Решение задач по теме "Треугольники"

Решение задач по теме «Треугольники»

Цели и задачи.

1. Систематизировать знания учащихся по теме “Треугольники”.

2. Уметь решать задачи, аргументировать свое решение, применяя ранее изученные свойства фигур и признаки равенства треугольников.

3. Уметь работать в команде.

4. Повышать мотивацию к изучению математики.

Оборудование: учебник, доска.

Подготовка к уроку.

Учащимся в начале темы дается лист контроля по теме “Треугольники”. 

Ход урока

1. Организационный момент..

2. Решение задач.

Задача №1. (Ответ: рисунки №1, №4 и №5)

Укажите рисунки, на которых треугольники равны по третьему признаку равенства треугольника.

Задача №2.(ответ №1)

Луч AD - биссектриса угла ВАС. На сторонах угла отложены равные отрезки АВ и АС. Тогда треугольники ADC и ADB равны:

1. По двум сторонам и углу между ними

2. По стороне и прилежащим к ней углам

3. По трем сторонам

4. Определить невозможно

Задача №3. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный

Решение: Из равенства треугольников ADE и CDE (по двум сторонам и углу между ними) имеем, что AE=EC, углы при вершине Е равны и так как они смежные, то каждый равен . Значит, ВЕ является медианой и высотой, проведенной к основанию АС треугольника АВС, а значит треугольник АВС равнобедренный с основанием АС.

Задача №4. (ответ 8 см)

По разные стороны от прямой АС отмечены точки В и D так, что получились пары равных углов: ВАС и DAC, ВСА и DСА. АВ=5 см, ВС=8см. Найдите длину CD.

Решение: Доказать равенство получившихся треугольников по стороне и двум прилежащим углам, из равенства следует равенство всех соответствующих элементов и значит ВС=CD=8 см.

Задача №5.  (ответ 9 см)

На стороне АС как на основании по разные стороны от нее построены два равнобедренных треугольника АВС и АМС. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. Найдите длину отрезка АК, если периметр  АВС=40 см, а его боковая сторона на 7 см меньше основания

Решение: Треугольники АВМ и СВМ равны по трем сторонам. Из равенства следует, что углы при вершине В в треугольниках равны, а значит ВМ – биссектриса угла В. Так как треугольник АВС равнобедренный, то ВК - медиана.

Пусть х см – сторона ВС (АВ)

Тогда (х+7) см – основание АС

Периметр треугольника (х+х+х+7) см, что по условию равно 40 см.

Решаем уравнение, х=11 (см), АС=7+11=18 (см). Так как ВК – медиана по доказанному выше, то АК=ВК=9 (см)

Задача №6. (ответ )

Внутри треугольника АВС взята точка О, причем , АО=ОС,. Чему равен 

Решение: Треугольники АОВ и СОВ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит углы СВО и АВО равны как соответствующие. Значит, угол СВО равен 

Задача №7. (ответ 16 см)

На окружности с центром в точке О лежат точки А, В и С, так что хорда АВ= 7 см, а хорда ВС=8 см. Периметр треугольника АОВ равен 19 см. Найдите периметр треугольника ВОС.

Решение: Треугольник АОВ – равнобедренный, стороны АО и ВО равны как радиусы. Так как периметр треугольника равен 19 см, то АО=ВО=(19-7):2=4 (см). Периметр треугольника ВОС равен: 4+4+8=16 (см).

Задача №8. (ответ №4)

Медиана треугольника – это отрезок, который:

1. Делит противолежащую сторону пополам

2. Соединяет вершину треугольника с противолежащей стороной

3. Соединяет середину стороны треугольника и его вершину

4. Соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны

Задача №9. (ответ №2)

В равнобедренном треугольнике

1. Каждая его медиана является биссектрисой и высотой

2. Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой

3. Угол при вершине может быть только острым

4. Боковая сторона не может быть меньше основания

Задача №10. (ответ №2, №3, №4)

Укажите неверные утверждения.

В равнобедренном треугольнике:

1. Углы при основании равны

2. Любая из его медиан является высотой и биссектрисой

3. Угол при основании может быть острым, тупым или прямым.

4. Биссектриса является медианой и высотой

Задача №11 

. Доказать, что BD=CD

Решение: Треугольники АВЕ и САЕ равны по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует, что ЕВ=ЕС. Значит треугольник СЕВ – равнобедренный. Углы ВЕD и СED равны как смежные равным углам АЕВ и АЕС. Значит ED – биссектриса угла Е равнобедренного треугольника АВС, а значит и медиана. Т.е. BD=CD.

Задача №12.

В АВ=СВ, 

Докажи, что 

Решение:  Треугольники АВК и СВР равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СВ – по условию, угол 1 равен углу 2 - по условию, угол А равен углу В - как углы при основании равнобедренного треугольника АВС).

Из равенства треугольников следует, что углы АКВ и СРВ равны.

Значит , как смежные равным углам АКВ и СРВ.

3. Итог урока.

Подводятся итоги урока, подсчитывается количество баллов. Учащиеся, участвующие в решении задач, получают оценки.

Рефлексия: (учащиеся отвечают на вопросы)

Своей работой на уроке я…

Было трудно…

Мне надо повторить материал…

Могу похвалить своих одноклассников…

Материал урока был мне…

4. Домашнее задание: готовиться к контрольной работе, использовать вопросы задачи урока.

5. Использованная литература.

1. Геометрия 7 класс. Тематические тесты. Т.М.Мищенко и др.

2. Геометрия 7-9 класс. Задачи и упражнения на готовых чертежах, Е.М.Рабинович.

3. Геометрия 7 класс. Контрольно-измерительные материалы, Н.Ф.Гаврилова.

4. Геометрия 7 класс. Подсказки на каждый день, О.Ю.Едуш.