Методы решения логарифмических уравнений

Тема: «Методы решения логарифмических уравнений».

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

- обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточка (3 - 4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить:

log216 lоg3 √3 log71 log5 (1/625) log211 - log 244

log814 + log 832/7 log35 ∙ log53 5 log5 49 8 lоg 85 - 1 25 –log 510

Сравнить числа:

1. log_½ е и log_½π;

2. log₂ √5/2 и log₂√3/2.

Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2/3.)

1. Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений:

1. Решение уравнений на основании определения логарифма

log _a х = с (а 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

1. Метод потенцирования

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)0, g(х)0 , а 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3х-10; х1/3

6х+80.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х0;

х0;

х≠1;

log₂х²0;

х²0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение:

⁼ (ответ: х=1)

1. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

+ =3 (ответ: х=5/3)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+10;

х-20. х1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂ = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 31 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅ (х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,

37-12х 0, х

7-2х 0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,

½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

37-12х= 49 -28х +4х² ,

4х²-16х +12 =0,

х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х²-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х²-6х+9) 0, х≠ 3,

х-7 0; х 7; х 7.

lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))² = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ : 9

1. Уравнения, решаемые введением новой переменной.

Пример:

Решите уравнение lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 100 – верно х=100000, 1000000 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х² ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

х 0 , х 0, О.Д.З. [ 0,4).

log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,

log₆² х + log₆ х -2 = 0

заменим log₆ х = t

t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁ =1 , t₂ = -2.

log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

1. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-10;

х 0. х½.

log₄(2х-1)∙ log₄х - 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

1. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Пример:

Р ешите уравнения

П рологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log₃ = log₃ (3х)

.

получаем : log₃ х² log₃ х = log₃ (3х),

2log₃ х log₃ х = log₃ 3+ log₃ х,

2 log₃² х = log₃ х +1,

2 log₃² х - log₃ х -1=0,

заменим log₃ х = р , х 0

2 р ² + р -2 =0 ; D = 9 ; р₁ =1 , р₂ = -1/2

log₃ х = 1 , х=3,

log₃ х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

log₂ х - 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)

1. Функционально – графический метод.

Пример:

Решите уравнения: log₃ х = 12-х.

Так как функция у= log₃ х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log₃ х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ : х=1).

1. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком)

О пределить метод решения уравнения:

1. Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)