Решение показательных уравнений

Методическая разработка
открытого урока
на тему

«Решение показательных уравнений»

по дисциплине

«Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

15.01.26 «Токарь-универсал»

Разработала преподаватель:

Дворнова Ирина Фаилевна

2019г.

Содержание

1. Пояснительная записка 5

2. План урока 7

3. Технологическая карта хода занятия 10

4. Конспект урока 14

5. Приложения 23

Пояснительная записка

Учебная дисциплина «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» является одной из основных дисциплин, предусмотренных учебным планом для обучающихся по профессии 15.01.26 «Токарь-универсал».

Методическая разработка урока теоретического обучения составлена на основании рабочей программы «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия».

Целью создания методической разработки является презентация опыта работы преподавателя по обеспечению условий для полноценной деятельности обучающихся на уроке (мотивации, созданию учебных ситуаций, рефлексии) в рамках изучения учебной дисциплины и оказании методической поддержки педагогам в проектировании комптентностно- ориентированного урока теоретического обучения.

Задачи:

• систематизировать учебный материал занятия по учебной дисциплине;

• совершенствовать структуру теоретического занятия;

• пополнять фонд дидактических материалов педагога.

Разработка представляет собой методическое сопровождение урока теоретического обучения по теме «Решение показательных уравнений», которая изучается в разделе 10 «Показательная и логарифмическая функции».

Структура методической разработки:

• план урока;

• технологическая карта;

• конспект материала урока;

• приложения.

Методическая разработка предназначается в качестве дидактического материала для преподавателей общеобразовательных дисциплин при проведении урока в учебных группах, обучающихся специальностей социально- экономического профиля.

ПЛАН УРОКА

Тема урока: Решение Показательные уравнения

Цели урока:

Образовательные:

• -повторение, обобщение, систематизация знаний об общем методе решения показательных уравнений; проверка усвоения знаний на обязательном уровне; обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний.

• Развивающие:

• Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления; развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах; развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Воспитательные:

• Способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности.

Задачи урока:

• Повторить основные понятия, правила, свойства показательных уравнений.

• Вспомнить способы решения показательных уравнений

• Уметь самостоятельно применять их в стандартных условиях, в измененных условиях и нестандартных условиях.

• Организация рефлексии

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.

Методы: информационный, проблемный, частично-поисковый.

Формы организации деятельности учащихся: индивидуальная, групповая. Межпредметные связи: экономика.

Продолжительность занятия: 45 минут.

Уровень обучающихся: 1 год обучения.

Количество обучающихся: 25 чел.

Место проведения занятия: кабинет математики

Материально-техническое и дидактическое, программное оснащение

урока: компьютер, презентация, рабочие листы. план-конспект урока, учебники, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради, оценочные листы.

Изучив тему, обучающиеся должны:

Знать:

• определение показательного уравнения;

• методы решения показательных уравнений;

• классификацию типов показательных уравнений по методу решения.

Уметь:

• решать показательные уравнения различными способами;

• применять полученные знания для решения практических задач;

• организовать свою работу внутри группы;

• анализировать полученную информацию;

• уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

Ход урока

Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности обучающихся к уроку, фиксация отсутствующих на уроке.

Эпиграфом к нашему уроку станут слова

«Уравнения — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С.Коваля

Актуализация знаний

Сегодня мы закрепим и систематизируем знания и умения, полученные на предыдущих уроках по этой теме, вспомним определения и формулы, виды и методы решения показательных уравнений. Желаю вам быть активными, внимательными и объективными!

Математика как высокая винтовая лестница, чтобы подняться к вершинам знаний, нужно пройти каждую ступеньку, от 1 до последней. Ступая на каждую ступень мы попадаем на определенное задание.

Ознакомление обучающихся с условиями оценивания их деятельности в ходе занятия

- На ваших столах лежат оценочные листы. В ходе занятия, вы будете вносить количество баллов за каждое выполненное задание, самостоятельно оценивая свои знания. Я надеюсь, что ваша оценка будет объективной.

Я предлагаю 1 ступень «Легко проверить» проверяем д/з слайд (количество выполненных заданий вносим в таблицу) само проверка каждое правильное задание 1 балл

Ӏ уровень

1. Найти х, если 5^х= .

А) 1; Б) 0; В) -1; Г) 2; Д) -2.

1. Найти корень уравнения 4^х = 64.

А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1; Д) 0.

1. Решить уравнение .

А) 0; Б) 3; В) 1; Г) -1; Д) 4.

1. При каком значении х

А) 2; Б) 0; В) -2; Г) 1; Д) -1.

1. Решить уравнение .

А) 1; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

1. Найти х, если .

А) 5; Б) 4; В) 6; Г) -4; Д) -6.

1. При каком значении х ?

А) -3; Б) 1; В) -2; Г) 2; Д) 3.

1. Решить уравнение .

А) 7; Б) 4; В) 1; Г) 5; Д) 2.

ӀӀ уровень

1. Найти х, если

А) 2; Б) 1; В) -1; Г) -2; Д) -3.

1. Указать число, которое является корнем уравнения

.

А) 3; Б) 4; В) 2; Г) -2; Д) -3.

1. Решить уравнение .

А) 3; Б) 1; В) 4 Г) -1; Д) 2.

1. При каком значении х ?

А) 3; Б) ; В) ; Г) 2; Д) 1.

1. Решить уравнение .

А) ; Б) ; В) ; Г) 0; Д) 1.

1. Найти х, если .

А) ; Б) ; В) ; Г) 4; Д) - 4.

1. Решить уравнение .

А) -1; Б) 1; В) -2; Г) 2; Д) 3.

1. Указать число, которое является корнем уравнения

.

А) 3; Б) -1; В) -2; Г) 2; Д) -3.

Таблица ответов

Номер задания Ӏ уровень	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ	В	Б	Г	В	Г	В	А	Г
Номер задания ӀӀ уровень	1	2	3	4	5	6	7	8
Ответ	Б	В	Д	Г	А	Д	Г	В

2 ступень «Опрос»

1. Какая функция называется показательной?

2. Свойства показательных функций?

3. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1) у = 2х 2) y = x2 3) у = ( )x 4) у = x 5) у = (x - 2)3 6) у = 7) у = 3-x (ответ: 1,3,6,7)

4.Выберите возрастающие функции:

1)у=4^х 6) у=(2) ^-Х

2)у=( )^Х 7)у=( ^Х

3)у=3^Х 8)у= 0,9^Х

4)у=(0,1)^Х 9) у=( ^Х

5)у=( ) ^{- Х} 10) у=( )^Х

(Ответ: 1,3,5,9)

5.Какие методы решения показательных уравнений существует?

Молодцы, те кто отвечал, оцените себя на листочках по 1 баллу за каждый ответ.

Сейчас работаем по подгруппам. 3 ступень «Горы решений»

1)Определить метод решения показательных уравнений и решить их на доске. К доске выходят студенты решать эти уравнения. Остальные решают в тетрадях.

3^х-1 -3^х + 3^х+1 = 63

7 ^2х – 6 7^х –7 = 0

Решения:

Так как 3 1, то

х² – 9х +20=0

х_{1 =} 4, х₂=5.

Ответ: х₁ = 4, х₂ = 5.

2. 3^х-1 - 3^х + 3^х+1 = 72

Выносим общий множитель за скобки:

3^х-1(
3^х
3^х = 9
3^х = 3²
х = 3
Ответ: х = 3.

3. 7 ^2х – 6 7^х –7 = 0

Введем новую переменную у=7^х

Получаем: у² –6 у – 7=0

D=64

у₁ = - 1 у₂ = 7

Переходим к замене:

7^х = -1 – не имеет решения

7^х = 7

х=1

Ответ: х=1

Рассмотрим графический способ решения (слайд 12)

4 ступень «Самостоятельная работа» (решают и передают по парте, проверяет преподаватель)

5 ступень «Разминка» (если утверждение верно хлопаем, если нет встаем)

1. 2³=8 д

2. 5⁰=5 (1)

3. 6*8=45 (48)

4. 7*8=56 д

5. 8*3=18 (24)

6. Половина 80 = 40 д

7. 25% из 100 =25

8. Модуль 30 = -30 (30)

9. Квадратный корень 3 больше 2 Н

10. Вы молодцы ? да

6 ступень «Интересно» на слайде .

Умея решать показательные уравнения вы можете применить знания для решения задач с практической направленностью

Задание. Некоторая фирма взяла кредит в банке 80 000 у.е. под 15% годовых. Сумма возврата кредита с процентами 92000 у.е. На сколько лет взят кредит в банке?

Решение. Для расчетов экономисты применяют формулу вычисления сложных процентов.

S = s·(1+p)^х,

где S – сумма возврата,

s – сумма кредита,

,

х – количество лет, на которые взят кредит.

Используя условие задачи и формулу, попытайтесь самостоятельно ответить на вопрос задачи. Кто готов ответить? Какие ответы получились у других?.. давайте сверим ваше решение с решением на доске.

90 000 = 80 000 · ( ;

90 000 = 80 000 ·( ;

( = ;

( = ; ( ; х = 1 ответ: 1 год.

7 ступень «Фантастика»

Каждому ряду предлагается столбик показательных уравнений:

Ваша задача заключается в том, чтобы расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Сможете ли вы сразу выполнить это задание?

Следовательно, сначала необходимо решить эти уравнения. Распределите уравнения между собой и решите их. Полученные результаты обсудите и расположите уравнения в порядке возрастания их корней. При расположении уравнений, не забудьте рядом в скобках указать корни уравнения. Вам на данную работу отводится 5 мин. Будьте внимательны, проверяйте друг друга. Если хотя бы одно уравнение будет решено неверно, порядок расположения уравнений будет нарушен.

Внимательно проанализируйте ход решения каждого уравнения и найдите ошибки (анализируют, выявляют ошибки, записывают на доске правильное решение). Каким способом были решены эти уравнения? (приведением к квадратному уравнению). Если вы нашли все ошибки, то вы заработали 5 баллов, если 2 - 4б, 1 - 3б, 0 - 0 баллов. Занесите свои оценки оценочные листы.

На экране представлены 3 уравнения с решениями

9^х - 26·3^х - 27 = 0; 4^х - 12·2^х + 32 = 0; 64^х – 8^х – 56 = 0

(3²)^х - 26·3^х - 27 = 0; (2²)^х - 12·2^х + 32 = 0; (8²)^х– 8^х – 56 = 0;

Замена: 3^х = у; Замена: 2^х = у; Замена: 8^х = у;

у² – 26у – 27 = 0; у² – 12у + 32 = 0; у² – у – 56 = 0;

D = 676 - 4·(-27)= D = 144 - 4·32 = D = 1 - 4·(-56) =

676 + 108 = 784 = 28²; 144 – 128 = 16 = 4²; 1 + 224 = 225 = 15².

у_1,2 = ; у_1,2 = ; у_1,2 = ;

у₁ = 27; у₂ = -1 у₁ = -8 у₂ = -4; у₁ = -7; у₂ = 8

2^х = 2^-3; 2^х = 2^-2; = -7; = 8¹;

х = -3; х = -2. х = х= 1

последняя ступень к вершине знаний на тему «решение показательных уравнений»

4)Выполнение теста по вариантам с взаимопроверкой.

1 вариант

1. Найдите корень уравнения: 27^х = -27

а) нет корней б) – 1 в) 0

1. Найдите корень уравнения: 9 ^-9+х=729

а) -6 б) 12 в) -12

3. Найдите корень уравнения: = 64

а) 6 б) 9 в) 0

4. Найти сумму корней уравнения

а) 1 б) -1 в) 9

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (5; 7) в)

2 вариант

1. Найдите корень уравнения: 125^х = -125

а) нет корней б) 3 в) 5

1. Найдите корень уравнения: 5 ^{3 - х}=125

а) -3 б) 0 в) -1

3. Найдите корень уравнения: = 49

а) - 3 б) 5 в) 1

4. Найдите сумму корней уравнения

а) – 2 б) 3 в) - 3

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (0; 1) в)

ответы к тесту:

	1	2	3	4	5
В-1	а	б	в	б	а
В-2	а	б	в	б	а

Давайте проверим ответы. Поменяйтесь тетрадями , проставьте баллы за каждое правильное по 1 баллу.

Последняя ступень была достигнута «Молодцы»

7. Рефлексия

Давайте вернемся к началу нашего урока и вспомним, какую цель мы ставили перед собой? (систематизировать и обобщить знания по теме показательные уравнения, отработать навыки решения уравнений различными способами и применить знания при решении практической задачи). Как вы считаете, справились мы с поставленной целью?

Да, действительно, цель урока мы сегодня с вами достигли.

Заполните пожалуйста опросный лист.

Сегодня на уроке особенно активно работали я даю вам за работу

дополнительно 5 баллов.

Преподавателю необходимо знать, насколько самостоятельно и с какой уверенностью решал обучающийся задания. Для этого обучающиеся ответят на вопросы теста (опросный лист), а затем преподаватель обработает результаты.

Фамилию подписывать не надо!

1. Домашняя работа.

• Решить уравнение графическим способом: 3^х = -х +4.

• Задача: вкладчик положил 10 000 рублей на срочный вклад на 5 лет под 9,8 % годовых. Какую сумму получит вкладчик по истечении срока вклада?

• Дополнительное задание: подберите (не из учебника) или придумайте сами 4 показательных уравнения, решаемые разными способами.

Таблица накопления баллов

Фамилия, имя студента_______________________________

Задания							Дополнитель- ные баллы
	Д/З (за каждый верный ответ 1 балл)	Опрос (кто отвечал на вопросы по 1 баллу)	Работа у доски	Найти ошибки	Тест (оценивает сосед по парте)	6
Кол-во баллов

Таблица накопления баллов

Фамилия, имя студента_______________________________

Задания							Дополнитель- ные баллы
	Д/З (за каждый верный ответ 1 балл)	Опрос (кто отвечал на вопросы по 1 баллу)	Работа у доски	Найти ошибки	Тест (оценивает сосед по парте)	6
Кол-во баллов

Опросный лист

№	Вопрос	Варианты ответа (поставьте галочку)
1	На уроке я работал	активно пассивно
2	Своей работой на уроке я	доволен не доволен
3	Урок для меня показался	коротким длинным
4	За урок я	не устал устал
5	Моё настроение	стало лучше стало хуже
6	Материал урока мне был (несколько вариантов)	понятен не понятен полезен бесполезен интересен скучен
7	Домашнее задание мне кажется	легким трудным интересным о не интересным

№	Уравнения	Метод решения
1
2
3	4х=5-х
4	36*2163х+1=1
5
6	1/2х=х+12
7	3х=81√3
8	5х+1+5х+5х-1=155
9	42х+2+4х+1=1
10	2х+2х+2=20
11	5*22х-7х-1=0
12	7х+1+7х-1=350

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

«Уравнения — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С.Коваля

Цель урока: Закрепить и систематизировать основные знания и умения по теме «Показательные уравнения» Отработать навыки решения показательных уравнений различными способами.

Поверим домашнее задание

1 : Ловко придумано

2 : «Опрос»

Какое функции называется показательными?

Свойства показательных функций?

Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1) у = 2 х 2) y = x 2 3) у = () x 4) у = x 5) у = (x - 2) 3 6) у = 7) у = 3 -x

 

ответ: 1,3,6,7

Выберите возрастающие функции:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

1

3

5

9

Методы решения показательных уравнений

• Метод приведения к одному основанию
• Вынесение общего множителя за скобки
• Метод введения новой переменной
• Графический метод

3 : «Горы решений»

3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

 

7 2х – 67 х –7 = 0

Графический метод

4 х = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

у = 4 х и у = 5-х

Проверка: х = 1,

4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)

Ответ: х = 1.

4 : «Аккуратно»

5 : «Разминка»

6 : «Интересно»

Некоторая фирма взяла кредит в банке 80 000 у.е. под 15% годовых. Сумма возврата кредита с процентами 92000 у.е. На сколько лет взят кредит в банке?

Для расчетов экономисты применяют формулу вычисления сложных процентов . S = s·(1+p) х , где S – сумма возврата, s – сумма кредита, , х – количество лет, на которые взят кредит

 

90 000 = 80 000 · (; 90 000 = 80 000 ·(; (= ; ( = ; (; х = 1 ответ: 1 год

 

7 :«Фантастика»

1 группа

2 группа

6

2

3 группа

2

2

6

3

5

3

6

1

5

3

4

1

5

1

4

4

Последняя ступень «Мы умеем решать тесты»

ответы

 

В-1

1

2

В-2

а

а

б

3

б

в

4

5

в

б

а

б

а

Домашняя работа

Применение показательных уравнений в других областях науки. Примеры с решениями.