Разработка урока по высшей математике

Разработка урока по высшей математике

Тема: Матрицы и их использование в решении прикладных задач

Актуальность темы

Традиционный подход к определению целей обучения ориентирует на объём знаний: чем больше знаний приобрёл ученик, тем выше уровень его образованности. Компетентностный подход, указывает: уровень образованности определяется способностью решать проблемы различной сложности на основе имеющихся знаний.  Современное образование предполагает перенос акцента с предметных знаний, умений и навыков как основной цели обучения на формирование общеучебных умений, на развитие самостоятельности учебных действий. Потому что наиболее актуальными и востребованными в общественной жизни оказываются компетентность в решении проблем или задач, коммуникативная компетентность и информационная компетентность. Значение знаний при этом не исключается, но акцентируется внимание на способности учащегося использовать полученные знания.

Теория матриц имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Эпиграфом к уроку будут:

слова Ньютона:

«При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила»

и слова М.В. Ломоносова:

«Примеры учат больше, чем теория».

Цели урока:

обобщить и оценить знания учащихся по данной теме;

проверить умения учащихся применять правила выполнения операций с матрицами;

развивать мышление, речь, умение комментировать, тренировать память;

прививать интерес к дисциплине, путем понимания ее актуальности в развитии практических компетенций.

Методы и приемы: словесный, наглядный.

По типу: урок обобщения и актуализации знаний.

Оборудование: учебная доска, ПК, раздаточный материал (карточки с разноуровневыми заданиями, листы учета знаний), карточки с основными формулами.

План урока

Повторение основных понятий теории матриц.

Выполнение операций с матрицами.

Решение прикладных задач с использованием матриц.

Ход урока

1 этап Организационный момент: учащиеся занимают свои места, староста называет отсутствующих; преподаватель объявляет тему урока, эпиграф и план урока; учащиеся записывают тему и план в тетради для выполнения практических работ.

Преподаватель раздает учащимся Листы учета знаний, предлагает записать на них свои фамилии и напоминает правила их заполнения.

2 этап Комбинированная работа группы (письменная и устная работа; работа у доски, работа за ПК, работа по карточкам):

Письменная и устная работа

1) учащимся предлагается записать в тетрадь определение матрицы, ее запись в развернутом виде и в краткой форме; назвать значение используемых при записи обозначений; несколько человек (два - три) зачитывают записанное определение вслух.

Открывается сторона доски, где приведена требуемая запись матрицы. Учащиеся сверяют свой вариант ответа с требуемым:

Записать матрицу

А _{m x u} = ()] (1)

А = (а _{i j} ) (2)

1. учащимся предлагается записать в тетрадь названия видов матриц, используя при этом подсказку, выполненную в виде кроссворда;

Матрица бывает

н у л е в а я

е д и н и ч н а я

к в а д р а т н а я

т р е у г о л ь н а я

т р а н с п о н и р о в а н н а я

д и а г о н а л ь н а я

п р я м о у г о л ь н а я

матрица-с т р о к а

матрица-с т о л б е ц

1. учащимся предлагается сформулировать определения некоторых видов матриц.

По итогам работы учащиеся проставляют в Лист учета знаний баллы, заработанные ими на этом этапе.

Работа у доски и за ПК

Трем студентам предлагается выполнить операции сложения, вычитания и умножения матриц разного уровня сложности. Уровень сложности задания учащийся выбирает сам.

Уровень А: выполняется сложение и вычитание квадратных матриц второго порядка.

Уровень Б: выполняется произведение прямоугольных матриц.

Уровень С: выполняются все операции для четырех матриц с использованием ПК.

Ребята на местах следят за правильностью выполнения заданий и, при необходимости, делают замечания. Результат выполнения задания на ПК проверяет преподаватель. Все участвующие в выполнении заданий этого этапа получают соответствующие баллы.

Работа по карточкам

На местах все учащиеся выполняют операцию умножения матриц двух уровней сложности: уровень А – квадратные матрицы, уровень Б – прямоугольные матрицы.

Результаты умножения матриц проверяет преподаватель. Выполнившие работу правильно получают соответствующие баллы.

Дополнительный вопрос: какого вида получается матрица, если перемножить матрицу-строку и матрицу-столбец?

3 этап Письменная работа группы (преподаватель диктует условие задачи и записывает данные задачи на доске, учащиеся записывают излагаемое преподавателем в тетради для конспектов).

Задача. Три устройства R1, R2, R3 подключены к источникам питания U₁=24B, U₂=60B, U₃=110B и потребляют соответственно ток I₁=15A, I₂=20A, I₃=8A.

В течение месяца устройства работают следующее количество времени: Т₁ = 240 часов,

Т₂ = 520 часов, Т₃ = 140 часов. Стоимость электроэнергии 2.80 руб. / кВт час.

Определить общее количество электроэнергии, потребленной устройствами за месяц и его стоимость. При решении задачи использовать матричный метод записи данных.

Решение:

1. Определим потребляемую устройствами мощность. Р = U*I.

Для этого составим матрицы U = (24 60 110) и I = (15 20 8). Найдем их произведение, транспонировав, предварительно, матрицу I. Потребляемая мощность будет равна Р = 24*15 + 60*20 + 110*8 = 660 Вт.

1. Определим потребляемую за месяц электроэнергию: Э = (U * I) * T. При этом время работы устройств запишем в виде матрицы – столбца и найдем произведение матрицы

Р = (360 1200 880) на транспонированную матрицу Т = (240 520 140). Количество потребленной энергии будет равно: Э = 360*240 + 120*520 + 180*140 = 174000 Вт =

= 174 кВт.

1. Определим стоимость потребленной электроэнергии:

С = Э*Ц = 174*2.80 = 487.20 рубля.

4 этап Выдача домашнего задания. Решить задачу, текст которой учащиеся записывают в тетради.

Задача 1. Предприятие изготавливает блоки радиоэлектронной аппаратуры трех видов Р₁, Р_2, Р_3. Для производства блоков используются однотипные микросхемы S₁ и унифицированные печатные платы S_2. Нормы расхода данных комплектующих задаются матрицей А. Годовая программа выпуска блоков задается матрицей Р = (3600 4800 2400). Стоимость единицы микросхемы и печатной платы задана матрицей С = (72 320).

Определить общую стоимость данных комплектующих, необходимых для выполнения годовой программы выпуска электронных блоков.

Пояснение: в электронных блоках используются однотипные микросхемы и унифицированные печатные платы. Блоки представляют собой оперативные запоминающие устройства с емкостью памяти 90, 120 и 240 мегабайт. (Такое пояснение могут сделать наиболее подготовленные студенты, используя межпредметные связи).

Задача 2. Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт эксплуатации этих марок автомобилей свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующие состояниям «работает хорошо» (состояние 1) и «требует ремонта» (состояние2):

Автомобиль марки А: P_A = ( )

Автомобиль марки В: P_B = ( )

Требуется:

1. Найти вероятности состояний для каждой марки автомобиля после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль «работает хорошо».

2. Определить марку автомобиля, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.

5 этап. Подведение итогов урока.

1) самооценка труда учащимися:

• подсчет количества выполненных заданий и заработанных баллов;

• какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения.

2) оценка работы группы преподавателем (сбор листов учета знаний и выставление оценок).

Лист учета знаний

Фамилия студента _______________________

В Примечании отметить номер задания, которое вызвало наибольшее затруднение.

Итоговая оценка за урок выставляется с учетом набранных баллов по Листу учета знаний и индивидуальной работы каждого учащегося.

ЗАМЕЧАНИЕ. При проведении уроков для всех специальностей текстовые задачи составляются таким образом, чтобы показать, что в современном образовании дисциплина «Математика» превратилась в повседневное орудие исследования в физике, экономике, инженерном деле, организации производства и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Кроме прочего математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Не зря греческие ученые говорили, что математика есть ключ ко всем наукам.