ИКТ для повторения формул основных тригонометрических тождеств и решения простейших тригонометрических уравнений.
Дидактические тетради.
Учебник Колмагорова “Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.
Эпиграф к уроку:
Знание — сокровищница, но ключ к ней — практика!
Фуллер Томас
Ход урока:
Оргмомент
Опрос по домашней работе.
Устно:Найдите значение:
А) arcsin 1/2
Б) arccos √3/2
В) arcsin (-√2/2)
Г) arccos 1/2
Д) arctg 1
Вспомним основные тригонометрические тождества: Заполните пустые клеточки, восстановив формулу на доске:
1) sin2 x +cos 2 x=1
2) sin 2 x = 1- cos2 x
3) ctg x * tg x = 1
4) ctg x = 1/ tg x
5) tg x = sin x / cos x
6) ctg x = cos x / sin x
7) arcsin (-x)= - arcsin x
8) arccos (-x) = П – arccos x
Молодцы ребята!
Чтобы перейти к новой теме нам нужно вспомнить, какие виды уравнений мы уже умеем решать:
7х + 1=0 5х=1
х2 =0
3х2- х=0
4х2+1=0
2х2 - 6х + 1=0
Вспомним, как решаются полные квадратные уравнения:
ах2 + вх + с = 0, где а, в и с - числа
D = в2 - 4ас
D
D=0
D0
Нет решений
х = - в / 2а
х1, 2 = ( - в ± √D) / 2а
Новая тема:
Сегодня мы научимся решать тригонометрические уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям, методом введения новой переменной.
Итак, рассмотрим уравнение
а) 2cos2x+cosx-1=0
сведем это уравнение к квадратному уравнению, введя новую переменную
пусть cosx=t, тогда получим
2t2+t-1=0
D=9,
t1=1/2, t2=-1
перейдем к первоначальной переменной
cosx = ½, cosx=-1
х= П/3+2Пn, n х= П+2Пn, n
Рассмотрим случай, когда в тригонометрическом уравнении присутствуют две тригонометрические функции и cosх во второй степени и sinх, и одна из них имеет степень=2.
б) 6cos2x+5sinx=2
Перенесем 2 в левую часть, поменяв знак.
Ту функцию, которая задана в квадрате, заменим по основному тригонометрическому тождеству cos2x=1- sin2x, получим
6(1- sin2x) +5sinx-2=0 раскроем скобки
6-6 sin2x +5sinx-2=0 приведем подобные
-6 sin2x +5sinx+4=0
введем новую переменную, пусть t= sinx, тогда
-6t2+5t+4=0 /:(-1)
6t2-5t-4=0
D=121
t1=1, t2= -
вернемся к первоначальной переменной
sinx =1 sinx= -
нет решений, х=(-1)к arcsin(-)+Пк, к
т.к. -1sinx к+1 arcsin+Пк, к
х=(-1)к+1 +Пк, к
Есть вопросы?
Давайте вместе сформулируем алгоритм решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям, методом ввода новой переменной:
Привести уравнение к квадратному уравнению, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.
Ввести новую переменную.
Записать данное уравнение, используя эту переменную.
Найти корни полученного квадратного уравнения.
Перейти от новой переменной к первоначальной.
Решить простейшие тригонометрические уравнения.
Записать ответ.
К доске идут 1 студент решать №164 (а), 2 студент решает №164 (б)
Остальные работают в тетрадях, запишем число, тему урока «Решение тригонометрических уравнений»
За ответ у доски получают оценки:
1 студент-
2 студент-
А в оставшееся время выполним самостоятельную работу, и каждый решит то уравнение, которое сможет.
Самостоятельная работа:
I вариант
II вариант
Решите уравнение: на оценку «3»
cos2x-1=0
sin2x-1=0
Решите уравнение: на оценку «4»
sin2x-4sinx-5=0
cos2x-5 cosx-6=0
Решите уравнение: на оценку «5»
sin2x+2 cosx=-2
cos2x+3 sinx=3
Поставьте себе оценку за самостоятельную работу, проверив ответ:
I вариант
II вариант
Ответ к уравнению: на оценку «3»
х1=2Пn, n € Z
х2=П+2Пn, n € Z
х1=П/2+2Пn, n € Z
x2= -П/2+2Пn, n € Z
Ответ к уравнению: на оценку «4»
x= -П/2+2Пn, n € Z
х=П+2Пn, n € Z
Ответ к уравнению: на оценку «5»
х=П+2Пn, n € Z
х=П/2+2Пn, n € Z
Домашняя работа.
Закончить №164, 165
Рефлексия:
Что хорошо получилось, что не получилось?
Как вы оцениваете свою работу на уроке (поняли все, поняли частично, ничего не поняли)?
Релаксация.
После выполнения самостоятельной работы можно расслабить глаза, посмотрев картинки 3-D.
П/3+2Пn, n
х= П+2Пn, n
, t2= -
+Пк, к
