Способы решения логарифмических уравнений

Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».

Предмет	Алгебра и начала математического анализа
Класс	10
Тема урока	«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа
Базовый учебник	Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

- обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель.

- Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

1. Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

log216 lоg3 √3 log71 log5 (1/625) log211 - log 244

log814 + log 832/7 log35 ∙ log53 5 log5 49 8 lоg 85 - 1 25 –log 510

Сравнить числа: (слайд № 6)

1. log_½ е и log_½π;

2. log₂ √5/2 и log₂√3/2.

Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2/3. (слайд № 7)

1. Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

1. Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log_a х = с (а 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

1. Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)0, g(х)0 , а 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение _ = _

ОДЗ:

3х-10; х1/3

6х+80.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х0;

х0;

х≠1;

log₂х²0;

х²0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение:

_ ⁼ _ (ответ: х=1)

1. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

_ + _=3 (ответ: х=5/3)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+10;

х-20. х1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log_{2 }= 2, откуда следует _= 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 31 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅ (х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,

37-12х 0, х

7-2х 0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,

½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

37-12х= 49 -28х +4х² ,

4х²-16х +12 =0,

х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х²-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х²-6х+9) 0, х≠ 3,

х-7 0; х 7; х 7.

lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))² = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ : 9

1. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 100 – верно х=100000, 1000000 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х² ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

х 0 , х 0, О.Д.З. [ 0,4).

log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,

log₆² х + log₆ х -2 = 0

заменим log₆ х = t

t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁ =1 , t₂ = -2.

log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

1. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-10;

х 0. х½.

log₄(2х-1)∙ log₄х - 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

1. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Пример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log₃ = log₃ (3х)

.

получаем : log₃ х² log₃ х = log₃ (3х),

2log₃ х log₃ х = log₃ 3+ log₃ х,

2 log₃² х = log₃ х +1,

2 log₃² х - log₃ х -1=0,

заменим log₃ х = р , х 0

2 р ² + р -2 =0 ; D = 9 ; р₁ =1 , р₂ = -1/2

log₃ х = 1 , х=3,

log₃ х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

log₂ х - 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)

1. Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Пример:

Решите уравнения: log₃ х = 12-х.

Так как функция у= log₃ х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log₃ х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ : х=1).

1. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

1. Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Литература

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002

2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.

3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004

4. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004

5. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

6