kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Способы сравнения дробей

Нажмите, чтобы узнать подробности

Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

Просмотр содержимого документа
«Способы сравнения дробей»

Решение примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств :

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Получим

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

.

  • Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е. , где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

,

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3, получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Способы сравнения дробей

Автор: Баранцева Окана Анатольевна

Дата: 19.12.2020

Номер свидетельства: 567689

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(76) "Конспект урока по теме "Сравнение дробей" "
    ["seo_title"] => string(45) "konspiekt-uroka-po-tiemie-sravnieniie-drobiei"
    ["file_id"] => string(6) "118955"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1413298930"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(183) "Технологическая форма урока «Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями» "
    ["seo_title"] => string(109) "tiekhnologhichieskaia-forma-uroka-sravnieniie-drobiei-s-odinakovymi-chislitieliami-i-raznymi-znamienatieliami"
    ["file_id"] => string(6) "138488"
    ["category_seo"] => string(16) "nachalniyeKlassi"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417541814"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "Сравнение обыкновенных дробей. 5 класс "
    ["seo_title"] => string(42) "sravnieniie-obyknoviennykh-drobiei-5-klass"
    ["file_id"] => string(6) "226436"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1440268868"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(119) "Конспект урока математики  в 5 классе  по теме «Сравнение дробей» "
    ["seo_title"] => string(69) "konspiekt-uroka-matiematiki-v-5-klassie-po-tiemie-sravnieniie-drobiei"
    ["file_id"] => string(6) "101404"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402416569"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(84) "Конспект урока математики " Сравнение дробей" "
    ["seo_title"] => string(47) "konspiekt-uroka-matiematiki-sravnieniie-drobiei"
    ["file_id"] => string(6) "127858"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415382237"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1700 руб.
2260 руб.
1880 руб.
2500 руб.
1570 руб.
2090 руб.
1980 руб.
2640 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства