Курс математики средней школы содержит несколько разделов. В каждом из них предложена к решению определенная совокупность задач. В методической литературе разработаны обобщенные приёмы деятельности по решению задач, в частности, по математике. В качестве примера приведем обобщенный прием решения задач по математике:
- чтение условия задачи;
- объяснение непонятных терминов и восстановление в памяти соответствующих понятий;
- предварительный анализ содержания задачи с целью выяснения её математической сущности;
- краткая запись условия задачи;
- установление системы единиц;
- установление математических зависимостей и составление соответствующих уравнений или построение чертежа или графика;
- нахождение численного значения величин, определяющих искомую величину или получение общей формулы, с последующей подстановкой значения величин, входящих в формулу;
- оценка разумности и достоверности полученного результата;
- разбор возможных других путей решения.
Содержание школьного курса математики состоит из двух частей. Первая - теоретический материал, включающий в себя понятия и определения, математические факты и теоремы, методы доказательства утверждений и решения задач. Вторая часть представляет собой задачи, соответствующие теоретическому материалу учебного курса.
Успех обучения математике в определенной мере зависит от того, какие задачи, в какой последовательности и в каком количестве даются учащимся для работы на уроке и дома.
Поэтому при организации процесса обучение учащихся решению математических задач учитель в первую очередь сталкивается с необходимостью отбора задач, их упорядочивания, анализа тех умственных действий, которые должны будут выполнить учащиеся в процессе решения задач и т.д. Это требует проведения классификации задач, которая помогла бы учителю осуществить их отбор в соответствии с поставленной дидактической целью.
В методической литературе приводятся различные варианты классификации математических задач. Каждая классификация служит решению определенной дидактической задачи, помогая в известной мере учителю и ученику ориентироваться в задачном материале.
Наиболее распространенной является классификация, в которой задачи делятся по принадлежности к учебным курсам: арифметические, алгебраические, геометрические. В свою очередь, перечисленные группы задач подразделяются на основе характера операционные действий, используемых при решении. Так, например, алгебраические задачи подразделяются ещё на:
- задачи, решаемые составлением уравнения или системы уравнений;
- задачи на доказательство;
- задачи на тождественные преобразования.
Для геометрических задач выделяют следующие подклассы:
- задачи на вычисление;
- задачи на доказательство;
- задачи на построение,
Такая классификация позволит проводить «грубую», предварительную ориентировку в задачах, но она не вводит иерархию сложности среди задач, в ней не находят отражения взаимосвязи между задачами одного класса, а потому её нельзя считать достаточно эффективным инструментом в обучении школьников. Учитель вынужден проводить дополнительный анализ задач с целью их более детального дифференцирования.
Согласно другой широко распространенной классификации, задачи делятся на стандартные и нестандартные. Стандартными считаются задачи, решаемые по известному алгоритму, по общему методу, пригодному для решения любой частной задачи из данного класса однотипных задач. Если же задача не может быть отнесена ни к одному классу алгоритмически разрешимых задач, то она считается нестандартной.
Обычно с термином «нестандартная задача» связывают особенно сложные задачи, предлагающиеся преимущественно на олимпиадах. Мы относим к «нестандартным» задачам более широкий круг задач, которые не решается непосредственным применением одного из известные алгоритмов, а, следовательно, требуют поиска решения.
Одним из важных условий успешного освоения курса геометрии является умение ученика логически мыслить: проводить доказательные рассуждения, обосновывать высказываемые положения. Вместе с тем, важное место в процессе обучения геометрии отводится интуиции учащихся, которая является производной приобретенного ранее знания и накопленного геометрического опыта. Очевидно, что, приступая к систематическому изучению курса геометрии, учащиеся не имеют достаточного геометрического опыта, и требуемые умения в большинстве своём ещё не сформированы, что вызывает значительные трудности в процессе преподавания геометрии.
Другим важным условием успешного овладения систематическим курсом геометрии является наличие хорошо развитых пространственных представлений. Умение анализировать чертеж, добывать из него информацию, умение мысленно преобразовывать чертёж - всё это повышает требования к ученику, и как следствие, порождает дополнительные трудности в преподавании геометрии.
Высокий уровень требований, предъявляемых ученику в процессе изучения систематического курса геометрии, вызывает необходимость учитывать индивидуальные особенности учащихся, что приводит к необходимости дифференцированного обучения.
Обучая решению геометрических задач, учитель сталкивается с трудностями, которые встречаются в гораздо меньшей мере при обучении решению алгебраических задач. Эти трудности связаны, в первую очередь, с природой изучаемого материала и структурой его организации.
При решении алгебраических задач (речь идёт о стандартных задачах из школьных учебников) зона поиска необходимых для решения фактов, как правило, ограничена рамками той темы, из которой берётся задача. Если же в результате некоторых преобразований получаем новую задачу, то теперь она определяет зону поисков и т.д. Например, для решения уравнения
необходимо воспользоваться формулой перехода логарифма к новому основанию. Эта формула изучается в теме «Логарифмы». Воспользовавшись этой формулой, а также свойством логарифмов с одинаковым основанием, получаем кубическое уравнение
,
правило решения которого следует искать в теме «Решение алгебраических уравнений». Таким образом, сама алгебраическая задача несёт в себе информацию о том, в каком разделе курса алгебры следует искать способы решения этой задачи. Как правило, это определённый раздел, тема, параграф.
С геометрическими задачами часто дело обстоит иначе. Порой задачи из одного раздела решаются совершенно разными способами, с привлечением разных геометрических фактов и приёмов. В задаче № 36 § 13 из учебника «Геометрия 7-11» А.В.Погорелова требуется ввести следующие формулы:
, ,
где - стороны треугольника, - его площадь, и - радиусы, соответственно, описанной и вписанной окружностей.
Для вывода первой формулы используется теорема синусов, формула площади треугольника и тождественные преобразования. Этот вывод не требует ни дополнительных построений, ни даже обращения к чертежу.
Действительно, из теоремы синусов получаем равенства. Помножив числитель и знаменатель первой части на получим
, где
Рисунок 1
Вывод второй формулы начинается с дополнительного построения. Центр вписанной окружности соединяется с вершинами треугольника. В результате данный треугольник разбивается на три треугольника, и. Если за основания в этих треугольниках взять стороны данного треугольника, то высоты в трех образовавшихся треугольниках будут равны радиусу вписанной окружности (рисунок 1).
Затем площадь данного треугольника вычисляется через сумму площадей трех треугольников, и.
.
Откуда и следует требуемое равенство.
Другой отличительной чертой геометрических задач является использование при их решении чертежа. Чертеж, с выделенными на нём данными и искомыми элементами, является овеществлённым аналогом геометрической задачи. Работа учителя по обучению решению геометрических задач должна строиться с учётом этих двух особенностей, присущих геометрическим задачам. Это означает, что для успешного обучения решению геометрических задач необходимо формировать у учащихся:
- умение извлекать из чертежа необходимую для решения задачи информацию;
- умение «находить», вспоминать необходимые для решения данной конкретной задачи знания (определения, свойства, теоремы, формулы).
Широкая зона поиска ориентировочной основы действия при решении геометрической задачи требует тщательного отбора задач и их классификацию на основе конкретных дидактических целей. Такая классификация задач и отбор их к уроку, с одной стороны, должны облегчить ученику поиск решения, а с другой, работа с такими задачами должна учить его поиску решения. Отбор задач, их классификацию не следует рассматривать как средство, позволяющее только облегчить ученику решение задач, а является средством, рационализирующим обучение решению задач.
Если дидактической целью является формирование общих умений решать геометрические задачи, то основой для классификации задач может служить, например, общий приём или идея, на которой основывается решение ряда задач. При этом важно, чтобы основа решения (приём, идея) вариативно повторялась, охватывая всё многообразие её применения. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие задачи.
Рисунок 2
Задача. Докажите, что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на его боковую сторону (рисунок 2).
Соединив точки и получаем равенство
,
из которого следует
.
Отсюда получаем требуемое равенство.
Рисунок 3
Задача. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного треугольника или на его границе, до его сторон, равна высоте треугольника (рисунок 3).
Соединяем точку с вершинами треугольника, получаем равенство
.
Выразив площади, получим
.
Из равенства сторон треугольника следует
.
Как видим, приведенные две задачи решаются с использованием обшей идеи, но некоторые различия в условиях задач и их решениях требуют от ученика, решающего вторую задачу после решения первой, переноса умений, приобретенных при решении первой, на иной, более высокий уровень.
Если дидактической целью является формирование умения работать с чертежом, то приходим к другой классификации, в основе которой лежит определенная геометрическая конфигурация, встречающаяся в ряде задач и являющаяся ключом к их решению. Выбор таких конфигураций определяется идейной направленностью курса, а также той методической системой, которая лежит в основе изучения свойств фигур.
Рассмотрим несколько задач, которые согласно данной классификации попадут в один класс. В качестве опорной конфигурации возьмём четырёхугольник, середины сторон которого являются вершинами параллелограмма.
Рисунок 4
Задача. В каком отношении делятся своей точкой пересечения отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника (рисунок 4).
Если ученик «увидит», что данные отрезки являются диагоналями параллелограмма, то задача станет устной.
Рисунок 5
Задача. Четырехугольники и расположены так, что их середины сторон совпадают. Определите площадь четырехугольника, если площадь четырехугольника равна 1 (рисунок 5).
Середины сторон данных четырехугольников и совпадают, следовательно, они имеют общий параллелограмм с вершинами в серединах сторон. Остается установить связь между площадью одного из четырехугольников и площадью параллелограмма.
Рисунок 6
Задача. Точки и высекают на окружности с центром дугу в. На дуге взята точка. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков и, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков и (рисунок 6).
Прямые, проходящие через середины отрезков и содержат диагонали параллелограмма, вершины которого лежат на серединах сторон четырехугольника. Так как угол равен, то хорда равна радиусу окружности.
Диагонали четырехугольника равны, следовательно, параллелограмм, вершины которого является серединами сторон четырехугольника является ромбом.
Как мы видим, приведенные задачи отличается условиями, порой значительно. При первом прочтении условий задач трудно признать их идейное родство. Чертежи к задачам также значительно отличаются. Ничто при первом знакомстве с этими заданиями не говорит о том, что эти задачи имеют «общий ключ» к решению – общую опорную конфигурацию. Итак, классификация геометрических задач на предложенной основе приводит к выделению классов задач, которые обладают определенной дидактической общностью. Эта общность даёт возможность рассматривать полученные классы задач, как инструмент, с помощью которого можно дифференцировать обучение решению геометрических задач. Выбирая из данного класса определенные задачи, располагая их в той или иной последовательности, снабжая их различным методическим обеспечением, мы будем получать эффективное средство, позволяющее управлять мыслительной деятельностью обучаемых.
,
, 
,
- стороны треугольника, 
- его площадь, 
и 
- радиусы, соответственно, описанной и вписанной окружностей.
и тождественные преобразования. Этот вывод не требует ни дополнительных построений, ни даже обращения к чертежу.
. Помножив числитель и знаменатель первой части на 
получим
, где 
разбивается на три треугольника 
, 
и 
. Если за основания в этих треугольниках взять стороны данного треугольника 
.
и 
получаем равенство
,
.
.
.
.
.
и 
расположены так, что их середины сторон совпадают. Определите площадь четырехугольника 
и 
высекают на окружности с центром 
дугу в 
. На дуге взята точка 
и 
, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков 
и 
(рисунок 6).
и 
содержат диагонали параллелограмма, вершины которого лежат на серединах сторон четырехугольника 
. Так как угол 
равен 
равна радиусу окружности.
