Решение показательных уравнений

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

- Ребята, давайте вспомним, о чём мы говорили на прошлом уроке, чему учились? (Слайд 1)

- Верно. Обратите внимание на эпиграф нашего сегодняшнего урока: «Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду». (Слайд 2)

- Вы хотите узнать, кому принадлежат эти слова?

-Для этого нам придётся решить ряд показательных уравнений. Рядом с каждым уравнением – буква. Решили уравнение, нашли ответ и записали букву, стоящую рядом с этим уравнением в ту клеточку таблицы, над которой записан корень этого уравнения. Понятно? (Слайд 3)

Тогда приступаем к решению уравнений.

-Заполнили таблицу? Все уравнения решили? Догадались, о ком идёт речь? (Слайд 4)

- Действительно, автор этх мудрых слов- Лев Николаевич Толстой – великий русский писатель, философ, педагог. (Слайд 5)

В 1859 году он открыл одну из первых народных школ, школу для крестьянских детей. Он сам преподавал в этой школе историю, математику, показывал физические опыты. Более того, Лев Николаевич был автором учебника математики. «Арифметика» - так назывался этот учебник. Кроме различных заданий для учеников, книга содержала ряд методических указаний для учителя.

- Мы сейчас решали…

-Встретились ли вам среди них те, которые вызвали у вас затруднения?

3)Проверка дом. задания.

-Возникали ли трудности при выполнении дом. задания? (Разбор уравнений, вызвавших трудности при выполнении д/з)

-Внимательно посмотрите на экран и проверьте ответы к домашним уравнениям.

-Марина, пока мы будем повторять теорию, запиши, пожалуйста, на доске решение №682(2)

- Пока Марина решает уравнение, мы повторим теорию.

(Слайд 6)

• Какая функция называется показательной?

• Область определения показательной функции.

• Область значений показательной функции.

• Какое уравнение называется показательным.

• Какие методы решения показательных уравнений мы знаем? (Слайд 7, 8, 9,10)

-Проверьте решение №682(2). Какой метод применялся при его решении?

-Верно! Молодцы! На доске записаны показательные уравнения. Посмотрите внимательно, подумайте хорошенько, и назовите способы, которые мы применим для решения каждого уравнения.

1. 4^Х - 3·2^Х = 4

2. 2^Х²-6Х+9 = 16

3. 2^Х – 1 = √х

4. √х – 2 = 4

5. 2^Х+2 – 2^2–Х = 15

6. 27^Х – 3 = 0

7. 7^Х-3 + 7^Х-2 + 2·7^Х-1 = 106

8. 5^2Х-3 - 2·5^Х-2 = 3

9. 4^Х²²+1 + 4^Х² = 320

10. 5^Х – 3^Х = 0

11. (√2)^Х³-9Х = 5⁰

- Мы все уравнения из предложенных умеем решать?

(Слайд 11)

-Если не умеем, надо учиться. Кто хочет попробовать сформулировать цель нашего сегодняшнего урока?

4)Изучение нового материала.

-На доске записаны уравнения:

1. 9^Х – 4 ·3^Х + 3 = 0

2. 25^Х - 6·5^Х + 5 = 0

3. 64^Х – 8^Х = 56

- Чем они похожи?

-Нельзя ли ввести новую переменную, чтобы сделать наше уравнение проще?

Итак, решаем 3-е уравнение.

64^Х – 8^Х = 56

8^2Х – 8^Х – 56 =0

Пусть 8^Х = t

t² – t -56 =0

t₁ =-7 t₂ = 8

8^х = - 7 8^Х = 8

Нет решения, т.к. х = 1

8^Х0

Ответ: 1.

- Внимательно посмотрите на ход решения уравнения. Все этапы понятны?

-С помощью какого метода мы решили уравнение?

- Это новый метод для нас?

- Попробуйте самостоятельно решить уравнение:

9^Х – 4 ·3^Х + 3 = 0

-Давайте проверим решение этого уравнения.(Слайд 12 )

-Посмотрите на доску. Какие уравнения можно решить, введя новую переменную?

- Не только эти уравнения. 5-е уравнение тоже можно решить при помощи новой переменной.

2^Х+2 – 2^2–Х = 15

-Разложим степени на множители:

2^Х·2² – 2² ·2^-Х = 15

-Какое выражение можно обозначить новой переменной?

2^Х = у

у·4 - 4·(1/у) = 15

4у – 4/у = 15 |·у, у ≠ 0

4у² – 4 – 15у = 0

Д = 225 + 4·4·4 = 225 + 64 =289

у₁ = -1/4 у₂ = 4

2^Х = -1/4( нет решений) 2^Х = 4

Х = 2

Ответ: 2

5)Закрепление изученного материала.

-Перед вами карточки с набором показательных уравнений. Ваша задача – постараться решить как можно больше уравнений. (Слайд13 )

- Обменяйтесь тетрадями и проверьте решение своего товарища.( Слайд 14 с ответами)

- Верните проверенные тетради хозяину. Просмотрите своё решение и ошибки, которые были допущены.

- Кто готов проанализировать свою работу?

-Какие уравнения было проще решать?

_ Какой метод решения показательных уравнений пока трудноват? Ничего страшного, Значит, просто надо ещё постараться.

6)Домашнее задание (Слайд 15 )

Стр. 228 №684 №685(1) №690(1,2)

+ те уравнения, которые были сегодня записаны на доске, но мы их не успели решить.(На дополнит. оценку)

7)Подведение итогов урока.( Слайд 16)

-Чему мы научились сегодня на уроке?

-Какой метод мы применяли для решения показательных уравнений?

-Оцените свою работу на уроке (Слайд 14 )

Притча о мудреце и строителях…

Спасибо за урок.

- Мы учились решать показательные уравнения.

- Хотим.

-Да.

(Решают уравнения, заполняют таблицу)

1. 10^Х = 1 «О»

Х = 0

1. (3/4)^Х = 9/16 «С»

Х = 2

1. 8^Х = 2 «К»

Х = 1/3

1. 7^Х = 1/49 «Т»

Х = -2

1. 5^х+4 = 5 «А»

Х = -3

1. (0,1)^2Х = 0,001 «М»

2х = 3

Х = 1,5

1. 2^Х = 0,5 «Й»

Х = -1

1. 4^Х = 2 «Л»

Х = 0,5

- Простейшие показательные уравнения.

(Отвечают). Если были вопросы или «неудобные» уравнения, то разбираем их решение.

(Ученица записывает решение №682(2), остальные повторяют теорию)

• Функция вида у = а^Х, где а0 и а ≠1 назыв. показательной функцией.

• Область определения показательной функции – множество действительных чисел.

• Область значений показательной функции – множество положительных чисел. Показательная функция ограничена снизу.

• Уравнение называется показательным, если переменная содержится в показателе степени.

• Приведение к общему основанию;

- вынесение за скобки общего множителя;

- деление обеих частей уравнения на отличное от нуля выражение(на правую часть)

-графический метод

-Метод вынесения общего множителя за скобки.

(Обратить внимание на то, что 4-е уравнение не является показательным, оно иррациональное)

- Мы не умеем решать 1-е,5-е,8-е уравнения.

- Наша задача – научиться решать те уравнения, которые мы не умеем ещё решать, познакомиться с новым методом решения уравнений (показательных)

-В этих уравнениях содержится степень числа и квадрата этого числа.

- С помощью введения новой переменной.

Нет. Мы уже применяли введение новой переменной при решении биквадратных уравнений и некоторых видов целых или дробно – рациональных уравнений.

(решают уравнение в тетради, а 2 ученика решают это уравнение на маленьких досках. Затем они проверяют решение друг-друга)

9^Х – 4 ·3^Х + 3 = 0

3^2Х - 4·3^Х + 3 = 0

Пусть 3^Х = у

у² – 4у + 3 = 0

у₁ = 1 у₂ = 3

3^Х = 1 3^Х = 3

Х = 0 х = 1

Ответ: 0; 1.

- 1-е, 8-е.

2^Х

Решают уравнения по вариантам.

-2

0

0,5

2

-2

0

-1