яка відповідає умовам задачі, і через неї проведіть промінь з початком у точці D.

9. Виміряйте кути, скориставшись інструментом Виміряти кут.

10. Виконайте тестування розробленого ДР — при зміні параметрів рисунка кути повинні залишатися рівними.

Рисунок 1. 11 ДР “Відкладання кута за шаблоном”

На динамічному рисунку ми зберегли всі допоміжні побудови і рівні відрізки зафарбували однаковим кольором. Експериментально переконайтеся, що побудови виконано правильно; акуратне доведення потребує використання властивостей трикутників, які будуть вивчатися в курсі геометрії пізніше (ознака рівності трикутників за трьома сторонами).

Можна також розробити макрос AngleBySample для побудови кута за шаблоном.

Завдання 8.2

1. Почніть побудову нового ДР, скориставшись кнопкою Створити новий рисунок, що розміщена на стандартній панелі інструментів.

2. Завантажте макрос AngleBySample з бібліотеки макросів, скориставшись командою Макроси\Завантажити макрос.

3. Побудуйте довільний кут.

4. Побудуйте довільний промінь.

5. Відкладіть від променя кут, градусна міра якого дорівнює градусній мірі даного кута, скориставшись макросом AngleBySample.

9. Трикутник

За означенням, трикутник є фігурою, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки.

На перший погляд здається все просто, але це не зовсім так. Кожна наука вивчає не властивості конкретних об’єктів своєї предметної області, а спільні властивості цілих класів об’єктів. Тому дуже важливим є критерій, коли об’єкти можна віднести до одного класу, в нашому випадку важливим є те, коли можна вважати два трикутника рівними.

Треба зрозуміти означення рівності трикутників. Наступна аксіома стверджує існування трикутника, що дорівнює даному, і який можна побудувати виходячи з довільного положення його вершини, довільного напряму його сторони, довільної півплощини, в якій він розташований. Таким чином, на площині можна побудувати безліч трикутників, рівних даному.

10. Існування трикутника, що дорівнює даному

Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному

Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому у заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

При побудові за шаблоном кута, рівного даному (п. 8), ми фактично будували трикутник, рівний даному, і який відкладено від даного променя в дану півплощину.

Зважаючи на важливість питання, ми повторимо ці побудови в наступному ДР “Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному”.

1. Побудуйте довільний трикутник ABC, скориставшись інструментом Многокутник.

2. Побудуйте довільний промінь DE, скориставшись інструментом Промінь.

3. Відкладіть на промені DE відрізок, що дорівнює стороні AB трикутника:

   1. Побудуйте коло з радіусом AB і центром у точці D, скориставшись інструментом Коло за радіусом.

   2. Знайдіть точку F перетину променя DE з побудованим колом, скориставшись інструментом Точка перетину.

4. Побудуйте коло з радіусом AC і центром у точці D.

5. Побудуйте коло з радіусом BC з центром у точці F.

6. Знайдіть точки перетину H і I кіл з центрами в точках D і F.

7. Побудуйте трикутники DFI і DFH, скориставшись інструментом Многокутник.

8. Виконайте вимірювання сторін трикутників, скориставшись інструментом Виміряти відстань.

9. Виконайте вимірювання кутів трикутників, скориставшись інструментом Виміряти кут.

Трикутники DFG і DFI — шукані; кожен з них лежить в одній з двох півплощин, які визначаються заданим променем. Наведемо варіант відповідного ДР (Рис. 1.12).

Рисунок 1. 12 ДР “Аксіома 8. Існування трикутника, що дорівнює даному”

Завдання 10.1

За допомогою комп’ютерних експериментів впевніться, що трикутники DFI і DFH — шукані, тобто рівні вихідному трикутнику ABC.

11. Паралельні прямі

Аксіома 9. Паралельні прямі

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Для побудови прямої, яка проходить через дану точку паралельно до даної прямої, в пакеті DG існує спеціальний інструмент Паралельна пряма.

Побудуємо ДР “Паралельні прямі”:

1. Побудуємо довільну пряму AB, скориставшись інструментом Пряма.

2. Побудуємо довільну точку C, скориставшись інструментом Точка.

3. Через точку C проведемо пряму, паралельну прямій AB, скориставшись інструментом Паралельна пряма.

Завдання 11.1

Змінюючи масштаб зображення, переконайтеся, що побудовані прямі не перетинаються (збільшення масштабу виконується натискуванням на клавішу на цифровій клавіатурі, зменшення — натискуванням на клавішу ). Зазначені операції можна повторювати до 32 разів.

Рисунок 1. 13 ДР “Паралельні прямі”

Зауважимо, що під час проведення комп’ютерних експериментів у середовищі пакета DG постійно виникає потреба спостерігати ті чи інші фрагменти рисунка. Пересування вздовж площини виконується в ручному режимі — для цього слід виконати операцію Drag and Drop на полі рисунка (натиснути на ліву кнопку миші і, не відпускаючи її, змістити мишу у відповідному напрямку).

12. Теореми і доведення

Чи може допомогти пакет DG у доведенні теорем? На перший погляд — ні, тому, що у теоремах говориться про справедливість деякого твердження (висновку теореми) для нескінченої множини об’єктів (тих об’єктів, що задовольняють умову теореми). За допомогою пакета DG можна тільки експериментально перевірити справедливість висновку теореми для великої кількості об’єктів, які задовольняють умову теореми, причому, цю перевірку можна зробити за допомогою пакета DG значно точніше, ніж без нього, але й тільки, як сказав Мцирі з однойменної поеми М.Ю. Лермонтова при аналізі причин втечі з монастиря⁴. До того ж перевірку можна виконати тільки наближено — всі обчислення в пакеті виконуються наближено. Наприклад, довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 можна обчислити тільки наближено, оскільки DG може оперувати тільки десятковими дробами з певного діапазону. З тієї ж самої причини довжину третини одиничного відрізка буде обчислено наближено — число 1/3 не можна точно представити у вигляді скінченого десяткового дробу. Проблему наближеності обчислень можна буде усунути у майбутньому, наділивши пакет можливостями виконання точних обчислень, як у пакетах комп’ютерної алгебри (наприклад, у пакеті Derive). Проблему експериментальних досліджень властивостей нескінченої кількості об’єктів, що задовольняють умові теореми, не можна буде розв’язати ніколи. Разом із тим, проводити бездоганні з математичної точки зору доведення теорем можна аналітично, за допомогою символьних обчислень, наприклад, у середовищі пакета Derive. Таким чином, принципові розв’язання питань автоматизації доведень можливі тільки на шляху використання пакетів символьних перетворень. Залишимо поки доведення теорем дослідникові, принаймні у курсі геометрії загальноосвітньої школи. А навіщо тоді пакет DG з його можливостями автоматизації наближених експериментів в геометрії? Навіщо експерименти в геометрії? Чи можуть допомогти експерименти під час доведення теорем? За суттю, весь даний посібник є докладною відповіддю на ці запитання. Оскільки даний параграф присвячений питанню доведення теорем, сформулюємо, як можна використовувати пакет DG у процесі доведення теорем.

Побудова контрприкладу до теореми за допомогою пакета DG

Звідки беруться теореми? Теореми — це результат математичного передбачення дослідника. Попередньо невідомо: це передбачення є істинним чи хибним. В першому випадку гіпотезу можна довести, а в другому — спростувати. В першому випадку теорему доводять за допомогою логіки, як говорять, дедуктивно, в другому випадку — вдаються до побудови приклада об’єкта, для якого твердження не виконується. Процес пошуку доведення теореми невід’ємний від процесу пошуку контрприкладів до теореми. Пакет DG можна ефективно використовувати для спростування хибних тверджень, хибних гіпотез.

Як приклад використання пакета DG з метою спростування хибних гіпотез розглянемо ДР “Задача про ворону та сир” (умова задачі наведена на рисунку 1.14).

У процесі розв’язування задачі можуть виникнути гіпотези, що оптимальною точкою буде:

1) точка, яка рівновіддалена від основи паркана і основи дерева;

2) точка, яка рівновіддалена від вершини паркана і вершини дерева.

Завдання 12.1

За допомогою експериментів із залученням ДР “Задача про ворону та сир” спростуйте наведені вище гіпотези.

Рисунок 1.14 ДР “Задача про ворону та сир”

Пошук закономірностей за допомогою пакета DG

Доведення теореми звичайно розбивається на окремі кроки — твердження, які теж є теоремами, але більш простими — образно кажучи, теоремами-одноходівками, які є логічними наслідками співставлення деякої умови і вже доведеної раніше теореми або аксіомами геометрії, які вважаються істинними за визначенням. Уміння побачити ці кроки доведення — більш прості теореми, послідовність яких і складає доведення теореми, є мистецтво математика. Пакет DG можна використовувати для пошуку закономірностей, послідовність яких може привести до доведення теореми.

Ці закономірності, висловлені у формі гіпотез, також потребують дедуктивного доведення. Разом із тим, правильно сформульоване питання є половиною відповіді на нього. Видатний філософ сучасності М. Хайдегер говорить, що філософія (тобто “любомудріє”) є вміння ставити запитання. Те ж саме можна сказати про математику, тим більше, що математика займає проміжне положення між конкретними науками і філософією, математика — це мова науки (як сказав великий І. Ньютон: “Природа розмовляє з людиною мовою математики”).

Як приклад використання пакета DG з метою знаходження закономірностей є ДР “Задача про ворону та сир”.

У цій задачі мабуть “більше ніж половиною розв’язання” є здогадка про те, що шукана точка задовольняє таку умову: відрізки, які сполучають її з вершиною дерева й точкою на паркані, утворюють рівні кути з горизонтальною прямою. Відшукання цієї гіпотези спрощується за допомогою наведеного ДР. Усі параметри ДР можна змінювати — висоту дерева, висоту паркана, положення дерева, паркана та сиру, причому довжина шляху ворони автоматично перераховується під час змін ДР. Експерименти допоможуть висловити ґрунтовну гіпотезу, після чого тільки й можна приступати до доведення або спростування цієї гіпотези. Доведення цього твердження спирається на властивості точок, симетричних відносно прямої (вони рівновіддалені від довільної точки осі симетрії) і на властивості сторін трикутника (сума довжин двох довільних сторін трикутника більша довжини його третьої сторони). Ці твердження будуть доведені в курсі геометрії пізніше.

13. Аксіоми

Як зазначалося в попередньому пункті, всі властивості геометричних фігур повинні бути доведені за допомогою логічних міркувань (дедукції). При цьому більш складні твердження зводять до більш простих, більш прості зводять до ще більше простих і т.д. Однак зрозуміло, що на цьому шляху повинна бути межа — інакше доведення ніколи не закінчиться. Таким чином, повинні існувати деякі твердження (аксіоми), істинність яких не буде доводитись, вони будуть істинними з інших міркувань. Найпростіший вихід — поступити формально, прийняти деякі властивості істинними “за означенням” або “за домовленістю”. Це логічно бездоганний підхід, проте з точки зору практичної значущості теорії, незрозуміло, чи може така теорія бути корисною на практиці. Тобто аксіоми повинні якоюсь мірою відбивати властивості реального світу. Призначенням геометрії є моделювання просторових властивостей світу, тому аксіоми геометрії повинні відбивати просторові властивості світу — бути абстракціями реальних об’єктів і їх властивостей. Геометрія в перекладі з грецької означає “землемірство”. Площину можна собі уявляти як рівнинну місцевість, на якій виконуються побудови за допомогою інструмента “геошнур” — двох кілків, сполучених шнурком. Ввіткнення кілка в землю відповідає побудові точки на площині, а натягування шнурка між двома кілками — проведенню прямої через дві точки. Обертання ж одного кілка навколо ввіткнутого в землю другого при натягнутому шнурку постійної довжини представляє побудову кола. За допомогою геошнура можна виконувати розмітку садибної ділянки.

Історично аксіоми геометрії відбивали властивості побудов на рівнинній поверхні за допомогою геошнура. І саме це забезпечило велику практичну значимість геометрії, бо геометрія є моделлю побудов на рівнині. З іншого боку, побудови на рівнині за допомогою геошнура виконують роль інтерпретації для геометрії — всі отримані в геометрії результати можуть бути використані на практиці відповідним чином.

Універсальність аксіоматичного методу виявляється в тому, що інтерпретацій аксіоматичних теорій може бути багато. Якщо для якоїсь множини об’єктів виконуються аксіоми теорії, то для цих об’єктів справедливі всі результати (теореми), що були отримані у межах цієї теорії.

Однією з інтерпретацій геометрій є побудови на папері за допомогою циркуля і лінійки.

Пакет DG — це ще одна інтерпретація геометрії Евкліда, геометрії на площині. Важливо усвідомити, що властивості точок, прямих та площин з точки зору математичної теорії і властивості цих об’єктів в пакеті DG не можна ототожнювати. Та ж сама ситуація, як і з побудовами на місцевості за допомогою геошнура чи побудовами на папері за допомогою циркуля та лінійки: точки, побудовані на аркуші паперу — це не точки у строгому розумінні терміну точка, прямі — не прямі, і площини — не площини. Разом із тим, пакет DG — інтерпретація геометрії на площині і це означає, що він моделює і з деякою похибкою відбиває відповідні властивості справжньої — абстрактної геометрії. Зразу ж зауважимо, що якість електронної моделі геометрії (пакета DG) значно вище за традиційні (побудови на місцевості, або на папері), проте й електронна модель є теж наближеною і цього не треба ні забувати, ні нехтувати цим. Найголовніше, що треба мати на увазі — це те, що пакет DG просто зручний інструмент для виконання геометричних побудов, деякою мірою, він є просто ”комп’ютерним інструментарієм геометрії” — “комп’ютерним олівцем”, “комп’ютерною лінійкою”, “комп’ютерним циркулем”.

Пакет DG — це магічні олівець, лінійка і циркуль, які працюють з магічною швидкістю, точністю, виразністю:

• Магічна швидкість — обчислювальні потужності одного комп’ютера перевищують обчислювальні потужності всього людства разом, причому обчислення виконуються з абсолютною точністю (на відміну від людських обчислень);

• Магічна точність — більше 10 значущих цифр (еквівалентна можливості виміряти відстань від Харкова до Києва з точністю до 0,1 міліметра):

• Магічна виразність — графічні можливості комп’ютерів дозволяють використовувати палітру з більш ніж 16 000 000 кольорів (таку палітру, мабуть, не могли собі уявити і імпресіоністи).

Проте, крім магічних швидкості, точності та виразності, є ще дві магії пакета DG — це магія динамізму та магія інтелектуальності, які перетворюють його у принципово новий інструмент, який не можна реалізувати тільки комп’ютерними засобами.

• Магічна динамічність. Пакет DG це не простий графічний редактор, який запам’ятовує графічні образи, це геометричний редактор, що запам’ятовує правила, алгоритми побудови графічних зображень, і тому при інтерактивній зміні положення базових точок зображення автоматично перебудовує зображення за збереженими правилами. Наприклад, якщо побудувати трикутник, а потім навколо нього описати коло, то під час переміщення вершин трикутника за допомогою миші коло автоматично буде змінюватись, залишаючись при цьому колом, яке описане навколо трикутника.

• Магічна інтелектуальність. Пакет DG здатен накопичувати задачі, які він може розв’язувати самостійно (тобто, автоматично, без втручання користувача). Як відомо, один із найважливіших критеріїв інтелектуальності є вміння вчитись. Кожний користувач може навчити пакет DG розв’язувати типові задачі, які є особистісно значущими для нього. Для цього в DG умонтовано механізм розробки та використання макроконструкцій⁵.

Ми так багато сказали про магічні властивості пакета DG, проте не відповіли на головне питання — а навіщо він потрібний взагалі? Є геометрія — чудова наука, яка існує вже принаймні 2500 років, є сталий курс геометрії, сталі прийоми її викладання та вивчення. Що ще потрібно? Спробуємо відповісти на це питання. Найкращий метод навчання — самостійне відкриття закономірностей, відкриття, яке повторює шлях людства в опануванні знаннями. Це найкращий шлях, але і найтрудомісткіший — кожен учень повинен побути хоч трошки і Евклідом, і Архімедом, і Паскалем, і Ньютоном, і Менделєєвим, і Ейнштейном, і Ландау, .... Без сучасних потужних інформаційних технологій це завдання не розв’язати. За допомогою відповідних пакетів можна змоделювати умови, в яких відбулося відкриття, а учень сам, проводячи відповідну навчальну дослідницьку роботу, “відкриє” закономірності. При такому підході учень буде брати участь у відкритті властивостей, познайомиться з “технологією відкриття”, технологією “життя”, функціонування відповідної галузі науки. За допомогою пакета DG учень отримує зручний інструмент для проведення комп’ютерних експериментів у галузі геометрії.

Останнє важливе питання — виконання аксіом геометрії у пакеті DG. Коли експериментально перевіряємо справедливість аксіом у пакеті DG (наприклад, що через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на екрані за допомогою пакета DG не більше як одну пряму, паралельну даній), ми тим самим перевіряємо, що система аксіом геометрії має інтерпретацію і тому геометрія є змістовною — її результати можна використовувати на практиці, принаймні в комп’ютерній геометрії. Проте кожна інтерпретація геометрії, у тому числі й комп’ютерна, дає можливість не тільки застосовувати отримані результати в галузі геометрії, але й допомагати в пошуку нових результатів. Розв’язуючи задачу, стародавній математик створював геометричний рисунок паличкою на піску, математик доінформаційного суспільства виконував побудови олівцем на папері, сучасний математик будує й досліджує геометричні моделі на екрані комп’ютера. Ці комп’ютерні моделі з одного боку можуть виконувати роль інтерпретацій відомих теорем геометрії, з другого боку — комп’ютерні моделі можуть виконувати роль джерела плідних ідей для відкриття нових властивостей геометричних фігур — нових теорем.

Аксіоми геометрії виникли з людського досвіду побудов на площині. Зрозуміло, в реальності не існує площини — нескінченної “абсолютно рівної” поверхні, яка не має “товщини”, на якій розташовані прямі — лінії, що не мають “ширини” і які “абсолютно прямі”, у площині та на прямих лежать точки — деякі ефемерні об’єкти, що не мають ані товщини, ані ширини, ані довжини.

Не існує в реальності ні прямих, ні точок. Навіщо ж вивчати властивості об’єктів, яких у реальності не існує? Відповідь і проста і складна: вивчати — для того, щоб знати, бо знання можуть бути тільки абстрактними, загальними, притаманними не тільки одному реальному об’єкту, а цілому класу реальних об’єктів. Це дуже складний процес формування абстрактних понять, і чим більше розвивається суспільство, тим більш загальні абстракції формуються, тим більш загальні теорії будуються. Математика — це універсальний інструмент для побудови моделей дійсності. Геометрія — це важливий розділ математики, який дозволяє в абстрактній формі моделювати та досліджувати просторові властивості об’єктів та процесів реального світу. Наприклад, в геометрії досліджено властивості площини, й отримані результати використовують архітектори, проектувальники, будівельники тоді, коли розглядається досить мала ділянка земної поверхні. Якщо ж вивчаються об’єкти, які розташовано на поверхні Землі і які мають досить великі розміри, то використовують розділ геометрії, який вивчає властивості сфери. Оскільки поверхні планет можна з великою точністю вважати сферами, то фахівці всіх спеціальностей, пов’язаних з розміщенням об’єктів на поверхні планет (геологи, геодезисти, машиністи, капітани, льотчики, космонавти і т.д.) можуть використовувати результати, які отримані відповідних розділах геометрії.

Для застосування результатів евклідової геометрії на практиці треба знайти ті об’єкти дійсності, які можна вважати за площини, прямі та точки і потім до них застосовувати результати, що отримані в геометрії.

1 Точне визначення руху фігур буде дано далі у курсі геометрії; образно-інтуїтивною мовою рухом фігури називається зміна положення фігури як “жорсткої конструкції”, тобто таке перетворення фігури, при якому не змінюються відстані між її точками. Аналогічно, масштабування фігури (геометричною мовою – подібність) образно-інтуїтивною мовою означає “рівномірне розтягування” або “рівномірний стиск” фігури, тобто таке перетворення, при якому відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.

2 Залежна точка — це точка, яка не має степенів свободи — вона повністю визначається положенням інших точок (наприклад, точка перетину двох прямих). Докладніше про різновиди точок DG йдеться далі.

3 Використовуючи механізм макросів пакета DG, легко побудувати макрос Кут, тоді побудова кута буде зводитись до вибору макроса і клацанням мишею на трьох точках, які визначають кут. Допитливі можуть самостійно розібратися в механізмі роботи макросів. Докладне обговорення цього питання передбачено далі.

4 “Бежал я долго — где, куда?
Не знаю! Ни одна звезда
Не озаряла трудный путь.
Мне было весело вдохнуть

В мою измученную грудь
Ночную свежесть тех лесов,
И только!”

Ми теж, за прикладом Мцирі, хотіли б втекти від скучних побудов традиційних математичних курсів до живої математики, сповненої здогадок, помилок і відкриттів — “колізії ідей”, як охарактеризував стрижень свого життя найбільш відомий вчений 20 сторіччя Альберт Ейнштейн.

5 Макроконструкція (або просто макрос) — послідовність команд для виконавця (у нашому випадку — для пакета DG), яка виконується автоматично після виклику макросу і задання його вихідних параметрів.

24

14. Суміжні кути

Нагадаємо, що два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними півпрямими.

Завдання 14.1

Побудуйте в пакеті DG суміжні кути. Використовуючи інструмент Виміряти кут, знайдіть їх градусні міри. Яку гіпотезу відносно суми суміжних кутів можна висунути П ? Перевірте гіпотезу, використовуючи динамічні властивості побудованого рисунка. Для зручності доповніть рисунок динамічним надписом, який відображає суму кутів  П  . Спробуйте довести гіпотезу про суму суміжних кутів самостійно або скористайтеся підручником (Теорема 2.1).

Завдання 14.2

Побудуйте в пакеті DG динамічний рисунок для розв’язування задачі 3 (§ 2):

Знайдіть суміжні кути, якщо один з них у два рази більший за другий.

15. Вертикальні кути

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін другого кута.

Завдання 15.1

Побудуйте в пакеті DG вертикальні кути. Порівняйте їх градусні міри. Яку гіпотезу відносно градусних мір вертикальних кутів можна висунути  П  ? Динамічно змінюючи один із вертикальних кутів, перевірте сформульовану вами гіпотезу. Якщо динамічні експерименти підтверджують гіпотезу, то спробуйте довести її самостійно або скористайтеся підручником (Теорема 2.2).

16. Перпендикулярні прямі

Для побудови прямої, перпендикулярної до даної прямої, в пакеті DG є інструмент Перпендикулярна пряма.

Завдання 16.1

Використовуючи інструмент Перпендикулярна пряма, побудуйте чотирикутник ABCD, у якого кути A, B і C прямі  П  . Виміряйте кут D. Яку гіпотезу відносно градусної міри кута D можна висунути? Перевірте, чи залишається ваша гіпотеза справедливою при зміні параметрів чотирикутника.

17. Доведення від супротивного

Чи може допомогти пакет DG при доведенні від супротивного? Нагадаємо, що при доведенні геометричного твердження способом від супротивного спочатку робимо припущення, протилежне твердженню, яке треба довести. Потім, спираючись на аксіоми і раніше доведені теореми, показуємо, що наше припущення приводить до твердження, яке суперечить або умові теореми, або одній з аксіом, або вже доведеній теоремі. Отже, наше припущення було неправильним, що й доводить розглядуване твердження.

Таким чином, все доведення від супротивного грунтується на логічних міркуваннях. Зазначимо, що навіть рисунок, який ілюструє доведення, не завжди можна побудувати. Конфігурація, властивості якої досліджуються в процесі доведення, може взагалі не існувати. Це дало підставу назвати геометрію мистецтвом правильно міркувати на неправильних рисунках.

Але зазначимо, що теорему не достатньо довести дедуктивно, тобто спираючись на аксіоми і раніше доведені теореми. Теорему потрібно зрозуміти, проникнуть в неї. Твердження, яке ви збираєтесь доводити повинно бути інтуїтивно зрозумілим. Ви повинні бути психологічно готовими до сприйняття доведення. А найкращий шлях до цього лежить через відкриття геометричного твердження в процесі експериментальної роботи в середовищі пакета динамічної геометрії.

18. Бісектриса кута

Бісектрисою кута називається промінь з початком у вершині кута, який проходить між його сторонами і ділить кут пополам.

Для побудови прямої, що містить бісектрису кута, в пакеті DG є інструмент Бісектриса кута. Якщо ж ви хочете замість прямої, що містить бісектрису кута, будувати власне бісектрису, то скористайтеся макросом Bisector.DGM. Макроси в пакеті DG — це інструменти для геометричних побудов, які створені користувачем. Створення макросів вимагає від користувача вміння виконувати геометричні побудови. Але використовувати раніше створені макроси так же просто як і застосовувати стандартні інструменти пакета DG. Потрібно лише завантажити відповідні макроси. Макрос Bisector.DGM зберігається в папці 02 Adjacent & Vertical angles (DGM). Для його завантаження скористайтеся командою Макроси\Завантажити макрос. За допомогою діалогового вікна Відкрити знайдіть папку 02 Adjacent & Vertical angles (DGM), та двічі клацніть мишею на файлі Bisector.DGM. Після цього в розділі меню Макроси з’явиться команда Bisector.

19. Що потрібно робити, щоб добре встигати з геометрії

В підручнику геометрії наведено корисні поради з цього питання. Але в ті часи, коли вони були написані, ще не існувало комп’ютерних пакетів динамічної геометрії. Сьогодні варто доповнити ці поради ще однією:

Вивчайте геометрію з пакетом динамічної геометрії DG

П

Сума суміжних кутів дорівнює 180.

ідказки

Вертикальні кути рівні.

Для створення динамічного надпису скористайтеся командою Редагування | Добавити надпис. В текстовому полі діалогового вікна введіть текст: Кут(BCD) + Кут(DCA) = [ANG(B, C, D) + ANG(D, C, A)]° .

Зауваження

1. Функція ANG(B, C, D) повертає величину кута BCD.

2. Значок градуса у виразі ANG(B, C, D) означає, що функція ANG(B, C, D) буде повертати градусну міру кута BCD.

3. Вираз в квадратних дужках буде автоматично обчислюватись при зміні положення точок A, B, C, D.

4. Для спрощення роботи при створенні динамічного виразу натисніть кнопку Вставити формулу … . Після цього можна скористатися графічним калькулятором. Наприклад, замість того щоб у текстовому полі набрати з клавіатури вираз ANG(B, C, D), натисніть на кнопку із зображенням трикутника, що розташована справа від кнопки Angle, та вкажіть точки B, C і D.

Побудова чотирикутника ABCD:

1. Будуємо довільну пряму OA (інструмент _).

2. _{Через точку A проводимо пряму, перпендикулярну до прямої OA} (інструмент _).

3. _{На побудованій прямій відмічаємо довільну точку B} (інструмент _).

4. Будуємо пряму BC, перпендикулярну до прямої AB.

5. Будуємо пряму, перпендикулярну до прямої BC, і знаходимо точку D перетину побудованої прямої з прямою OA (інструмент _).

Трикутники ABC і A₁B₁C₁ називаються рівними, якщо AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, A = A₁, B = B₁, C = C₁. Отже, щоб довести рівність двох трикутників, користуючись означенням, ми повинні перевірити істинність шести рівностей. Виникає питання, а чи не можна для доведення рівності трикутників обмежитись перевіркою тільки деяких із наведених в означенні умов. Пошуку відповіді на поставлене питання і присвячено цей параграф.

20. Перша ознака рівності трикутників

Завдання 20.1

Д
ослідіть за допомогою ДР “Перша ознака рівності трикутників”, чи будуть рівними трикутники ABC і A₁B₁C₁, якщо AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BAC = A₁B₁C₁. (На динамічному рисунку вершини B₁ і C₁ трикутника A₁B₁C₁ лежать на колах з центром A₁, радіуси яких дорівнюють сторонам AB і AC відповідно. Таким чином, при будь-якому положенні початкових об’єктів AB = A₁B₁, AC = A₁C₁.)

Дослідження можна провести за такою схемою:

1. Задайте параметри трикутника ABC, переміщуючи його вершини (при цьому сторони A₁B₁ і A₁C₁ будуть залишатися рівними сторонам AB і AC відповідно).

2. Переміщуючи точку B₁ (або C₁), знайдіть таке її положення, щоб кут A₁B₁C₁ став рівним куту ABC.

3. Порівняйте сторони та кути трикутника ABC з відповідними сторонами та відповідними кутами трикутника A₁B₁C₁ (довжини сторін BC, B₁C₁ і градусні міри кутів ABC, A₁B₁C₁, BCA і B₁C₁A₁ відображаються на динамічному надписі).

4. Подумайте та перевірте, чи не можуть бути рівними кути A₁B₁C₁ і ABC при іншому положенні точки B₁.

5. Яку гіпотезу можна висунути в результаті ваших спостережень  П ?

6. Перевірте вашу гіпотезу для трикутника ABC іншої форми та розмірів.

7. Порівняйте вашу гіпотезу з теоремою 3.1 підручника.

21. Використання аксіом при доведенні теорем

В попередньому пункті в результаті комп’ютерних експериментів ми відкрили першу ознаку рівності трикутників: якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні. Ми перевірили, що це твердження справедливе для багатьох трикутників і в нас майже не залишилося сумнівів, що воно справедливе завжди. І все ж таки твердження залишається не доведеним. По-перше, довжини сторін і градусні міри кутів обчислювалися наближено. По-друге, можливо твердження не виконується в деяких окремих випадках. Отже, теорему треба довести шляхом логічних міркувань. При цьому дозволяється користуватися лише аксіомами і раніше доведеними теоремами.

Зверніться до підручника і ще раз уважно розгляньте доведення теореми 3.1.

22. Друга ознака рівності трикутників

Завдання 22.1

Дослідіть за допомогою ДР “Друга ознака рівності трикутників”, чи будуть рівними трикутники ABC і A₁B₁C₁, якщо AB = A₁B₁, BAC = B₁A₁C₁, CBA = C₁B₁A₁. (На динамічному рисунку вершина B₁ трикутника A₁B₁C₁ лежать на колі з центром A₁, радіус якого дорівнює стороні AB. Таким чином, при будь-якому положенні початкових об’єктів AB = A₁B₁. Вершина C₁ лежить на промені A₁D).

Дослідження можна провести за такою схемою:

1. Задайте параметри трикутника ABC, переміщуючи його вершини (при цьому сторони A₁B₁ і AB будуть залишатися рівними).

1. Переміщуючи точку D, знайдіть таке її положення, щоб кут B₁A₁C₁ став рівним куту BAC.

2. Переміщуючи тепер точку C₁ вздовж променя A₁D знайдіть таке її положення, щоб кут C₁B₁A₁став рівним куту CBA.

3. Порівняйте сторони та кути трикутника ABC з відповідними сторонами та відповідними кутами трикутника A₁B₁C₁ (довжини сторін BC, B₁C₁, AC, A₁C₁ і градусні міри кутів BCA і B₁C₁A₁ відображаються на динамічному надписі).

4. П
   одумайте та перевірте, чи не можуть бути рівними кути A₁B₁C₁ і ABC при іншому положенні точки C₁ на промені A₁D.

5. Яку гіпотезу можна висунути в результаті ваших спостережень  П ?

6. Перевірте вашу гіпотезу для трикутника ABC іншої форми та розмірів.

7. Порівняйте вашу гіпотезу з теоремою 3.2 підручника.

23. Рівнобедрений трикутник

Трикутник з двома рівними сторонами називається рівнобедреним.

Завдання 23.1

Дослідіть за допомогою ДР “Рівнобедрений трикутник” властивість кутів при основі рівнобедреного трикутника. (На динамічному рисунку вершини B і C трикутника ABC лежать на колі з центром A. Таким чином, AB = AC. Переміщуючи точку P або A, ми можемо змінювати радіус кола, а отже, довжину бічної сторони. Переміщуючи точку B або C по колу ми можемо змінювати довжину основи рівнобедреного трикутника ABC.)

ДР “Рівнобедрений трикутник” можна використати для розв’язування рівнобедреного трикутника, тобто для знаходження за деякими заданими елементами трикутника інших його елементів.

З
авдання 23.2

Використовуючи ДР “Рівнобедрений трикутник” розв’яжіть задачі:

1. Дано основу BC і бічну сторону рівнобедреного трикутника ABC. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо:

1. BC = 5, AB = 7;

2. BC = 7, AB = 5;

3. BC = 5, AC = 5;

4. BC = 7, AC = 7.

1. Дано основу BC і кут при основі рівнобедреного трикутника ABC. Знайдіть два інші кути та бічні сторони трикутника ABC, якщо:

   1. BC = 4, ABC = 45;

   2. BC = 4, ABC = 60;

   3. BC = 6, ACB = 30;

   4. BC = 8, ACB = 30.

2. Дано основу BC і кут BAC рівнобедреного трикутника ABC. Знайдіть два інші кути та бічні сторони трикутника ABC, якщо:

   1. BC = 8, BAC = 90;

   2. BC = 12, BAC = 90;

   3. BC = 9, BAC = 120;

   4. BC = 9, BAC = 60.

3. Дано бічну сторону і кут при основі рівнобедреного трикутника ABC. Знайдіть основу та два інші кути трикутника ABC, якщо:

   1. AB = 4, ABC = 45;

   2. AB = 10, ABC = 45;

   3. AC = 6, ABC = 70;

   4. AC = 12, ACB = 70.

4. Дано бічну сторону і кут при вершині рівнобедреного трикутника ABC. Знайдіть основу та два інші кути трикутника ABC, якщо:

   1. AB = 3,14, BAC = 120;

   2. AB = 8,21, BAC = 90;

   3. AC = 6,28, BAC = 60;

   4. AC = 12,9, BAC = 60.

24. Обернена теорема

Теоремою, оберненою даній, називається така теорема, умовою якої є висновок даної теореми, а висновок — умовою даної теореми. Зазначимо, що обернена теорема до даної правильної теореми може бути як правильною, так і неправильною. Для експериментальної перевірки того, чи правильна обернена теорема, можна використати пакет DG.

Завдання 24.1

В
икористовуючи ДР “Прямокутник”, експериментально перевірте таку властивість чотирикутника: Якщо в чотирикутнику всі кути прямі, то його діагоналі рівні. Сформулюйте обернене твердження. Перевірте його правильність, виконавши побудови в пакеті DG.

25. Висота, бісектриса і медіана трикутника

В геометрії трикутника важливу роль відіграють відрізки, які називаються висотами, бісектрисами і медіанами.

Опишемо побудову висоти трикутника ABC, опущеної з вершини C:

• Побудуємо пряму, що проходить через вершину C, перпендикулярно до відрізка AB (інструмент Перпендикулярна пряма).

• Побудуємо пряму AB (інструмент Пряма).

• Знайдемо точку D перетину прямої AB і перпендикуляра, проведеного через вершину C (інструмент Точка перетину). Точка D називається основою висоти тркутника, опущеної із точки C.

• Побудуємо відрізок AD (інструмент Відрізок).

• Сховаємо пряму AD. Для цього клацнемо на прямій правою кнопкою миші і виберемо в контекстному меню команду Сховати.

• Змінимо стиль прямої AB. В контекстному меню фігури виберемо команду Властивості фігури; в діалоговому вікні, що з’явиться, виберемо Стиль лінії: …….. .

Завдання 25.1

1. Відкрийте ДР “Висота трикутника”. Скориставшись командою Вид\ Покрокове відтворення побудови, прогляньте виконання побудови.

   1. Дослідіть, при якій умові основа висоти трикутника ABC, проведена із вершини C, належить відрізку AC; збігається з вершиною A; бігається з вершиною B; належить продовженню відрізка AB за точку A; належить продовженню відрізка AB за точку B.

   2. Побудуйте висоти трикутника ABC, опущені з вершин B і C. Яку гіпотезу відносно взаємного розташування прямих, що містять висоти трикутника, можна висунути? Сформулюйте гіпотезу та перевірте її експериментально. П

2. Побудуйте довільний трикутник ABC. Побудуйте його бісектриси. Яку гіпотезу відносно взаємного розташування бісектрис, можна висунути? Сформулюйте гіпотезу та перевірте її експериментально. П

3. Побудуйте довільний трикутник ABC. Побудуйте його медіани. П Перевірте експериментально, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка є центром ваги трикутника. Це означає, що коли трикутник підвісити на нитці, кінець якої закріплено в точці перетину медіан, то він прийме горизонтальне положення. Виріжте із картону довільний трикутник і перевірте, що його центр ваги дійсно збігається з точкою перетину медіан.

Експерименти в математиці відіграють не менш важливу роль, ніж у фізиці. В результаті експериментів у нас виникають правдоподібні гіпотези. Але в фізиці найкращий спосіб переконатися у справедливості висунутої гіпотези полягає у продовженні експериментів. Для доведення своєї гіпотези фізик-експериментатор ставить все нові і більш точні експерименти. В математиці поступають по іншому. Свої твердження математики доводять шляхом логічних міркувань. В результаті виконання завдань, наведених вище, у нас виникли такі гіпотези.

1. Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

2. Медіани трикутника перетинаються в одній точці.

3. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Ці гіпотези знайшли підтвердження в результаті експериментальної перевірки. Але вони залишаються недоведеними, хоч у нас і виникла глибока впевненість у їх справедливості. Нагадаємо, що при доведенні геометричного твердження ми можемо спиратися на аксіоми і раніше доведені твердження. Використання раніше доведених тверджень спрощує доведення теореми і робить його більш прозорим. Зараз ми знаходимося на початку шляху в Геометричну країну і у нашому розпорядженні небагато доведених теорем. А тому доведення сформульованих вище гіпотез — складна задача. До їх доведення ми повернемося пізніше.

26. Властивість медіани рівнобедреного трикутника

Теорема 3.5 стверджує, що у рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою. Виникає питання, чи є ця властивість медіани характеристичною для рівнобедреного трикутника, тобто, чи справедливе твердження: якщо медіана трикутника збігається з його висотою або бісектрисою, то трикутник рівнобедрений.

Завдання 26.1

Використовуючи ДР “Висота, медіана і бісектриса трикутника”, дослідіть при якій умові висота CH, медіана CM і бісектриса CK трикутника ABC збігаються.

Доведіть теореми:

1. Якщо медіана CM і висота CH трикутника ABC збігаються, то трикутник ABC рівнобедрений.

2. Я
   кщо бісектриса CK і висота CH трикутника ABC збігаються, то трикутник ABC рівнобедрений.

3. Якщо медіана CM і бісектриса CK трикутника ABC збігаються, то трикутник ABC рівнобедрений.

27. Третя ознака рівності трикутників

З
авдання 27.1

Дослідіть за допомогою ДР “Третя ознака рівності трикутників”, чи будуть рівними трикутники ABC і A₁B₁C₁, якщо AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. (На динамічному рисунку вершини B₁ і C₁ трикутника A₁B₁C₁ лежать на колах з центром A₁, радіуси яких дорівнюють сторонам AB і AC відповідно. Таким чином, при будь-якому положенні початкових об’єктів AB = A₁B₁, AC = A₁C₁.)

Дослідження можна провести за такою схемою:

1. Задайте параметри трикутника ABC, переміщуючи його вершини (при цьому сторони A₁B₁ і A₁C₁ будуть залишатися рівними сторонам AB і AC відповідно).

2. Переміщуючи точку B₁ (або C₁), знайдіть таке її положення, щоб відрізки B₁C₁ і BC стали рівними.

3. Порівняйте кути трикутника ABC з відповідними кутами трикутника A₁B₁C₁ (градусні міри кутів BCA, CBA, ACB, B₁C₁A₁, C₁B₁A₁ і A₁C₁B₁ відображаються на динамічному надписі).

4. Перевірте, чи не можуть бути рівними сторони B₁C₁ і BC при іншому положенні точки C₁ на колі (при фіксованому положенні точки B₁).

5. Яку гіпотезу можна висунути в результаті ваших спостережень  П ?

6. Перевірте вашу гіпотезу для трикутника ABC іншої форми та розмірів.

7. Порівняйте вашу гіпотезу з теоремою 3.6 підручника.

Підказки

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Для побудови середин сторін трикутника скористайтеся інструментом Середина відрізка.

Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

18

38. Коло

Побудови точок, відрізків, променів та прямих

Побудови цих геометричних об’єктів було розглянуто у попередніх параграфах. Їх можна побудувати на практиці за допомогою олівця та лінійки, а в пакеті DG — за допомогою інструментів Точка, Відрізок, Промінь, Пряма відповідно.

Одним із розділів геометрії на площині є геометричні побудови за допомогою циркуля і лінійки. Зауважимо, що циркуль і лінійка в геометрії розглядаються як “математичні”. Так, “математична лінійка” — це інструмент, за допомогою якого можна виконувати деякі визначені дії: сполучати дві точки відрізком; будувати промінь з початком в одній з цих точок і який проходить через другу точку; будувати пряму, яка проходить через ці дві точки. При цьому вважається, що таку “математичну пряму” або “математичний промінь” можна необмежено продовжувати. “Математичний циркуль” — це інструмент, який дозволяє будувати коло за даним радіусом та даним центром. Природа матеріалу, з якого виготовлено “математичну лінійку” або “математичний циркуль”, не мають ніякого значення, як і матеріал, з якого виготовлено папір — об’єкт, на якому власне виконуються геометричні побудови, і спосіб зображення лінії. До речі, папір також вважається “математичним” — необмеженим, абсолютно плоским.

Усі реальні об’єкти, що використовуються для геометричних побудов, є моделями своїх “математичних” прообразів. Пакет DG також дає можливості моделювати геометричні побудови, але тільки моделювати. Більше того, пакет DG можна розглядати як модель геометрії на площині. Ця модель досить досконала — побудови виконуються швидко і точно; розміри області побудов практично необмежені завдяки можливостям масштабування (електронний аналог площини); результати побудови можуть зберігатися і використовуватися для нових побудов; складні побудови можуть виконуватися за один крок, якщо оформити їх у вигляді макросу. Але про все це пізніше.

Зараз для нас важливо навчитися виконувати геометричні побудови засобами пакета DG. І оскільки побудовами за допомогою “електронної лінійки ” ми вже оволоділи, перейдемо до побудов за допомогою “електронного циркуля”.

Побудова Кола

Для побудови кола у пакеті DG є два інструменти:

• Коло;

• Коло за радіусом.

Побудова кола за допомогою інструмента Коло:

• Обрати на панелі геометричних інструмент Коло.

• Клацнути мишею в центрі кола.

• Клацнути мишею на довільній точці кола.

Обидві точки, що використовувались при побудові кола, є вільними точками і можуть динамічно змінювати своє положення перетягуванням за допомогою миші.

Завдання 38.1

1. Побудуйте декілька кіл однакового радіуса за допомогою інструмента Коло.

2. Побудуйте за допомогою інструмента Коло символ олімпіади — п’ять кілець однакового розміру, що розташовані згідно з наведеним рисунком.

Рисунок 5.1 ДР "Олімпійські кільця"

Зауваження

1. Послідовність побудови ДР “Олімпійські кільця” можна встановити за іменами точок на рисунку 5.1 — їх алфавітний порядок вказує на послідовність вибору точок.

2. Для того щоб відповідні кола мали одинакові радіуси, можна скористатися можливістю прив’язки точок до точок координатної сітки — при побудові точок треба держати натиснутою клавішу Shift.

3. Вибір зручного масштабу можна виконати за допомогою клавіш + або на цифровій клавіатурі.