"Решение тригонометрических уравнений"

Министерство образования и науки Республики Казахстан.

Частное учреждение «Темиртауский медицинский колледж»

Рассмотрено на заседании ЦМК № Проверено Утверждаю

Протокол № ___ от «___»______20___г. Методист Зам. директора по УР

Председатель ЦМК ____________ ._______ Кызылбаева Б.К.________

«____»__________20___г.

Методическая разработка открытого урока

по предмету

«Математика»

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Специальность: Лечебное дело

Курс: I

Семестр: I

Составил: Суворова Л.В.

Преподаватель первой категории.

Темиртау 2014г

Ход и хронометраж урока.

УЭ – 0 Входной контроль.

1. Организационный момент…………………………………………… .2мин.

2. Тренинг (проверка теоретических знаний по теме: «Тригонометрические уравнения»)………………………………………………………. 8мин.

УЭ – 1 Контроль усвоения знаний. Проверка знания формул решений простейших тригонометрических уравнений.

1. Игра «Поле чудес»………………………… ………………………. .10мин.

2.Презентация афоризмов и высказываний Абая…………………… 5мин.

УЭ – 2 Решение простейших тригонометрических уравнений (тестирование)……………………… …………………….. ……………………….. 8мин.

УЭ – 3 1. Ваш помощник. Составление карточки-образца для дальнейшего изучения темы ” Тригонометрические уравнения’’ и подготовке к экзамену……………………………………………………………….. …..10мин.

2. Работа на доске…………………………………………….....................12мин.

УЭ – 4 1. Индивидуально-дифференцированная самостоятельная работа. 15мин.

2.Презентация решения нестандартных уравнений………………… 10мин.

УЭ – 5 Подведение итогов………………………………………………… 10мин.

1. Подсчет заработанных баллов и оценок.

2. Рефлексия.

3. Домашнее задание.

Ход урока.

УЭ – 0. Входной контроль.

1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности аудитории к занятию. Информация преподавателя о порядке ведения занятия . Слайды 1-2 .Объявление темы занятия, цели занятия. Слайд 3 Актуализация темы. Великий физик, математик и политик А.Эйнштейн заметил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Сегодня на занятии мы повторим, приведем в систему наши знания по решению тригонометрических уравнений. И ваша задача – показать свои знания и умения по их решению.

Эпиграф нашего занятия: Слайд 4 «Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса» (Сухомлинский)

Работаем вместе, работаем устно

2. Тренинг.

Цель: проверить теоретические знания по теме “ тригонометрические уравнения”

Вопросы для студентов	Предполагаемые ответы
Какие уравнения называются тригонометрическими?	Уравнения, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?	Уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Что значит решить тригонометрическое уравнение?	Решить тригонометрическое уравнение это значит – найти множество углов удовлетворяющих данному уравнению или убедиться, что корней нет.
Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?	Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.
В уравнениях sin x = a и cos x = a оцените число а.	Если ‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌/а/ › 1, то корней нет. Если /а/ ≤ 1, то имеет корни.
Как решаются простейшие тригонометрические уравнения?	Для решения простейших тригонометрических уравнений используется тригонометрический круг либо применяем формулы нахождения корней.
По какой формуле находятся корни уравнения sin x = a.	Корни уравнения sin x = a находятся по формуле x = (-1)k arcsin a + πk, k є Z.
По какой формуле находятся корни уравнения cos x = a.	Корни уравнения cos x = a находятся по формуле x = ± arcсos a +2 πn, n є Z
По какой формуле находятся корни уравнения tg x = a.	Корни уравнения tg x = a находятся по формуле x = arctg a + πn, n є Z
По какой формуле находятся корни уравнения ctg x = a.	Корни уравнения ctg x = a, находятся по формуле x = arcctg a + πn, n є Z
Как называются уравнения вида a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos 2 x + b cos x + c = 0 a tg 2 x + b tg x + c = 0 a ctg 2 x + b ctg x + c = 0	Уравнения такого вида называются квадратными относительно тригонометрических функций.
Как называются уравнения вида a sin 2 x + b cos x + c = 0 a cos 2 x + b sin x + c = 0	Уравнения такого вида называются сводящимися к квадратным.
Как называются уравнения вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 = 0	Это тригонометрическое уравнение называется однородным 2 степени.

УЭ – 1. Контроль усвоения знаний. Проверка знания формул решений простейших тригонометрических уравнений.

Цель: Проверить знание формул решений простейших тригонометрических уравнений.

1. Проверка домашнего задания. Игра «Поле чудес».

Правила игры:

• Преподаватель берет понравившееся ему высказывание. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.

• Каждому студенту преподаватель дает карточку с номером задания из приложения № 1.

• На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.

• Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).

• Студент, выполнивший задание, находит в таблице свой ответ и номер своей карточки.

• Преподаватель под числом (номер названной студентом карточки) ставит эту букву. И так далее, пока не будет заполнена вся таблица (А) и не будет прочитано высказывание.

Д	Е	Л	О	Л	А	Д	И	Т	С	Я	У	М	Е	Н	И	Е	М	А	Б	А	Й
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22

№ карточки	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22

Пояснение преподавателя:

Решить то уравнение, номер которого указан на вашей карточке, найти ваш ответ в приложении1. и назвать преподавателю номер своей карточки и букву.

Взять карточку учета знаний и поставить за правильный ответ 1 балл

2. Презентация афоризмов и высказываний Абая

УЭ – 2. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Цель: Закрепить знания решений простейших тригонометрических уравнений, тестирование

( приложение № 2). Найдя правильный ответ, записать только соответствующую букву.

Слайд с правильными ответами:

1 – вариант (1) В.; 2) В; 3) В; 4) А; 5) Е) 2 – вариант (1) В; 2) С; 3) Д; 4) В; 5) В)

После проверки на экране не забудьте поставить в лист учета знаний количество набранных баллов (каждый правильный ответ – 1 балл)

УЭ – 3.

1. Ваш помощник. Составление карточки-образца для дальнейшего изучения темы” Тригонометрические уравнения” и подготовке к экзамену.

Цель: закрепить знания решени тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным и составить карточку – образец по этой теме для подготовки к экзамену.

На экране слайд с таблицей (Приложение № 3).

Преподаватель предлагает студентам определить тип каждого из уравнений и рассказать алгоритм решения каждого из них. По ходу рассказа на экране появляется решение каждого из уравнений.

Преподаватель предлагает просмотреть ход решений уравнений и оставить эту карточку для дальнейшей учебы.

Предполагаемые ответы (алгоритм решения каждого из предложенных уравнений):

1 тригонометрическое уравнение, квадратное относительно тригонометрической функции.

• Вводим замену (ВЗ)

• Решаем полученное алгебраическое квадратное уравнение.

• Возвращаемся в замену (ВВЗ).

• Решаем полученные простейшие тригонометрические уравнения.

• Записываем ответ.

2 тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному.

• Из формулы тригонометрической единицы выразим ту функцию, которая в данном уравнении во 2 степени и поставим полученное выражение в уравнение.

• Раскрываем скобки.

• Расставляем все по своим местам, т.е. в порядке понижения степени.

• Т.К. коэффициент при наивысшей степени отрицательный, то умножаем обе части на (-1).

• Решаем полученное тригонометрическое уравнение квадратное относительно тригонометрической функции.

• Вводим замену.

• Решаем полученное алгебраическое уравнение.

• Возвращаемся в замену и решаем 2 простейших тригонометрических уравнения.

• Записываем ответ.

3 уравнение, содержащее только sin и cos, причем каждое слагаемое одинаковой степени и правая часть равна нулю, называется однородным относительно sin и cos. Следовательно, это уравнение однородное относительно sin и cos 2 степени. И решается делением каждого слагаемого на наивысшую степень входящего cos.

• Делим каждое слагаемое на наивысшую степень cos, т.е. на cos² x.

• Получаем тригонометрическое уравнение квадратное относительно tg.

• Вводим замену, получаем квадратное алгебраическое уравнение и решаем его.

• Возвращаемся в замену и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

• Записываем ответ.

4 уравнение, которое отличается от однородного только входящим числом называется неоднородным и сводится к однородному умножением этого числа на тригонометрическую единицу. Умножаем число на sin²x + cos²x.

• Раскрываем скобки, переносим все слагаемые в одну сторону и приводим подобные.

• Полученное однородное уравнение делением каждого слагаемое на cos²x сводим к тригонометрическому уравнению, квадратному, относительно tg.

• Вводим замену.

• Решаем полученное алгебраическое уравнение.

• Возвращаемся в замену и решаем 2 простейших тригонометрических уравнения.

• Записываем ответ.

2. Работа на доске.

Цель: Закрепить знания по решению стандартных тригонометрических уравнений

К доске вызываются два студента.

1. 3 sin² х+ 4 cos²x = 13 sin Х cos x

2. 2 sin² 4x + 5 cos 4x – 4 = 0

Все студенты решают уравнения в тетрадях .За правильное решение получают 2 балла.

УЭ – 4. Индивидуально – дифференцированная самостоятельная работа.

Цель: проверить усвоение студентами знаний по решению стандартных тригонометрических уравнений.

1. Указание: определить тип каждого уравнения в Приложении № 4 и решить их.(15мин.)

Слайд с правильным решением на экране. Поставьте набранные баллы в листе учета знаний.

Целью дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

2. Презентация решений нестандартных уравнений подготовленных студентами:

1. tg x – ctg x = 3

2. 6 sin²x = 4 – sin 2x

3. Cos²x+4sin²x=2sin2x

4 6 cos²x + 5 cos ( π - x) = 7

2

УЭ – 5. Подведение итогов.

Слайд на экране

1. Подсчитайте количество заработанных баллов:

Если вы набрали 13-15 и выше баллов, то ваша оценка за урок «5».

Если вы набрали 10-12 баллов, то ваша оценка за урок «4»

Если вы набрали 8-9 баллов, то ваша оценка за урок «3»

Если вы набрали меньше баллов, то вам надо проконсультироваться с преподавателем и сдать самостоятельные работы, они оцениваются отдельно.

1. Рефлексия Приложение5.

   1. Прочитайте еще раз требования к уровню подготовки и ответьте на вопрос:

   2. Достигли ли вы цели урока? В какой степени?

   3. Оцените свое самочувствие на уроке, поставив какой – либо значок на графике функции у = sin x, изображенном в приложении5. Где вы себя ощущаете: на гребне волны синусоиды или во впадине?

2. Домашнее задание.

Индивидуально – дифференцированное, причем каждому студенту есть возможность “продвинуться”, те кто решал на «3» - дома будет решать на «4», кто решал на «4» - дома будет решать на «5», тот кто решал на «5» - будет решать на «5/5».

Предлагаю закончить урок словами Я. А. Каменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Спасибо за урок!!!

Студент ______________________________________________ группа____________________

УЭ - 0	УЭ - 1	УЭ - 2	УЭ - 3	УЭ - 4	Всего

Игра “Поле чудеc “ ‘’

А

Б

Д

Е

И

Й

Л

М

Н

О

С

Т

У

Я

π + 2 πn, 2 arctg 2 + πn, Пn/5

πn 7

π + 2πn πn,

2πn, πn, 3 arcCtg a + πn

π + πn, 4 ± arcos a + 2 πn,

аrcСtg 10 + πn

π + πn 2 π + πn 4

π + πn, 8 2 π + πn, 8 4

(-1)k arcsin a + πk

π + πn, 4 2

- π + 2πn 2

3 π + πn 4

πn, 3

аrctg a + πn,

	Sin x = 0	X = πn	Д		tg 3 x = 0	X = πn, 3	У
	Cos x = 1	X = 2Пn	Е		tg 2 x = 1	X = π + πn 8 2	М
	tg x = 1	X = π + πn 4	Л		Ctg x = a	X = arcCtg a + πn	Е
	Ctg 2x = 0	X = π + πn 4 2	О		Sin x = a	(-1)k arcsin a + πk	Н
	Cos x = 0	X = π + πn 2	Л		Cos x = a	X =± arccos a + 2 πn	И
	Sin x = 1	X = π + 2πn 2	А		Sin 3x = 0	X = πn, 3	Е
	Cos x = - 1	X = π + 2πn	Д		Cos 4x = 0	X = π + πn, 8 4	М
	tg x = 1	X = π + πn 4	И		Sin 5x = 0	X = πn, 5	А
	Ctg x = -1	X = 3 π + πn 4	Т		Sin 7x = 0	X = πn, 7	Б
	Sin x = -1	X = - π + 2πn 2	С		Tg x = 2	X = arctg 2 + πn	А
	tg x = a	X = arctg a + πn	Я		Ctg x = 10	X = arcCtg 10 + πn	Й

Приложение 1.

А

Б

Д

Е

И

Й

Л

М

Н

О

С

Т

У

Я

π + 2 πn, 2 Пn 5 arctg2+Пn

πn 7

π + 2πn πn,

2πn, πn, 3 аrctg a + πn

π + πn, 4 ± arcos a + 2 πn,

аrcСtg 10 + πn

π + πn 2 π + πn 4

π + πn, 8 2 π + πn, 8 4

(-1)k arcsin a + πk

π + πn, 4 2

- π + 2πn 2

3 π + πn 4

π πn, 3

аrctg a + πn,

	Sin x = 0		tg 3 x = 0
	Cos x = 1		tg 2 x = 1
	tg x = 1		Ctg x = a
	Ctg 2x = 0		Sin x = a
	Cos x = 0		Cos x = a
	Sin x = 1		Sin 3x = 0
	Cos x = - 1		Cos 4x = 0
	tg x = 1		Sin 5x = 0
	Ctg x = -1		Sin 7x = 0
	Sin x = -1		tg x = 2
	tg x = a		Ctg x = 10

I - вариант		II - вариант
1.	Sin 5x = 0	1.	Cos 2x = 0
a)	X = πn, n є Z	a)	X = π + πn 2
b)	X = πn, 5	b)	X = π + πn, 4 2
c)	X = π + πn 2	c)	X = πn, 2
d)	X = π + 2πn 6	d)	X = 4πn
e)	X = 2πn, 5	e)	X = π + 2πn
2.	Cos 3x = 1	2.	Sin 6x = -1
a)	X = π + πn 2	a)	X = π + πn 4
b)	X = 2πn, 3	b)	X = - π + 2πn 2
c)	X = πn 3	c)	X = - π + πn, 12 3
d)	X = π + πn, 8 2	d)	X = π + πn 12
e)	X = πn 2	e)	X = π + 2πn 12
3.	tg 4x = 1	3.	Cos 2x = -1
a)	X = π + πn 4	a)	X = π + π n 2
b)	X = π + πn, 16 4	b)	X = π + πn
c)	X = π + πn, 8 2	c)	X = πn
d)	X = πn	d)	X = π + πn 2
e)	X = πn, 2	e)	X = π + 2πn
4.	Ctg 2x = √ 3	4.	tg 2x = -1
a)	X = π + πn, 12 2	a)	X = - π + πn 4
b)	X = π + 2πn 2	b)	X = - π + πn, 8 2
c)	X = π + 2πn, 14 7	c)	X = πn
d)	X = 7πn	d)	X = π + πn 4
e)	X = (-1)n π + πn, 42 7	e)	X = πn, 2
5.	Sin 7x = 1 2	5.	Ctg 3x = √ 3
a)	X = πn	a)	X = π + πn 6
b)	X = π + 2πn 2	b)	X = π + πn, 18 3
c)	X = π + 2πn 3	c)	X = π + 2πn 3
d)	X = 2πn	d)	X = π + πn 3
e)	X = (-1)n π + πn, 42 7	e)	X = π + 2πn, 18 3

Тесты по теме:Простейшие тригонометрические уравнения Приложение № 2.

Карточка-образец для подготовки к экзаменам Приложение № 3.

Тригонометрическое уравнение квадратное относительно тригонометрической функции.	Тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному.	Однородное уравнение.	Неоднородное уравнение.
Sin2x – 4 sin x + 3 = 0 ВЗ: sin x = y Y2 – 4 y + 3 = 0 D = b2 – 4 ac D = (-4)2 – 4*3*1 = 16 - 12 = 4 Y1.2 = - b ± √ b2 – 4 ac 2a Y1.2 = 4 ± 2 2 Y 1 = 3 ; Y2 = 1 Ввз: Sin x ≠ 3 sin x = 1 т.к. |sin x| ≤ 1 X = π + 2πn 2 Ответ: X = π + 2πn 2	2 cos2x – 5 sin x + 1 = 0 [т.к. sin2 x + cos 2 x = 1 = cos2 x = 1 – sin2x ] 2 (1- sin2x) – 5 sin x + 1 = 0 2 – 2sin2x – 5 sin x + 1 = 0 - 2 sin2 x – 5 sin x + 3 = 0 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0 ВЗ: sin x = y 2 y2 + 5 y – 3 = 0 D = b2 – 4 ac D = 25+24 = 49 Y1.2 = - b ± √ D 2a Y1.2 = - 5 ± √ 7 2×2 Ввз: Sin x ≠ - 3 sin x = 1 2 т.к. |sin x| ≤ 1 x = (-1)k arcsin 1 + πk 2 x = (-1)k Π + πk 6 Ответ: x = (-1)k Π + πk 6	2 sin2 x – 3 sin x cos x + cos2x = 0 2 sin2 x – 3 sin x cos x + cos2x = 0 cos2x cos2x cos2x 2 tg2 x – 3 tg x + 1 = 0 ВЗ: tg x = y 2 y2 – 3 y + 1 = 0 т.к. a + b + с = 0 = Y1 = 1 Y2 = с = 1 a 2 Ввз: tg x = 1 tg x = 1 2 X = π + πn X=arctg1+Пn 4 2 Ответ: X = π + πn, 4 . Х= arctg 1 + πn, n є Z 2	2 sin2x – 3 sin x cos x + 4 cos2x = 4 2 sin2x – 3 sin x cos x + 4 cos2x = 4 (sin2x + cos2x) 2 sin2x – 3 sin x cos x + 4 cos2x - 4 sin2x - 4 cos2x = 0 -2 sin2x – 3 sin x cos x = 0 cos2x cos2x - 2 tg2 x – 3 tg x = 0 2 tg2 x + 3 tg x = 0 ВЗ: tg x = y 2 y2 + 3 y = 0 y (2y + 3) = 0 Y1 = 0 2y + 3 = 0 2y = -3 y = - 3 2 Ввз: tg x = 0 tg x = - 3 2 X = πn X = -arctg 3 + πn, 2 Ответ: X = πn X = arctg 3 + πn, 2

Индивидуально-дифференцированная работа Слайд к приложению № 4.

Каждое уравнение по 2 балла: 1) sin x = √3 -

2

2) cos²x – 9 cos x + 8 = 0

Каждое уравнение по 3 балла: 1) 4 sin²x – 3 cos x – 3 = 0

2) 3 sin2x + sin x cos x – 2 cos2x = 0

Каждое уравнение по 4 балла: 1) 2 cos²x + 3 sin x = 0

2) 3 sin2x + 2 sin x cos x = 0

.

Приложение № 5. Сегодня на занятии мы повторили, привели в систему наши знания по решению тригонометрических уравнений. Ваша задача была – показать свои знания и умения по их решению

1. Ответьте на вопрос:

2. Достигли ли вы цели урока? В какой степени?

1. Вопрос к группе: Оцените свое самочувствие на уроке, поставив какой – либо значок на графике функции у = sin x, изображенной на доске. Где вы себя ощущаете: на гребне волны синусоиды или во впадине?

у = sin x

Предлагаю закончить урок словами Я. А. Каменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Спасибо за урок!!!

Презентация решения нестандартных тригонометрических уравнений слайд

1 уравнение) tg x – 4c t g x = 3

tg² x – 3 tg x – 4 = 0

Вз: Ввз:

tg x = y tg x = - 1 tg x = 4

y² – 3 y – 4 = 0 x = - π + πn x = arctg 4 + πn

4

т.к. a + с = b =

Y₁ = - 1 y₂ = - с = 4

a

2 уравнение) 6 cos2 x + 5 sin x – 7 = 0 – сводящееся к квадратному

6 (1- sin² x) + 5 sin – 7 = 0

6 – 6 sin² x + 5 sin x – 7 = 0

- 6 sin² x + 5 sin x – 1 = 0

6 sin² x – 5 sin x + 1 = 0

Вз: Ввз:

Sin x = y

6 y² – 5 y + 1 = 0 sin x = 1 sin x = 1

2 3

D = b² – 4 ac x = (-1)^k× arcsin 1 + πk

2

D = 25-24 = 1 x = (-1)ⁿ× π + πn x = (-1)ⁿ× arcsin 1 +

6 3

Y_1.2 = 5 ± 1 = 1 : 1 +пn

12 2 3

3 уравнение) cos2x + 4 sin2 x = 2 sin 2 x

cos²x - 4 sin cos x + 4 sin²x = 0 – однородное уравнение

cos² cos²x cos²

4 tg²x - 4 tg x + 1 = 0

Вз: Ввз:

tg x = y

4 y² – 4 y + 1 = 0 tg x = 1

2

D = b² – 4 ac

D = 16-16 = 0 x = arctg 1 + πn, n є Z

2

Y_1.2 = - b ± √D

2a

Y_1.2 = 4 ± 0 = 1

1. 8 2

4 уравнение) 6 sin2x = 4 – sin 2x

6 sin²x + 2 sin x × cos x – 4 = 0 – неоднородное уравнение

6 sin²x + 2 sin x cos x – 4 (sin² x + cos²x) = 0

2 sin²x + 2 sin cos x - 4cos²x = 0 - однородное

cos²x cos²x cos²x

2tg²x + 2 tg x – 4 = 0

tg²x + tg x – 2 = 0

Вз: tgx=y Ввз:

y² + y – 2 = 0

т.к. a + в + с = 0 tg x = 1 tg x = - 2

y₁ = 1 y₂ = с = - 2 x = π + πn x = - arctg 2 + πn, n є Z

a 4