Методическая разработка урока на тему: «Действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ)

Филиал ДВФУ в г.Арсеньеве

Методическая разработка открытого урока на тему:

«Действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических

уравнений методом обратной матрицы»

по дисциплине

«Элементы высшей математики».

Специальность 09.02.04 «Информационные системы (по отраслям)»

Выполнил преподаватель Писарева Г.В.

г. Арсеньев

2016

ОДОБРЕНА

Предметной (цикловой)

комиссией ЦМК №1

Протокол №___

от «__» _________20___г.

План открытого занятия

Предмет:	Математика
Тема занятия-конкурса:	Действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
Преподаватель:	Писарева Г.В.
Группа:	11С-2211, 2 курс Специальность: «Информационные системы (по отраслям)»
Цели занятия:	Образовательная: систематизировать знания по теме: «Действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы». Развивающая: развивать умение применять имеющиеся у студентов знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения. Воспитательная: воспитывать ответственность за успехи в обучении всей группы и свои лично.
Тип занятия:	обобщение и систематизация знаний.
Вид занятия:	практическая работа
Формы учебной деятельности: смешанная -	сочетание фронтальной, индивидуальной и групповой работы.
Межпредметные связи:	естественнонаучные дисциплины
Методы:	1. Методы организации и осуществления учебно-познавательной активности словесные (беседа, рассказ, диалог) наглядные (демонстрация презентации на мультимедиа, наглядные материалы) 2. Методы контроля устный и письменный опрос
Оборудование занятия:	Мультимедийное оборудование, презентация в PowerPoint, опорные плакаты, раздаточный материал.
Ключевые компетенции:	учебно-познавательная ( готовность к планированию самостоятельной познавательной деятельности, анализ, рефлексия, самооценка); ценностно-смысловая (способность понимать окружающий мир и ориентироваться в нем); коммуникативная (готовность вести диалог, уметь слушать, отстаивать свою точку зрения).
Литература:	- Григорьев, В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова.- М.: Академия, 2010.-160с. - Письменный, Д.К. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. - 9-е изд.- М.: Айрис – пресс, 2009.- 608 с., ил.
Ресурсы Глобальной сети Интернет	http://znanium.com/bookread.php?book=242366 - Математика.: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. - 544 с.

Технологическая карта занятия

этап	Продолжи-тельность	деятельность преподавателя	Деятельность обучаемых	Деятельность счетной комиссии	Методы обучения	Формируемые компетенции
1.организа-ционный момент. Вступительное слово преподавателя.	3 мин	Приветствие, сообщает тему и цели занятия. Всех учащихся разбивает на две команды (по 6 человек, названия команд «Матрица» и «Определитель»), выбирает капитанов команд, проводит жеребьевку, назначает счетную комиссию из 2 человек и помощника преподавателя.	Приветствие, воспринимают и осознают цели и задачи занятия.	Занимают места	-	-
2.Историческая справка.	10 мин	Смотрит презентацию: « Системы линейных алгебраических уравнений »	Смотрят презентацию: « Системы линейных алгебраических уравнений »	Смотрят презентацию: « Системы линейных алгебраических уравнений »	-	-
3.Проверка домашнего задания. Первый конкурс - интервью. Второй конкурс - угадай-ка. Третий конкурс - кот в мешке.	10 минут 5 минут 7 мин	Объясняет смысл конкурса Описывает операции умножения матриц и получения определителя системы Объясняет смысл конкурса	Внимательно слушают объяснение преподавателя, задают и отвечают на вопросы. Внимательно слушают, угадывают данные математические операции. Выходят у доске, решают. Оказывают поддержку.	Фиксируют правильные ответы Фиксируют правильные ответы Объявляют предварительные итоги конкурса	Репродуктивный Частично-поисковый Репродуктивный	Ок 2 Ок 6
4. Повторение опорных знаний учащихся. Четвертый конкурс - провокация. Пятый конкурс –найди свое место. Шестой конкурс- капитанов.	5 минут 10 минут 5 минут	Напоминает алгоритм решения СЛАУ с помощью обратной матрицы. Объясняет смысл конкурса Объясняет смысл конкурса Объясняет смысл конкурса	Внимательно слушают. Включаются в работу: ищут ошибку, анализируют; поднимают руки. Выходят к доске, решают. Оказывают поддержку	Фиксируют правильные ответы	Частично –поисковый Репродуктивный Частично –поисковый	Ок 2 Ок 6 Ок 2 Ок 3
5.Обобщение и систематизация знаний.	5 мин	С помощью слайдов комментирует основные определения и понятия темы	Внимательно смотрят слайды и слушают комментарии	Подсчитывают баллы	Репродуктивный
6. Рефлексия	5 мин	Студентам предлагает выбрать смайлик в соответствии со своим психологическим состоянием после данного конкурса.	Выполняют просьбу преподавателя	Объявляют команду-победителя	-
7.Самостоятельное применение, знаний, умений, навыков 8. Подведение итогов занятия	20 мин 3 мин	Выдает раздаточный материал для выполнения практической работы Отмечает хорошую работу одних, недостаточную работу других; выставляет оценки за работу на занятии.	Выполняют практическую работу в тетрадях. Слушают преподавателя	- Слушают преподавателя	Частично-поисковый	Ок 2
8. Информация учащихся о домашнем задании.	2 мин	Предлагает учащимся записать домашнее задание: Выполнить тест на пройденный материал.	Записывают задания.	-

Этапы занятия

1. Организационный момент

Объяснение и ход занятия.

Не секрет, что высшая математика – наука не из легких, умственные нагрузки на уроках достаточно велики, но упростить ситуацию можно, привлекая игровые формы работы на занятии. И тогда даже высшая математика превратится в увлекательный процесс.

Данное занятие проводится в форме соревнования.

Все учащиеся разбиваются на две команды

(по 6 человек, названия команд «Матрица» и «Определитель»),

выбираются капитаны команд,

проводится жеребьевка,

назначаются эксперты из 2 человек и помощник преподавателя.

1. Историческая справка

Преподаватель.

Предлагаю вашему вниманию историческую справку об истории возникновения уравнений, систем уравнений и значимости их в повседневной жизни.

Справка в виде мини-презентации ( слайды 1-6) Приложение 1.

Надеюсь, теперь вы не сомневаетесь в важности изучения этой темы.

1. Проверка домашнего задания

• Первый конкурс – интервью.

Групповое интервью – это диалог по обмену информацией с целью проверить уровень подготовки студентов к занятию.

Сначала роль журналиста играет капитан одной команды, затем другой. Команда « Матрица» отвечает на вопросы, связанные с этим понятием, участники команды «Определитель» должны показать знания по своей теме.

Если участник команды не может ответить, то право голоса переходит к другому участнику команды.

Эксперты подсчитывают правильные ответы.

Вопросы готовятся заранее самими учащимися.

Преподаватель на уроке может придти на помощь в случае сбоя в работе команд.

Примерные вопросы участникам команды « Матрица»:

1. Дайте определение матрицы и какая матрица называется квадратной?

2. Дайте определение единичной матрицы.

3. Что вы знаете про присоединенные матрицы?

4. Вспомните условие, при котором можно утверждать, что две матрицы являются перестановочными.

5. Как бы вы умножили матрицу на число?

6. Дайте определение обратной матрицы.

Примерные вопросы участникам команды « Определитель»:

1)Что называется определителем второго порядка?

2) Если две строки (столбца) определителя совпадают, то чему он равен?

3) Как бы вы нашли минор любого элемента определителя 3-го порядка?

4) Как можно найти алгебраическое дополнение любого элемента определителя?

5) Что такое детерминант?

6) Если переставить две строки (столбца) определителя, то что с ним произойдет?

• Второй конкурс- угадай-ка.

Команды должны расшифровать описанные понятия.

 на обдумывание не более 2 минут

• Задание команде « Матрица ».

Преподаватель описывает операцию умножения матриц.

Чтобы получить элемент с_кl матрицы С , надо элементы к -ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В и результаты сложить.

О какой матрице С идет речь?

Участники команды должны догадаться, что речь идет о матрице С = АВ

• Задание команде « Определитель ».

Если элементы какой- нибудь строки или столбца данной матрицы умножить на их соответствующие алгебраические дополнения и результаты сложить, то получим число, характеризующее эту матрицу.

О каком числе идет речь?

Участники команды должны догадаться, что речь идет об определителе матрицы.

• Третий конкурс – «Кот в мешке» (1 минута на объяснение конкурса).

Каждый капитан вызывает по 1 игроку от команды. Студенты получают задания методом случайного выбора.  на обдумывание не более 7 минут.

Команда, которая не уложилась в отведенное время, лишается права на ответ, право ответа переходит к команде- сопернице, которая в случае правильного ответа получает дополнительный балл.

Задания 1. (в форме теста)

Найти произведение АВ:

А = , В =

Ответы:1. , 2. , 3.

Правильный ответ 2.

Задание 2 (в форме теста)

Найти матрицу С= 3А+2В:

А= В=

Ответы:1. , 2. , 3.

Правильный ответ 3.

1. Повторение опорных знаний учащихся

Преподаватель.

Сегодня вам предстоит решить систему СЛАУ третьего порядка с помощью обратной матрицы. Напоминаю вам алгоритм решения:

1. вычисляется определитель матрицы A, который обязательно должен быть отличен от нуля;

2. через алгебраические дополнения находится обратная матрица A^-1;

3. умножается обратная матрица справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Пусть требуется решить систему СЛАУ:

2х +3у –z =9

x -2y +z = 3

x+2z = 2

• Четвертый конкурс- провокация

Помощница преподавателя находит определитель, соответствующий матрице

и при этом сознательно допускает ошибку.

Той команде, которая первой ее называет, присуждается один балл.

верно: = -8+0+3-2-0-6= -13

с ошибкой: = -8+0+3+2-0-6= -9

Эксперты объявляют предварительный счет.

• Пятый конкурс- найди свое место.

Помощник напоминает правило нахождения алгебраического дополнения.

Находит А₁₁ и ставит «+» в соответствующей клетке, то есть

необходимо указать пары “алгебраическое дополнение – число”. Участники команд по очереди выходят и заполняют таблицу, предварительно решив пример на доске. Чья команда правильнее и быстрее заполнит таблицу (поставит плюсик) , тот и победил в этом конкурсе.

Задание команде « Матрица» красным цветом, команде «Определитель» синим.

	А11	А12	А13	А21	А22	А23	А31	А32	А33
5
2
-1
1
-3
-4
-7
-6
3

Ответ:

	А11	А12	А13	А21	А22	А23	А31	А32	А33
5					+
2			+
-1		+
1							+
-3								+
-4	+
-7									+
-6				+
3						+

• Шестой конкурс- капитанов.

Помощник пишет на доске обратную матрицу этой системы.

Капитанам необходимо умножить обратную матрицу справа на вектор-столбец свободных коэффициентов. Кто сделает это правильно и быстрее, тот и победит.

1. Обобщение и систематизация знаний

Вспомнить все этапы решения СЛАУ с помощью обратной матрицы, используя слайды- закрепление. Приложение 2.

6. Рефлексия

Счетная комиссия объявляет результаты.

Студентам предлагается выбрать смайлик в соответствии со своим психологическим состоянием после данного конкурса.

7. Самостоятельное применение знаний, умений, навыков при выполнении упражнений

Необходимо выполнить практическую работу в парах ( 4 варианта ).

Вариант 1.

1. Найти сумму матриц 3А+2В:

А= В=

1. Найти произведение матриц: АВ

А= В=

1. Решить систему уравнений, представив ее в виде матричного уравнения:

Вариант 2.

1. Найти сумму матриц 2А+4В:

А= В=

1. Найти произведение матриц: АВ

А= В=

1. Решить систему уравнений, представив ее в виде матричного уравнения:

Вариант 3.

1. Найти сумму матриц -4А+В:

А= В=

1. Найти произведение матриц: АВ

А= В=

1. Решить систему уравнений, представив ее в виде матричного уравнения:

Вариант 4.

1. Найти сумму матриц -3А+В:

А= В=

1. Найти произведение матриц: АВ

А= В=

1. Решить систему уравнений, представив ее в виде матричного уравнения:

8. Подведение итогов занятия.

9. Домашнее задание. Выполнить тест на пройденный материал.

Приложение 1.

Тема “Системы линейных алгебраических уравнений ”

Цель работы:

Исследование истории вопроса:

1. развитие теории, имена ученых, достижения ученых,

2. сфера применения систем в повседневной жизни.

1.

Слайд 1

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобрел в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук - создание условий, наиболее благоприятных для жизни человека.

Развивалось общество, и вместе с ним совершенствовались и научные представления, постепенно складываясь в стройную систему математических знаний. Основой этих знаний стало решение уравнений.

Самые ранние сведения о возникновении алгебры в виде правил решения уравнений мы встречаем у вавилонян в III–II вв. до н. э. В вавилонской математике появляется числовая алгебра в виде решения уравнений и систем уравнений первой и второй степени.

Слайд 2

Египтяне не решали уравнения, но решали задачи, которые требовали применения уравнений первой степени. Они решались приемом, который позднее через арабов перешел к европейским народам. Это - способ решения задач методом предположений, или “фальшивое правило”, как его назвал Леонтий Филиппович Магницкий в “Арифметике”.

Слайд 3

Решение уравнений первой степени требует знаний о числах: натуральных, дробных, отрицательных. Для решения уравнений степени выше первой знаний должно быть больше. Решением уравнений, содержащих более одного неизвестного, занимался Диофант.

В III–IV вв. нашего летоисчисления появился “числовой дух” – александрийский математик Диофант.

Из творений Диофанта до нас дошло шесть книг из тридцати, которые он называл “Арифметикой”.

Нам известен его метод решения неопределенных уравнений, называемых “диофантовыми”. Это уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Труды его представляют большой интерес для математики.

Слайд 4

Термин “алгебра” пришел к нам из Средней Азии, города Хорезма.

Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, состоящий членом “дома мудрости” в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, в названии которой содержатся слова “алджебр альмукабала”. Мухаммед пишет, что в своей книге он учит решать простые и сложные вопросы арифметики, которые необходимы людям при дележе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле и всевозможных сделках, а также при измерении земель, проведении каналов и т.п.

Последовательность действий для решения какой-нибудь задачи называется алгоритмом. Слово “алгоритм” произошло от имени аль-Хорезми. Для того чтобы разъяснить темные места в науке и сделать понятными трудные вопросы, математик написал сочинение о своем методе. Метод этот сводился к двум операциям: перенос членов уравнения из одной части в другую и приведение подобных членов.

Слайд 5

“Суть математики состоит в том, чтобы подробно изучать науку о числах и все действия, которые над числами производятся. ” - эти слова Леонардо Эйлера, одного из крупнейших математиков всех времен. Основным вопросом в учебнике Эйлера является решение уравнений. Алгебра - это искусство нахождения числовых значений для содержащихся в уравнении неизвестных по коэффициентам уравнения.

2.

Слайд 6

В XVIII веке, в связи с бурным развитием промышленности, возникновением новых видов техники, развитием естественных наук, произошел новый виток в развитии теории решения систем линейных уравнений.

Решение уравнений и систем уравнений и поныне составляет содержание курса алгебры, которая имеет тесные связи с геометрией, физикой, логикой, экономикой.

К ним часто приходят при исследовании самых различных проблем науки и техники.

 К   решению   систем   линейных   уравнений   сводятся  такие группы  задач :
-  задачи   механики  (статические, теплотехнические);
-  задачи  из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки; .
-  системы   линейных   уравнений  – основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах;
-  задачи  приближенного  решения   уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
-  системы   линейных   уравнений  широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т. д.

- в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между системой переменных.
Перечисленные  задачи  не исчерпывают всех случаев использования  систем   линейных   уравнений , но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при  решении   задач  математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить  систему   линейных   уравнений.

Приложение 2.

слайд 1

слайд 2

слайд 3

слайд 4

слайд 5

слайд 6

слайд 7

слайд 8

слайд 9