Разработка урока по теме "Геометрическая прогрессия"

Приложение 1.

Входной контроль.

№1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии: -½; 1; -2; … .

№2. Запишите четвёртый член геометрической прогрессии: 3; 6; 12; … .

№3. Между числами 2 и 8 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена геометрической прогрессии.

№4. В геометрической прогрессии (вп) известны в1=3 и q = 2. Найти в5.

№5. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении каждой минуты одна из бактерий делится на две. Записать колонию, рождённую одной бактерией через 7 минут.

№6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии √3; 3; … .

Проверка.

Приложение 2.

Работа в парах.

№1. В геометрической прогрессии (вп) известны в1= -5 и q = 3. Найти S4.

№2. В геометрической прогрессии (вп) найдите п, если Sп=635, в1=5, q = 2.

№3. Между числами -2 и -32 вставьте 3 числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Разработка урока по алгебре в 9 классе по теме: «Геометрическая прогрессия».

Выполнила Корытникова Т. В.,

учитель математики МОУ «Лихославльская СОШ №2» г. Лихославля Тверской области

Цели урока: Повторить формулы по данной теме, закрепить их при решении упражнений, практически применять при решении задач.

План урока:

1. Сообщение темы и цели урока, проверка домашнего задания. (2 мин.)

2. Решение устных упражнений на отработку определения прогрессии (5 мин.)

3. Разминка (проверочная работа с последующей самопроверкой) – входной контроль. Закодированное слово. (8 мин.)

4. Историческая справка. (2 мин.)

5. Сценка (5 мин.)

6. Решение упражнений на отработку формулы суммы п членов геометрической прогрессии (10-11 мин.)

7. Домашнее задание.

8. Работа в парах. (10 мин.)

Итоги работы, проверка.

Рефлексия.

9. Итог урока (2 мин.)

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока: «Тема урока «Геометрическая прогрессия». Сегодня на уроке повторим формулы по данной теме и закрепим их при решении задач. Посмотрим, где в жизни могут пригодиться знания по этой теме. А в конце урока сами сможем оценить, как усвоен материал.

1 ученик у доски выполняет индивидуальное задание по карточке:

№1. Найти знаменатель геометрической прогрессии 1,5; -3; … . (q = -2)

№2. Геометрическая прогрессия задана формулой п-го члена b_n = 3 · 2 ^n-1. Найти S5 . (q = 2, S5=93)

Проверка домашнего задания.

1 ученик заранее записывает решение на доске. Для того, чтобы оценить, предложены 5 карточек для устного ответа. Учащийся вытягивает одну из них:

• Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите пример.

• Запишите формулу суммы п членов геометрической прогрессии, если известны первый член, знаменатель и п-й член.

• Запишите формулу п-го члена геометрической прогрессии.

• Запишите формулу суммы п членов геометрической прогрессии, если известны первый член и знаменатель прогрессии.

• Чему равно отношение двух соседних членов прогрессии, начиная со второго?

2. Решение устных упражнений на отработку определения прогрессии.

№1. Является ли последовательность (вп) геометрической прогрессией? Чему равен знаменатель прогрессии?

а) 1, 1/3, 1/9, … (да, q = ⅓),

б) 60; -30; 15; … (да, q = -½),

в) 3; 3; 3; 3; 3; … (да. q =1),

г) 2; 0; 0; 0; 0; … (нет, b_n+1 =b_n · q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0).

№2. Известно, что числа а1, а2, а3, … образуют геометрическую прогрессию. Является ли геометрической прогрессией последовательность 3а1, 3а2, 3а3, …? (Да, а2 : а1 = q; 3а2 : 3а1 = а2 : а1 = q).

№3. Вертикальные стойки фермы (конструкции) имеют такую длину: наименьший 1 м, а каждый следующий в 3 раза длиннее. Найдите длину четвёртого стержня. (а1=1,

q = 3, имеем: 1; 3; 9; 27. Ответ:27 м).

3. Проверочная работа с последующей самопроверкой. (Входной контроль).

Приложение 1.

По окончании работы предлагаются варианты ответов с соответствующими буквами, составляется закодированное слово «вперёд».

Проверочная работа.

№1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии: -½; 1; -2; … . (-2)

№2. Запишите четвёртый член геометрической прогрессии: 3; 6; 12; … . (24)

№3. Между числами 2 и 8 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена геометрической прогрессии. (в2 = ± √(2∙8) = ±4).

№4. В геометрической прогрессии (вп) известны в1=3 и q = 2. Найти в5.

(

в5= в1∙ q⁴; в5=3∙2⁴= 3∙16= 48).

№5. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рождённую одной бактерией через 7 минут. (64)

№6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии √3; 3; … . (√3).

Проверка. Получили слово «ВПЕРЁД».

Случайно ли получили «вперёд»?

Что же означает «движение вперёд»?

Сейчас мы это узнаем.

4. Историческая справка.

Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд», как и слово «прогресс». Геометрической прогрессией пользовался знаменитый физик и математик древней Греции – Архимед в своём замечательном труде «Исчисление песчинок». Особенно широко стали употреблять прогрессии математики эпохи Возрождения. Например, Фибоначчи в своей «Книге об абаке» (1202) даёт подробное учение о прогрессиях и обобщение прогрессий, известных теперь под названием «рядов Фибоначчи».

В ХVI веке Штифель использует прогрессии для упрощения вычислительной практики, хотя по профессии Штифель был священником. В ХVII веке, Лейбниц, Ньютон от геометрической прогрессии перешли к рассмотрению степенных рядов, широко применяемых в высшей математике. У нас, на Руси, задачи на прогрессии встречаются в рукописях ХV – ХVII веков. В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого имеется целый раздел, посвящённый арифметической и геометрической прогрессиям.

5. Сценка (5 мин.)

Для чего нужно изучать геометрическую прогрессию? Где в нашей жизни, в каких её областях можно применить знания по этой теме?

Нотариус: Однажды незнакомец повстречал богатого купца и предложил ему такую сделку:

Незнакомец: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. а ты мне в первый день за 100 000 дашь 1 коп., во второй день – за 100 000 руб. – 2 коп. и так каждый день будешь предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе сделка выгодна, то с завтрашнего дня начнём».

Купец (обрадовался такой удаче): «Я подсчитал, что за 30 дней получу от незнакомца 3 000 000 рублей. Конечно, я согласен на сделку!»

Нотариус: На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. (Обращается к классу). Кто в этой ситуации проиграл: купец или незнакомец? Сейчас я вам докажу, что купец проиграл.

Составим последовательность чисел 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; … . Убеждаемся, что эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q =2, первым членом 1 и количеством членов п=30. Возникает необходимость найти S30, сумму 30 первых членов геометрической прогрессии. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

.

S30=1∙(2³⁰-1): (2-1) =1073740000-1=1073739999.

Итак, купец отдал незнакомцу 10 737 399, 99 руб.

6. Актуализация знаний. Решение упражнений на отработку формулы суммы п членов геометрической прогрессии (10 мин.)

№699. Найти сумму чисел 3+6+12+…+96, если её слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение.

Воспользуемся формулой в1=3, q = 2, вп=96. Имеем, Sп=189.

Ответ: 189.

Задача (дополнительно).

а) в геометрической прогрессии найти q, если в1=1, вп=2401, Sп=2801.

б) выполнив предыдущий пункт, найдите п.

Решение.

а) 2801∙ (q-1) = 2401q-1

2801q – 2801 = 2401q – 1

400q = 2800

q=7.

б) b_n = b₁ · q ^n-1,

2401=1·7 ^n-1

7⁴=7 ^n-1

п-1=4

п=5.

Ответ: а) q=7, б) п=5.

7. Домашнее задание.

Из сборника Кузнецовой для подготовки к экзамену решить №267(1), 268(2)

8. Работа в парах. (10 мин.)

Приложение 2.

№1. В геометрической прогрессии (вп) известны в1= -5 и q = 3. Найти S4.

№2. В геометрической прогрессии (вп) найдите п, если Sп=635, в1=5, q = 2.

№3. Между числами -2 и -32 вставьте 3 числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Решение.

№1. S4=-200

№2. п=7

№3. b_n = b₁ · q ^n-1,

b₅ = -2 · q ⁴,

-32=-2 · q ⁴,

16= q ⁴,

q = ±2.

При q = -2, получаем -2; 4; -8; 16; -32.

При q = 2, получаем -2; -4; -8; -16; -32.

Ответ: 4; -8; 16 или -4; -8; -16.

Подведение итогов. Если задание решено верно, то получаем по 5 баллов за каждое.

Рефлексия.

Возьмите кружочки, которые лежат на партах. На них нарисуйте соответствующее набранным баллам настроение. На обратной стороне напишите свою фамилию. В конце урока смайлики прикрепляются к ватману.

9. Итог урока (2 мин.)

Вопросы к классу:

• Что нового узнали на уроке?

• Чему научились?

• Для чего нужно изучать геометрическую прогрессию?

Выставление оценок.

Геометрическая прогрессия

Выполнила Корытникова Т. В.,

учитель математики

МОУ «Лихославльская СОШ №2»

г. Лихославль Тверской области

• № 1 . Является ли последовательность ( в n ) геометрической прогрессией? Чему равен знаменатель прогрессии?
• а) 1, 1/3, 1/9 , …
• б) 60; -30; 15 ; …
• в) 3; 3; 3; 3; 3; …
• г) 2; 0; 0; 0; 0; …

• № 2 Известно, что числа а 1 , а 2 , а 3 , … образуют геометрическую прогрессию. Является ли геометрической прогрессией последовательность 3а 1 , 3а 2 , 3а 3 , …?

№ 3 . Вертикальные стойки фермы имеют такую длину: наименьший 1 м, а каждый следующий в 3 раза длиннее. Найдите длину четвёртого стержня

Входной контроль

• № 1 . Найдите знаменатель геометрической прогрессии:

-½; 1; -2; … .

• № 2 . Запишите четвёртый член прогрессии: 3; 6; 12; …
• № 3. Между числами 2 и 8 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена геометрической прогрессии.
• № 4. В геометрической прогрессии ( в n ) известны в 1 =3 и q = 2. Найти в 5 .
• № 5 . В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из бактерий делится на две. Записать колонию, рождённую одной бактерией через 7 минут.
• № 6 . Найдите знаменатель геометрической прогрессии √3; 3; … .

Случайно ли получили слово «вперёд»?

Что же означает «движение вперёд»?

Историческая справка.

Сценка

• а) в геометрической прогрессии найти q, если в 1 =1, в n =2401, S n =2801.
• б) выполнив предыдущий пункт, найдите n .

• № 1 . В геометрической прогрессии ( в n ) известны в 1 = -5 и q = 3. Найти S 4 .
• № 2 . В геометрической прогрессии ( в n ) найдите n , если S n =635, в 1 =5, q = 2.
• № 3 . Между числами -2 и -32 вставьте 3 числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Проверка. (За каждое верное решение по 5 баллов, затем суммируем)

• № 1 . S 4 =-200
• № 2 . n =7
• № 3 . q = ±2.

При q = -2, получаем -2; 4; -8; 16 ; -32.

При q = 2, получаем -2; - 4; -8; -16 ; -32.

Ответ: 4; -8; 16 или - 4; -8; -16.

0 или 5 баллов

Мне нужна помощь!

10 баллов

У меня остались вопросы

15 баллов

Я понял тему! Я доволен собой!