«Методы решения тригонометрических уравнений».

Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений.

Цели урока:

1.Систематизировать и углубить знания, умения учащихся применять           

различные способы решения тригонометрических уравнений.

2.Содействовать развитию математического мышления учащихся.

3.Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Оборудование : интерактивная доска, справочный материал.

  Ход урока.

  I.Организационный момент. Вводная беседа.

Вы умеете решать простейшие тригонометрические уравнения, на этом уроке научимся решать более сложные тригонометрические уравнения. Сегодня мы поговорим о некоторых методах решения тригонометрических уравнений. Знаем, что правильно выбранный метод позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

  II. Актуализация опорных знаний учащихся.

  Задание 1. Соедините линиями соответствующие данным тригонометрическим

  функциям, область определения, область значения, условия монотонности,

  график. Слайд №1

  Задание 2. Заполните пропуски. Слайд №2.

  Задание 3. Напишите решения уравнений. Слайд №3.

  Задание 4. Частные случаи. Слайд №4.

  III. Изучение нового материала.

  Классификация тригонометрических уравнений по методам решения:

Слайд № 5.

№

Уравнение

Метод решения

1

2

а)

б)

Подстановка cosx = t.

Квадратное уравнение.

Замена cos²x = 1 - sin²x

Подстановка sinx = t.

Квадратное уравнение.

3

4

5

Разложение на множители.

Вынесение общего множителя за скобки.

6

7

Введение вспомогательного угла.

Пример 1 а). Решить уравнение:.

Решение. Введем новое неизвестное cosx = t, тогда 2t² + 3t + 1 = 0. Уравнение имеет два корня  и  Следовательно,  и . Решая каждое из этих уравнений, находим: 

Ответ:  

Пример 2. Решить уравнение:.

Решение. Применяя основное тригонометрическое тождество  перепишем уравнение в виде . Введем новое неизвестное

  тогда уравнение имеет корни  и , поэтому   и   не имеет решения, решения первого уравнения состоят из двух серий: .

Ответ: .   

Пример 5. Решить уравнение:.

Решение.   

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:.

Пример 6. Решить уравнение:.

Введение метода вспомогательного угла. Слайд №6.

Решение. Разделив обе части уравнения на число, перепишем его в виде .  Так как     и  ,  то .

Все решения уравнения задаются формулами    откуда 

Ответ:

IY. Закрепление нового материала.

Пример 1 б) Решить уравнение:

Решение. Введем новое неизвестное sinx = t,, тогда  ,    и   Поэтому   не имеет решения,  а , имеет две серии решений:   и .

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение: 

Решение. Применив формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение в виде, откуда следует

,

Ответ:.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Применив формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение в виде . Применив основное тригонометрическое тождество, перепишем это уравнение в виде . Значит уравнение имеет две серии решений: 

Ответ: .

Пример 7.

Решение. Разделив обе части уравнения на число, перепишем его в виде .  Так как     и  ,  то .

Все решения уравнения задаются формулами    откуда 

Ответ:

Y. Дифференцированная самостоятельная работа. Слайд №7.

   Группа А.                                 Группа Б.                            Группа В.                                     

На слайде приготовлены решения этих уравнений, после выполнения заданий учащиеся сами проверяют свои работы, исправляют ошибки.

YI.  Подведение итогов урока.

Вопросы:

? Что это за уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

? Какие методы решения тригонометрических уравнений мы узнали на этом уроке?

 Мы рассмотрели некоторые методы решения тригонометрических уравнений, которые являются ключевыми при решении многих уравнений.

Задание на дом:                      

Дополнительно: