Папка - накопитель по теме «Решение логарифмических уравнений» из материалов ЕГЭ по математике профильного уровня для обучающихся 10-11 классов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа им. В.Г. Шухова» города Грайворона Грайворонского городского округа Белгородской области

(МБОУ «СОШ им. В.Г. Шухова» г. Грайворона)

Папка - накопитель по теме «Решение логарифмических уравнений» из материалов ЕГЭ по математике профильного уровня для обучающихся 10-11 классов

Грайворон, 2026 г.

Введение

Разработка предназначена для подготовки к ЕГЭ по профильной математике.

Цель разработки: показать решение типовых логарифмических уравнений, подготовить учеников к сдаче ЕГЭ

Источники информации:                                                      

Открытый банк ЕГЭ ФИПИ  http://fipi.ru/                                                       

Оглавление

Глава 1. Логарифм и его свойства …………………………………….. Глава 2. Логарифмические уравнения и основные методы их решения 2.1. Метод 1. По определению……………………………………… 2.2. Метод 2. Потенцирование …………………………………….. 2.3. Метод 3. Использование свойств логарифма…………………. 2.4. Метод 4. Введение новой переменной ………………………... 2.5. Метод 5. Метод логарифмирования ………………………….. 2.6. Уравнение с отбором корней на отрезке ……………………... 2.7. «Ловушки» и типичные ошибки в ЕГЭ……………………….. Глава 3. Примеры для самопроверки ………………………………… Решения с ответами……………………………………………………..

4 - 5 5- 6 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 10-11 11-17

Глава 1. Логарифм и его свойства

1. Определение логарифма:

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

= x = b

Ограничения (ОДЗ):

• Аргумент (то, что внутри): b 0

• Основание: a 0

• Основание не равно единице: a ≠ 1

2. Основное логарифмическое тождество:

Это формула, которая «уничтожает» логарифм, если основание степени и основание логарифма совпадают:

= b

3. Специальные виды логарифмов:

• Десятичный логарифм: b — это логарифм по основанию 10 (пишется без основания).

• Натуральный логарифм: — это логарифм по основанию e (e ≈ 2,718...).

4. Основные свойства логарифмов:

Эти свойства позволяют упрощать выражения и решать уравнения:

1. Логарифм единицы: = 0 (так как = 1)

2. Логарифм основания: = 1 (так как = )

3. Логарифм произведения: = +

4. Логарифм частного: = -

5. Вынос степени из аргумента: = n ·

• Важно: если n — четное число, то при выносе ставится модуль: = n · .

6. Вынос степени из основания: = ·

7. Универсальная формула выноса степеней: =

5. Переход к новому основанию:

Используется, если в уравнении разные основания:

• Общая формула: =

• Переворот логарифма: =

Глава 2. Логарифмические уравнения и основные методы их решения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, называются логарифмическими.

Рассмотрим основные методы их решения.

2.1. Метод 1. По определению

Если уравнение имеет вид = b, то мы просто возводим основание в степень: f(x) = . Не забываем проверить ОДЗ: f(x) 0

Пример. Найдите корень уравнения = 3

Логарифм числа x по основанию a (записывается как = b) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число x.

В уравнении = 3 основание a = 2, результат логарифмирования b = 3.

Согласно определению, мы можем переписать уравнение в виде степени:

x = ,

x = 8.

Ответ: x = 8.

2.2 Метод 2. Потенцирование (Метод отбрасывания логарифмов)

Если уравнение имеет вид = , то:

f(x) = g(x)

Важно: Нужно обязательно записать ОДЗ: f(x) 0 и g(x) 0. Достаточно потребовать положительности хотя бы одной из функций, вторая будет положительной автоматически в силу их равенства.

Пример. Найдите корень уравнения =

В уравнении = основания логарифмов одинаковы. Согласно свойству монотонности логарифмической функции, если = , то = . Поэтому мы можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов:

x + 1 = 5,

x = 5 – 1,

x = 4.

Выражение под логарифмом всегда должно быть больше нуля. Проверим наше решение:

x + 1 = 4 + 1 = 5 0.

Условие выполняется значит ответ верный:

2.3. Метод 3. Использование свойств логарифма

Для решения уравнения данным методом надо применить одно из свойств логарифма, при этом не забыв проверить ОДЗ: f(x) 0.

Пример. Найдите корень уравнения + = 3

Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

1. x 0;

2. x - 2 0 ⟹ x 2.

Общее условие: x 2.

Используется свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

+ =

+ = 3 = = 3

По определению логарифма ( = c ⇔ = b), возводим основание 2 в степень 3:

x(x - 2) =

- 2x = 8

Переносим всё в одну сторону, чтобы получить стандартный вид + bx + c = 0: - 2x - 8 = 0.

Уравнение решается через дискриминант или теорему Виета. Получаем корни: = 4 и = -2.

• = 4: подходит (4 2), это верный корень (В).

• = -2: не подходит (-2

Ответ: x = 4

2.4. Метод 4. Введение новой переменной (Замена)

Если уравнение содержит одинаковые конструкции, например, и , делаем замену:

Пусть t = .

Решаем полученное уравнение относительно t, а затем делаем обратную замену.

Пример. Найдите корень уравнения - 4 + 3 = 0

Данное уравнение - 4 + 3 = 0 является квадратным относительно логарифма. Чтобы упростить его, вводится замена:

y =

После замены уравнение принимает вид обычного квадратного уравнения:

- 4y + 3 = 0

Это уравнение можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а произведение — 3. Подбором находим корни:

= 1, = 3.

Теперь возвращаемся от переменной y к переменной x, используя определение логарифма ( = b = x = ):

1. Если = 1, то = 1 = = = 3

2. Если = 3, то = 3 = = = 27

Для логарифма выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля (x 0). Оба полученных корня (3 и 27) удовлетворяют этому условию.

= 3, = 27

2.5. Метод 5. Метод логарифмирования

Применяется, когда переменная x стоит и в основании, и в показателе степени. В этом случае логарифмируем обе части уравнения по удобному основанию.

Пример. Решите уравнение 

Анализ условия: дано смешанное уравнение (показательное уравнение, содержащее степень с логарифмом в показателе).

В первую очередь найдем ОДЗ: х0

В показателе степени есть переменная, поэтому прологарифмируем обе части уравнения, тогда получим логарифмическое уравнение, которое можно будет решить с помощью замены.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, получим:

= lg x^lgx=lg = lg²x=lg100-lgx = lg²x=2-lg x = lg²x + lg x-2=0.

Далее данное уравнение решим методом замены. lg x=y

y² +y-2=0,

y₁=1, y₂=-2

1. Если = 1, то lg x= 1 = x₁ = 10

2. Если = -2, то lg x=-2 = x₂= 0,01

С учетом ОДЗ, x₁ = 10, x₂ = 10

Ответ: x₁ = 10, x₂ = 10

2.6. Уравнение с отбором корней на отрезке

Пример. Решите уравнение = . Найдите корни на отрезке [ ; ].

а) Решите уравнение = .

Приведем логарифмы к одному основанию:

= ⇒ =

= ⇒ =

Перейдем к равенству аргументов (ОДЗ: x + 6 0 и x ≠ 0):

x + 6 = ⇒ - x - 6 = 0.

По теореме Виета: = 3, = -2. Оба корня подходят под ОДЗ.

б) Найдите корни на отрезке [ ; ].

1. x = 3. Представим как логарифм: 3 = = .

Так как 1

2. x = -2. Так как = 0, а -2

Ответ: а) -2; 3 б) 3.

2.7. «Ловушки» и типичные ошибки в ЕГЭ

1. Потеря ОДЗ. Всегда начинай решение уравнения с выписывания условий b 0, a 0, a ≠ 1.

2. Путаница со степенью. Помни, что — это ( ) · ( ), а не .

3. Неправильное применение свойств. Свойства суммы и разности логарифмов работают только при одинаковых основаниях.

4. Четные степени. При выносе четной степени из-под логарифма (например, ) внутри должен оставаться модуль (2 ), если область определения переменной x это допускает.

Глава 3. Примеры для самопроверки

Простейшие логарифмические уравнения (по определению логарифма):

1. = 3;

2. = 2;

3. = 1;

4. = .

Уравнения вида = :

1. = ;

2. =

3. = ;

4. =

Уравнения, решаемые методом замены переменной:

1. - 4 + 3 = 0;

2. + 2 - 8 = 0;

3. - = 0;

4. 2 + + 2 = 0.

Уравнения, решаемые с помощью свойств логарифмов:

1. + = 3;

2. - = 1;

3. 2 = +

4. + = 6.

Уравнения с отбором корней на отрезке:

1. Решите уравнение = . Найдите корни на отрезке [ ; ].

2. Решите уравнение = Найдите корни на отрезке [ ; ].

3. Решите уравнение = . Найдите корни на отрезке [ ; ].

4. Решите уравнение lg(x + 2) = . Найдите корни на отрезке [ ; ].

Решения с ответами

Простейшие логарифмические уравнения (по определению логарифма):

а) = 3,
x =
x = 8.

б) = 2,
x – 1 =
x = 25 + 1.
x = 26.

в) = 1,
2x + 1 =
2x = 3 – 1,
2x = 2.
x = 1.

г) =
x = ,
x = .
x = 2.

Уравнения вида = :

а) = ,

x + 1 = 5.

x = 4.

б) =

2x = x + 3.

x = 3.

в) = ,

= 9,

x = .

= 3, = -3.

г) =

3x – 2 = x + 4,

2x = 6.

x = 3.

Уравнения, решаемые методом замены переменной:

- 4 + 3 = 0.
Пусть y = , тогда

- 4y + 3 = 0.
= 1; = 3. ОДЗ: x 0

Обратная замена.

= 1 = = = = 3

= 3 = = = = 27

= 3, = 27.

+ 2 - 8 = 0.

Пусть y = , тогда

+ 2y - 8 = 0.

= -4; = 2. ОДЗ: x 0

Обратная замена.

= -4 = = = = 0,0001.

= 2 = = = = 100.

= 0,0001; = 100.

в) - = 0.

Пусть y = , тогда

- y = 0

y( y – 1 ) = 0

= 0; = 1. ОДЗ: x 0

Обратная замена

= 0 = = = = 1.

= 1 = = = =

= 1, = .

г) 2 + + 2 = 0.

Пусть y = , тогда

2 + 5y + 2 = 0,

D = – 4 = 25 – 16 = 9,

= = -0,5; = = -2. ОДЗ: x 0

Обратная замена

= -0,5 = = = = = =

= -2 = = = = = = 4

= , = 4.

Уравнения, решаемые с помощью свойств логарифмов:

а) + = 3, ОДЗ: x 2.

= 3,

- 2x – 8 = 0,

= 4; = -2.

4 2 (В) -2

Ответ: х=4.

б) - = 1, ОДЗ: x 2.

= 1,

= ,

x + 6 = 3(x – 2),

12 = 2x,

x = 6.

6 2 (В).

Ответ: х=6.

в) 2 = + , ОДЗ: x 0.

= ,

= 16,

x =

= 4; = -4.

4 0 (В) -4

Ответ: х=4.

г) + = 6, ОДЗ: x 0.

+ = 6,

( + 1) = 6,

= 6 ,

= 4,

x =

16 0 (В).

x = 16

Уравнения с отбором корней на отрезке:

а) Решите уравнение = .

Приведем логарифмы к одному основанию:

= ⇒ = ⇒ =

⇒ = .

Перейдем к равенству аргументов (ОДЗ: x + 6 0 и x ≠ 0):

x + 6 = ⇒ - x - 6 = 0

По теореме Виета: = 3, = -2. Оба корня подходят под ОДЗ.

Найдите корни на отрезке [ ; ].

1. x = 3. Представим как логарифм: 3 = = .

Так как 1

2. x = -2. Так как = 0, а -2

Ответ: а) -2; 3 б) 3

б) Решите уравнение = .

= ⇒ =

x + 12 = ⇒ - x - 12 = 0.

Корни: = 4, = -3. (ОДЗ: x -12, x ≠ 0 выполнены).

Найдите корни на отрезке [ ; ].

1. x = 4 = = . 625 24, корень не подходит.

2. x = -3. Так как = -1, а -3

Ответ: а) -3; 4 б) корней нет

в) Решите уравнение = .

= ⇒ =

x + 20 = ⇒ - x - 20 = 0.

Корни: = 5, = -4. (ОДЗ: x -20, x ≠ 0 выполнены).

Найдите корни на отрезке [ ; ].

1. x = 5 = = . 32 30, корень не подходит.

2. x = -4, ≈ -3,3. Так как -4

Ответ: а) -4; 5 б) корней нет

г) Решите уравнение lg(x + 2) = .

lg(x + 2) = ⇒ lg(x + 2) =lg

x + 2 = ⇒ - x - 2 = 0.

Корни: = 2, = -1. (ОДЗ: x -2, x ≠ 0 выполнены).

Найдите корни на отрезке [ ; ].

1. x = 2 = = . 36 10, корень не подходит.

2. x = -1 = = .

Так как 0,1

Ответ: а) -1; 2 б) -1