Решение задач на четность и нечетность.

Задача 1. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

Решение.

Из 17 натуральных чисел 8 четных:

2,4,6,8,10,12,14,16, остальные 9 нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна (свойство 3), сумма нечетных нечетна (свойство 5). Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел (свойство 4).

Ответ: нечетна.

Задача 2. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Решение.

Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1 a2 a3 а4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1 b2 b3 b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам:

а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут.

Задача 3. Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10), где числа a, b, с — целые?

Решение. Можно перебирать случаи, связанные с четностью или нечетностью чисел а, b и с (8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:

(7а + b - 2с + 1) + (За -5 b + 4с+ 10) = 10а - 4 b + 2с + 11.

Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного

произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.

Ответ: четно.

Задача 4. Щенок Антошка нацарапал  на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя  переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?

Решение.

Если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной, а, следовательно, и данная сумма — тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Филя.

Ответ: верно.

А теперь основные идеи четности: (!) Все эти идеи можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи.

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот !)

2'. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии - четное число, если исходное и конечное состояния совпадают - то нечетное. 

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3'. Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным. 

4. Если  любые предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

1. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки  
   перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение? 
   Решение.
    Допустим, что произведение нечетно. Для этого все 7 множителей должны 
   быть нечетными. Но тогда у четырех карточек, у которых на одной стороне  
   написаны нечетные числа 1, 3, 5 и 7, на другой стороне должны быть числа четные. Однако четных чисел здесь только три. 
   Следовательно, этот случай невозможен. 
   Ответ: четно.

2. Сережа написал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Коля  переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из мальчиков ошибся при подсчете? 
   Решение.
    Если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной 
   (проверьте!), а, следовательно, и данная сумма — тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Коля. 
   Ответ: верно.

3. Спонсор решил устроить телефонизацию деревни Курочкино. Он хочет 7 имеющихся телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Можно ли это сделать? 
   Решение. 
   При решении этой задачи используется такое соображение - если мы рассматриваем объекты типа веревки - провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т. д. - то при любом количестве объектов число концов должно быть четным. 
   Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7•3 = 21 конец, число нечетное, значит нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.

4. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
   Решение: 
   Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

1. В ряд выписаны числа от 1 до 22. Можно ли между ними расставить знаки “+” и “−” так, чтобы в результате получился 0? Решение: Среди чисел 1,2,3,...,22 всего 11 четных и 11 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как 0 – четное число, то так расставить знаки нельзя. Ответ: Нет
   
   
   

2. В ряд выписаны числа от 1 до 98. Можно ли между ними расставить знаки “+” и “−” так, чтобы в результате получилось 2? Решение: Среди чисел 1,2,3,...,98 всего 49 четных и 49 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как 2 – четное число, то так расставить знаки нельзя. Ответ: Нет
   
   
   
   

3. Можно ли разменять 1000 рублей купюрами по 5,25,125 рублей так, чтобы всего оказалось 101 купюра? (купюры в 5,25,125 рублей бывают).

Решение: Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять 1000 рублей. Ответ: Нет

1. Максим Олегович написал на доске 2016 целых чисел. Робот Крякен заметил, что сумма любых 2015 чисел четна. Четна или нечетна сумма всех чисел?

Решение: Рассмотрим набор любых 2015 чисел, так как их сумма четна, то среди них есть хотя бы одно четное число. Действительно, если бы все из этих 2015 чисел были нечетными, то и сумма всех этих 2015 чисел была бы нечетной, что противоречит условию. Итак, мы нашли четное число. Теперь рассмотрим сумму всех чисел без этого четного числа. Она тоже будет четной (по условию), так как помимо этого числа на доске ровно 2015 чисел. Посчитать сумму всех 2016 чисел – это тоже самое что к найденному нами четному числу прибавить сумму остальных 2015 чисел, а так как четное + четное = четное получаем, что сумма всех чисел четна. Ответ: Четна

9. Можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел? (Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах одинаковы).

Решение: Докажем, что этого сделать нельзя, от противного: пусть составить такую таблицу можно. Заметим, что среди первых 25 простых чисел только одно четное число – это 2. Сумма чисел в той строке в которой стоит 2 будет четной, так как всего в этой строке будет четыре нечетных числа и одно четное. Но тогда в любой строке, в которой нет 2, сумма чисел будет нечетной, так как в такой строке будут стоят пять нечетных чисел. Следовательно суммы чисел в строке с 2 и в строке без 2 не могут быть равны. Значит мы получили противоречие, а значит наше предположение неверно и составить такую таблицу нельзя. Ответ: Нет