СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Скалярное произведение в координатах.
Свойства скалярного произведения векторов

Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что, где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора.

2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и.

3. Даны векторы (–1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и.

4. Найдите координаты вектора, если (–3; 0).

5. Даны векторы (5; 6) и (–2; 3). Найдите координаты вектора.

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите.

8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ?

Вариант II

1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и.

2. Известно, что, где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора.

3. Найдите координаты вектора –, если (0; –2).

4. Даны векторы (2; –1) и (3; –1). Найдите координаты разности векторов и.

5. Даны векторы (–1; 9) и (3; –2). Найдите координаты вектора.

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2. Вычислите.

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;

3) ; 4).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

Дано: = 8; = 15;

АВС = 120°.

Найти:.

Решение

Пусть ;

, тогда по правилу треугольника (или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила ).

C = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD2 = BC2 + CD2 – 2BC ? CD ? cos C =

= 82 + 152 – 2 ? 8 ? 15 ? = 64 + 225 – 120 = 169;

= 169; = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачи № 1044 (а, б).

3. Устно № 1045.

4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 1051.

Решение

= 1 ? 2 cos 60° + 2 ? 2 cos 60° = 2 ? + 4 ? = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

1) cos A =

cos A = ; cos A =, то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:

B ≈ 21°47′.

3) C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052.

Решение

= 52 – 2 ? 5 ? 2 cos 90° + 22 – 42 =

= 25 + 4 – 16 = 13; = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.

Решение

По условию.

= 9 ? 1 – 24 ? 1? 1 ? 0 + 16 ? 1 = 25.

= 25, тогда = 5.

Ответ: 5.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 101–104; ответить на вопросы 17–20 на странице 271 учебника; решить №№ 1044 (в), 1047 (а), 1054 (разобрать решение задачи и записать в тетрадь).

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ »

Скалярное произведение в координатах.
Свойства скалярного произведения векторов

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

3. Даны векторы (–1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и .

4. Найдите координаты вектора , если (–3; 0).

5. Даны векторы (5; 6) и (–2; 3). Найдите координаты вектора .

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите .

8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ?

Вариант II

1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

2. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

3. Найдите координаты вектора –, если (0; –2).

4. Даны векторы (2; –1) и (3; –1). Найдите координаты разности векторов и .

5. Даны векторы (–1; 9) и (3; –2). Найдите координаты вектора .

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2. Вычислите .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ≥ 0 ( 0 при 0); 2) ;

3) ; 4) .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

Дано: = 8; = 15;

АВС = 120°.

Найти: .

Решение

Пусть ;

, тогда по правилу треугольника (или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила ).

C = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD² = BC² + CD² – 2BC ∙ CD ∙ cos C =

= 8² + 15² – 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ = 64 + 225 – 120 = 169;

= 169; = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачи № 1044 (а, б).

3. Устно № 1045.

4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 1051.

Решение

= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ + 4 ∙ = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

1) cos A =

cos A = ; cos A = , то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:

B ≈ 21°47′.

3) C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052.

Решение

= 5² – 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 2² – 4² =

= 25 + 4 – 16 = 13; = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.

Решение

По условию .

= 9 ∙ 1 – 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.

= 25, тогда = 5.

Ответ: 5.

IV. Итоги урока.

Похожие файлы

Разработка урока по геометрии в 9 классе "Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов."

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(231) "Разработка урока по  геометрии  в 9  классе "Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов." "
    ["seo_title"] => string(135) "razrabotka-uroka-po-ghieomietrii-v-9-klassie-skaliarnoie-proizviedieniie-v-koordinatakh-svoistva-skaliarnogho-proizviedieniia-viektorov"
    ["file_id"] => string(6) "184304"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1426018710"
  }
}

презентация по геометрии 11 класс "Скалярное произведение векторов"

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(124) "презентация по геометрии 11 класс "Скалярное произведение векторов" "
    ["seo_title"] => string(78) "priezientatsiia-po-ghieomietrii-11-klass-skaliarnoie-proizviedieniie-viektorov"
    ["file_id"] => string(6) "247274"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1446537142"
  }
}

"Скалярное произведение векторов. Свойства"

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(80) ""Скалярное произведение векторов. Свойства""
    ["seo_title"] => string(41) "skaliarnoe_proizvedenie_vektorov_svoistva"
    ["file_id"] => string(6) "507837"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1555784677"
  }
}

Презентация к уроку по геометрии 9 класс по теме: "СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ."

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(161) "Презентация к уроку по геометрии 9 класс по теме: "СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ.""
    ["seo_title"] => string(80) "prezentatsiia_k_uroku_po_geometrii_9_klass_po_teme_skaliarnoe_proizvedenie_v_koo"
    ["file_id"] => string(6) "548803"
    ["category_seo"] => string(9) "geometria"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1588709386"
  }
}

9 класс рабочая программа по геометрии

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "9 класс рабочая программа по геометрии "
    ["seo_title"] => string(44) "9-klass-rabochaia-proghramma-po-ghieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "222913"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1436954922"
  }
}

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Просмотр содержимого документа «СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ »