Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.
Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?
Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.
Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.
Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?
Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.
1. Сравните 
и 
.
2. Сравните числа 
и 
.
Как видите, случай более сложный.
Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?
Иррациональными.
Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.
Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем
Сравним теперь 
и 
.
Для этого достаточно сравнить 
и 2 или 
и 
.
Но 
, а 
.
Теперь получаем цепочку неравенств :
3. Сравните числа 
и 
.
Воспользуемся следующим свойством радикалов: если 
, то 
, где 
.
Получим
Сравним 
и 
.
Оценим их отношение:
Таким образом, 
.
Замечания.
1) В данном случае степени и невелики, а именно
, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:
Поэтому, 
2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, 
и 
, то можно использовать неравенство:
верно при любых 
, и поступить так:
при всех натуральных 
.
Можно доказать самостоятельно 
.
Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:
“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.
Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е.
, где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.
Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение 
(1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно 
. (2)
Для произвольного положительного числа а существует 
.
Из равенства (2) вытекает равенство
,
или, что то же самое,
. (3)
Полагая в тождестве (3) х=3, получаем
, (4)
а принимая во внимание, что 
, получим, что 
.
Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.
