Просмотр содержимого документа
«Способы решения задач на движение »
Способы решения задач на движение тел.
Мне нравится вычислять, особенно для меня интересно решать задачи. Но иногда я встречаю трудности при решении некоторых задач. Поэтому решил узнать больше о задачах и способах решения задач.
Цель: выяснить, как использовать теоретические знания при решении задач.
Объект исследования: задачи на движение тел, рекомендованные для изучения в 7 классе.
Для достижения моей цели я поставил перед собой следующие задачи:
узнать какими могут быть задачи;
выяснить какими способами они могут быть решены;
решить некоторые задачи предложенными способами.
Разновидности задач, способы их решения.
Из толкового словаря русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю.Шведовой:
Задача – 1. упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления.2.Сложные вопрос, проблема, требующие исследования и разрешения.
Решение текстовых задач требует составления уравнений или их систем. Способы решения текстовых задач: арифметические, алгебраические, геометрические.
Арифметический способ.
Решение задач одним действием (суммы, разности, деления, умножения).
Алгебраический способ.
Решение задач проводится с использованием формул. Составляется и решается алгебраическим уравнением.
Простая задача приводит к использованию одной формулы. Сложная задача приводит к использованию нескольких формул или системе уравнений.
Геометрический способ.
При решении некоторых задач требуется использование теорем геометрии, геометрические операции, работа над векторами.
Основные этапы решения задач:
анализ текста задачи;
поиск способа решения задачи и составление плана ее решения;
осуществление найденного плана;
изучения найденного решения.
Решение экспериментальных задач требует ответа на вопрос задачи на основании опыта поставленного и проведенного в соответствии с ее условием. В таких задачах обычно предлагается ответить на вопросы: «Что произойдет?», «Как сделать?».
Задачи на движение тел.
Рассмотрим некоторые задачи из учебника для 7 класса средней общеобразовательной школы «Алгебра» (автор Ш. А. Алимов и другие, 1993).
При решении многих практических задач часто для обозначения чисел используются буквы. Буквами обозначают также неизвестные числа в уравнениях. Использование букв позволяет записать ход решения многих задач одного и того же типа.
Для решения задач на движение тел необходимо, знать, что скорость движения тела показывает расстояние, которое тело проходит за единицу времени: v=s/t. Где s – путь, пройденный телом, t – время движения.
Отсюда s=v*t и t = v/s.
При неравномерном движении тела путь, пройденный телом будет равен: s = s1+ s2 , т. е. s = v1t1 + v2t2
Рассмотрим некоторые задачи.
Группа геологов, продвигаясь по своему маршруту, ехала верхом на лошадях 3 ч 10 мин со скоростью с километров в час, затем плыла на плоту 1 ч 40 мин по реке, скорость течения которой а километров в час, и, наконец, шла пешком 2 ч 30 мин со скоростью b километров в час. Написать формулу пути, который преодолели геологи, обозначив длину маршрута (в км) буквой s. Вычислить длину маршрута, если а = 3,3 км/ч, b = 5,7 км/ч, с= 10,5 км/ч.
Решение:
1/ Путь, который преодолели геологи: s = ct1 + at2 + bt3
t1 = 3ч 10мин = 19/6 ч
t2 = 1ч 40 мин = 5/3 ч
t3 = 2ч 30 мин = 5/2 ч
s = 10,5 t1 + 3,3 t2 + 5,7 t3
s = 10,5* 19/6 + 3,3* 5/3 + 5,7 * 5/2 = 52( км)
Можно эту же задачу решить, применяя формулу s = s1+ s2 + s3, где
t2 = 1ч 40 мин = 100 мин s3 = v3t3 = 1/10 * 150 = 15 (км)
v3 = 5,7 км/ч = 1/10 км/мин s = 52 км
t3 = 2ч 30 мин = 150 мин
Найти: s = ? Ответ: s = 52 км
Автобус проходит путь sкилометров за t часов. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы тот же путь пройти на 1 ч быстрее автобуса?
Решение:
1/ Время, затраченное автомобилем на прохождении пути t = t1 – 1
Путь, пройденный автомобилем можно выразить: s = v (t1 – 1). Отсюда
v = s/ (t1 – 1).
2/ Автобус проходит расстояние: s1 = v1 t1
Автомобиль проходит расстояние: s2 = v (t1 – 1)
s1 = s2, следовательно, s= v (t1 – 1). Отсюда v = s/ (t1 – 1).
Ответ: v = s/ (t1 – 1).
Туристы проплыли на плоту 6 ч со скоростью v км/ч. Затем они прошли по берегу 15 км. Написать формулу s пути, который преодолели туристы. Выразить из этой формулы v через s.
1/ Дано: Решение:
v1 = v s = s1+ s2
t1 = 6 ч s1 = v1t1 = 6 v
s2 = 15 км s = 6 v + 15
Найти: s = ? v = (s – 15)/ 6
2/ Туристы проплыли на плоту расстояние 6 v, прошли по берегу 15 км. Следовательно, s = 6 v + 15. Отсюда v = (s – 15)/ 6.
Ответ: s = 6 v + 15, v = (s – 15)/ 6
Колхозник 3 км пути прошел пешком и проехал на автобусе t часов со скоростью 40 км/ч. Написать формулу пути s, проделанного колхозником. Из этой формулы выразить t через s.
1/ Дано: Решение:
v2= 40 км/ч s = s1+ s2
t2 = t s = 3 + 40t
s1 = 3 км t= (s – 3)/40
Найти: t = ?
2/ Колхозник прошел пешком 3 км, а затем проехал на автобусе расстояние 40t. Следовательно, s = 3 + 40t. Отсюда t= (s – 3)/40.
Ответ: t= (s – 3)/40
Применение уравнений позволяет упростить решение многих задач. При этом решение задачи обычно состоит из двух этапов:
1/ составление уравнения по условиям задачи;
2/ решение полученного уравнения.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, - правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Уравнение может не иметь корней или иметь один корень, два корня, три корня и т. д.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение: ах=b, где aи b – заданные числа, х – неизвестное. Уравнение ах=b называют линейным уравнением.
При решении задач необходимо применить основные свойства уравнений.
Свойство 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Свойство 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
1/ Лодка шла против течения реки 4,5 ч и по течению 2,1 ч. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она прошла всего 52,2 км, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
1/ Пусть скорость лодки в стоячей воде х км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч.
Лодка проплывала против течения реки со скоростью (х – 3) км/ч, по течению – (х + 3) км/ч. Следовательно, s = 4,5 (х – 3) + 2,1 (х + 3) = 52,2 (км)
Решим уравнение:
4,5 (х – 3) + 2,1 (х + 3) = 52,2
4,5 *х – 4,5*3 + 2,1 * х + 2,1*3 = 52,2
х * (4,5 + 2,1) = 52,2 + 7,2
6,6 х = 59,4
х = 9 (км/ч)
2/ Дано: Решение:
v1 = (v – 3) км/ч s = s1+ s2
t1 = 4,5 ч s1 = v1t1 = 4,5 (v – 3) = 4,5 v – 13,5
v2 = (v + 3) км/ч s2 = v2t2 = 2,1 (v + 3) = 2,1 v + 6,3
t2 = 2,1 ч s = 4,5 v – 13,5 + 2,1 v + 6,3
s = 52,2 км s = 6,6 v – 7,2
Найти: s = ? v=(s+ 7,2)/5,5
v=(52,2 + 7,2)/5,5
v= 59,4/6,6 =9 (км/ч)
Ответ: v= 9 км/ч
2/ Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.
Решение:
1/ Пусть скорость лодки в стоячей воде х км/ч. Скорость течения реки равна 3,5 км/ч.
Лодка проплывала против течения реки со скоростью (х – 3,5) км/ч, по течению – (х + 3,5) км/ч. Следовательно, путь пройденный лодкой по течению s = 2,4 (х + 3,5) - 3,2 (х – 3,5) = 13,2 (км)
Решим уравнение:
2,4 (х + 3,5) - 3,2 (х – 3,5) = 13,2
2,4 х + 3,5*2,4 -3,2 х + 3,2*3,5 - = 13,2
х * (3,2-2,4) = 13,2 – 11,2 – 8,4
- 0,8 х = - 6,4
х = 8 (км/ч)
2/ Дано: Решение:
v1 = (v – 3,5) км/ч s = s2 - s1
t1 = 3,2 ч s1 = v1t1 = 3,2 (v – 3,5) = 3,2 v – 11,2
v2 = (v + 3,5) км/ч s2 = v2t2 = 2,4 (v + 3,5) = 2,4 v + 8,4
t2 = 2,4 ч s = 2,4 v + 8,4 – (3,2 v – 11,2)
s = 13,2 км s = - 0,8 v + 19,6
Найти: s = ? v=(19,6 - s)/0,8
v=(19,6 -13,2)/0,8
v= 6,4/0,8=8 (км/ч)
Ответ: v= 8 км/ч
Таким образом, я пришел к выводу, что задачу можно решить различными способами, применяя правила и формулы. Задачи на движение тел могут решаться через физический смысл скорости: v=s/t.
Использованная литература:
Алгебра: Учебник для 7 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 2 – е изд,. – М.: Просвещение, 1993.
Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием.- М.: Просвещение,1989
