Конспект урока "Правильные многоугольники"

Тема: «Правильные многоугольники».

                                                       И чем труднее доказательство, тем больше

                                                       будет удовольствия тому, кто это доказательство найдет.

                                                                                                                 Рене Декарт.

Цель: обобщить изученный по теме материал; формировать умения применять математические знания к решению практических задач; развивать познавательную активность, творческие способности; воспитывать интерес к предмету.

Ход урока.

1. Организационный момент.

На данном этапе учащиеся формулируют тему и цели урока.

Вопрос: Какая фигура на рисунке лишняя? Почему? 

Сформулируйте тему урока.

Перед тем как перейти к определению многоугольника, вспомним, что такое ломанная?

Ломаной   А1А2А3 … Аn  называется фигура, состоящая из точек А1, А2, А3, …, Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3, …, Аn-1 Аn.

Какие элементы ломанной знаем?

Ò    А1А2А3А4А5А6-ломаная.

Ò    Точки А1, А2, А3, А4, А5, А6- вершины ломаной.

Ò    Отрезки А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, - звенья ломаной.

Какая ломанная называется многоугольником?

Определение: Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Рассмотрим понятие выпуклого многоугольника. 

Вопрос: Какой из многоугольников на слайде является выпуклым?

Определение: Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Вопрос: Достаточно ли провести одну прямую, содержащую сторону многоугольника, чтобы определить является многоугольник выпуклым или нет? А две? 

Приведите примеры известных выпуклых многоугольников.

(Звучит музыка из кинофильма «Приключения Шерлока Холмса».В класс входят Холмс и Ватсон).

Холмс. Здравствуйте, дорогие друзья. Мы только что с Бейкерстрит. Отправились мы с доктором Ватсоном в путь для того, чтобы разгадать дело о похищении персидского шаха.

Ватсон. Но случайно узнали, что ученики 9 класса любят заниматься математикой. Вот и решили с Холмсом заглянуть к вам, поучиться решению сложных задач.

Холмс. Да, Ватсон, я вижу, что вы на время решили забыть о медицине и заняться геометрией.

Ватсон. Но как?.

Холмс. У вас из кармана выглядывает листочек с чертежами. Сразу видно, что вы потратили немало чернил, пытаясь решить хотя бы одну из задач.

Ватсон. Однако, с чего вы взяли, Холмс, что я не решил ни одной задачи? Правда, так оно и есть…

Холмс. Не обижайтесь, дорогой Ватсон. Я, пожалуй, могу рассказать захватывающую историю о том, как с помощью разных методов можно решить любую задачу. Но, думаю, об этом вам расскажут эти юные леди и джентльмены.

Ватсон. А самую изобретательную, быструю и наблюдательную команду мы возьмем себе в помощники.

2. Решение задач.

Задача 1.

Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 36см. Чему равна площадь квадрата вписанного в эту окружность?

Задача 2.

Холмс. Один джентльмен, увлекающийся математикой, решил разбить клумбу в парке отдыха. Клумба имеет вид правильного шестиугольника без правильного треугольника, вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника. Сторона шестиугольника 6 метров. Вычислите площадь этой клумбы.

Ватсон. Холмс, а зачем этому умному джентльмену знать площадь клумбы?

Холмс. Ватсон, это же элементарно. Ему надо вычислить плату за вскапывание клумбы. За вскапывание 1 кв. м  земли надо платить 1,5 фунта стерлингов.

Ватсон. Холмс, эту задачу я хочу решить сам.

Холмс. Друг мой, берегите свое здоровье! Лучше почитайте газету, а с задачей справятся эти юные леди и джентльмены.

Задача 3.

Ватсон отмахивается от пчел

Холмс. Ватсон, что с вами? Пчела? осторожно, она может и ужалить!

Видео

Ватсон. Холмс, меня очень давно мучает этот вопрос.

Холмс. Думаю, что леди и джентльмены помогут нам это понять. Чтобы ответить на этот вопрос надо сравнить периметры разных многоугольников имеющих одинаковую площадь.

 Ватсон Из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений. Так, как в этом случае сумма углов, сходящихся в одной вершине равна 360. Поэтому пчелы должны выбрать одну из этих фигур. Сравним периметры этих фигур, если они имеют одинаковую площадь.

Холмс. Ватсон, эти юные леди и джентльмены дадут вам полный ответ.

Ватсон. Итак, пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади. Строя шестиугольные ячейки, пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Холмс. Ватсон, сейчас мы проверим, насколько хорошо учащиеся знают свойства многоугольников.

Участники каждой команды получают 4 конверта  с надписями  «Треугольник», «Квадрат», «Шестиугольник»,  «Для всех многоугольников» и разрезанные карточки со свойствами, которые нужно распределить по конвертам.

·         каждый его внутренний угол равен 60°

·         каждый его внутренний угол равен 90°

·         каждый его внутренний угол равен 120°;

·         каждый его внешний угол равен 120°

·         каждый его внешний угол равен 90°

·         каждый его внешний угол равен 60°;

·         радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности;

·         каждая сторона равна радиусу описанной окружности;

·         каждая сторона в два раза больше радиуса вписанной окружности;

·         из каждой вершины многоугольника можно  провести две диагонали;

·         из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой;

·         центральный угол равен 60°, 90°,120°;

·         центральный угол равен 90°

·         центральный угол равен 120°;

·         все его диагонали равны;

·         середины правильного 12-угольника соединили через одну;

·          сумма внешних углов равна 360°;

·         сумма его внутренних углов равна сумме его внешних углов;

·         центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

·         каждый его внутренний угол равен центральному углу;

·         вершины правильного 8-угольника соединили отрезками через одну;

·         равны все внутренние углы многоугольника;

·          многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны;

·         многоугольник вписан в окружность и все его углы равны.

Проверяйте:

«Треугольник»: внутренний угол равен 60°; внешний угол равен 120°; R = 2r; центральный угол равен 120°.
«Квадрат»: внутренний угол равен 90°; внешний угол равен 90°; a = 2R; центральный угол равен 90°; все диагонали равны; сумма внутренних углов равна сумме внешних углов; вершины правильного восьмиугольника соединили через одну.
«Правильный шестиугольник»: внутренний угол равен 120°; внешний угол равен 60°; R = a из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой; центральный угол равен 60°; вершины правильного двенадцати угольника соединили через одну.
«Для всех правильных многоугольников»: центры вписанной и описанной окружностей совпадают;  сумма внешних углов 360°; каждый внутренний угол равен центральному; равны все внутренние углы многоугольника; многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны; многоугольник вписан в окружность и все его углы равны.

Холмс. Видите, Ватсон, чтобы научиться решать задачи, надо последовательно и логически мыслить. Это необходимо в математике, как и в криминалистике. Самый главный метод в решении – «метод цели»; надо все время помнить, что осталось сделать для достижения цели. Ну, и еще некоторые мелочи…- опыт и интуиция.

Ватсон (держит в руках газету). Ого, послушайте, Холмс: «Вчера неизвестные злоумышленники украли приз – золотой лист Мёбиуса».

Холмс. Поспешим! Поймать этих негодяев - для нас дело принципа! Прощайте, леди и джентльмены. Мы с доктором Ватсоном еще навестим вас.