Разработка урока математики на тему "Объём шара"

Министерство образования и науки РТ

ГАОУ СПО «Лениногорский нефтяной техникум»

План урока

Общие сведения об уроке

Дисциплина: математика

Преподаватель: Лилия Михайловна Шипилова

Группа ЭП – 1 – 12, специальность 140448 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования»

Тема урока: «Объём шара»

Тип урока: изучение нового материала .

Методы обучения: словесный, наглядный, метод самостоятельной работы, исследовательский метод.

Вид контроля: самоконтроль, контроль учителя

Междисциплинарные связи: физика, история математики, инженерная графика.

Оснащение урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран, карточки с разноуровневыми заданиями, презентация Power Point, модель шара, карточки для рефлексии.

Цели:

Обучающие:

- вывести формулу для вычисления объёма шара, рассмотрев различные способы;

- сформировать умения применять формулу объёма шара при решении задач.

- Воспитательные:

- обеспечить условия для формирования положительного отношения к знаниям, к процессу учения.

Развивающая:

- обеспечить условия для развития познавательного интереса, для формирования общеучебных и специальных умений, совершенствованию мыслительных операций; исследовательских способностей.

Формировать УУД:

- Личностные УУД: формировать опыт творческой деятельности, способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

- Регулятивные УУД : умение определять и формулировать цель урока; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; высказывать своё предположение; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

- Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; работать в группе;

- Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного ; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке и из других информационных источников, воспитывать потребность в самообразовании, культуру умственного труда; содействовать формированию учебных компетенций по самостоятельному приобретению знаний.

Планируемые результаты:

Предметные: совершенствование навыков решения задач на вычисление объёма шара; развитие навыков применения формулы объёма шара для решения задач; навыков вычислений и тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения, классификации и систематизации, выявлению внутрипредметных и межкурсовых связей.

Личностные: реализация потребностей в самообразовании и формирование адекватной самооценки, развитие коммуникативных способностей.

Метапредметные: выполнение пространственных чертежей , умения работать с дополнительной литературой и иными информационными источниками и проводить отбор необходимого материала.

Ход урока:

1. Организационный момент. 1 мин.

Приветствие студентов, мобилизация внимания.

Я надеюсь, вы все в хорошем настроении? Покажите смайлик. (Слайд1). Знаете, однажды французский писатель Анатоль Франс заметил: «Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при сдаче экзамена.

1. Актуализация опорных знаний. 5 мин. (Слайд 2)

- Дайте определение, что называется шаром, радиусом и диаметром шара?

- Как можно получить шар?

- Что является сечением шара? (Слайд 3)

- Как называется сечение шара, проходящее через центр шара?

- чему равна длина окружности? Площадь круга?(записать на доске)

- назовите предметы, имеющие форму шара. (слайд 4)

Решите задачу: Определите массу шара радиуса 3см, если плотность чугуна 7,0 г/см³.

Из курса физики мы знаем, что m = V*p (записать на доске). Можем мы ответить на вопрос задачи? Почему? (Мы не знаем, как найти объём шара).

Значит тема нашего урока - Объём шара.(слайд 5 ) Запишите тему в тетрадях.

Сформулируйте цель урока.

1. Изучение нового материала. 20 мин

Проблемный вопрос: как можно вычислить объём шара? Существует несколько способов. Трое студентов из группы получили индивидуальное домашнее задание: найти и рассказать об этих способах. Послушаем их.

1. Закон Архимеда. (Слайд6)

Среди греческих математиков вычислением объёмов тел вращения занимался только Архимед ,который, пользуясь своеобразными методами, получил совершенно правильные формулы всех объёмов этих тел. По легенде Архимед, принимая ванну, сделал открытие, что погружая тело в воду, можно определить его объём, измерив объём вытесненной им воды. Закон Архимеда : Сила, выталкивающая целиком погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме этого тела.

Архимед определил, что объем вписанного шара равен 2/3 объема цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задачи .Потом, 200 лет спустя, по этому чертежу нашли могилу Архимеда.

На уроках физики в школе мы проделывали опыт с помощью отливного стакана. Таким образом, с помощью закона Архимеда можно вычислить объём тела практически

2. Вывод формулы V ΠR³ с помощью принципа Кавальери.(Панков Егор) (Слайд 7)

В 17 веке началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объёмов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед. Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598 – 1647). Он возглавлял кафедру математики в Болонском университете. Кавальери разработал способ, с помощью которого можно вычислять площади многоугольников, криволинейных фигур. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объёмов круглых тел, например шара. Принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь тело плоскостями, параллельными некоторой заданной плоскости, то его объём определяется площадями пересечений плоскостей и тела. Для этого впишем в круговой цилиндр радиусом R и высотой 2R шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери, равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует:

Vш = Vц – 2Vк

Vц = ПR²H, где H = 2R, Vц = 2ПR³

Vк ПR²H, где Н= R; Vк ПR³

Vш = 2ПR³ – 2 • ПR³ ПR³

1. Вывод формулы V ΠR³ с помощью определенного интеграла. (Слайд 8)

Теорема : Объем шара радиуса R равен 4/3πR³

Дано: шар, Rш ; О- центр шара; ОХ – ось шара; αᅩOX ;М- центр круга сечения; ОС=R; Sсеч. = S (x); х- абсцисса М

Найти : V

Доказательство: Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х- абсцисса точки М. Выразим S(х) через R и х. Из прямоугольного треугольника ОМС по теореме Пифагора находим r:

Так как S (x)=πr², то S (x)=π(R²-x²). Эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АD, т .е для всех х, удовлетворяющих условию -R≤ x ≤R. Применяя основную формулу для вычисления объемов имеем :

а = -R; b=R, получаем

Теорема доказана.

Спасибо, ребята. Теперь мы знаем формулу по которой можно найти объём шара и можем решить задачу.(оформление на доске)

Дано: шар(О; 3), р=7,0 г/см³. Найти: Vш.

Решение: m = V*p, V ΠR³ = Π4³ Π27=36Псм³.

m =36П*7,0 = 252*3,14=791,28 г.

Ответ: 791,28 г.

1. Закрепление изученного материала – 15 мин.

• Решение задач(устно) (слайд 9)

1.Радиус шара равен 2 см. Вычислите объем шара. ()

2.Объем шара равен 36π. Найти радиус шара.(3)

• Самостоятельная работа (по карточкам) Ребята сами выбирают уровень сложности.

I вариант

1. В шаре на расстоянии 3см от центра проведено сечение, радиус которого 4см. Найдите объём шара.

2. Объем шара равен 288 П см³. Найдите длину окружности большого круга .

3. В шаре объёмом 288 П см³ проведено сечение. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой окружности сечения, образует с плоскостью сечения угол 60^о. Найдите площадь сечения.

II вариант

1. Объем шара равен 36π. Найти диаметр шара.

2. Длина окружности сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 8П см. Найдите объём шара.

3. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО=29см

1. Домашнее задание – 1 мин.

п. 82, № 710, 712

Подведение итогов урока, рефлексия – 2 мин

- Какова была цель урока?

- Что нового вы узнали?

- Какое у вас настроение, покажите смайлики.

Выставление оценок.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

3. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учеб. пособие для 10-12 кл.веч. (смен.) шк. и самообразования. – М.: Просвещение, 1989.

4. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия: Учеб. пособие для 9 и 10 классов. – М.: Просвещение, 1980.

Интернет-ресурсы

1. http://pedsovet.su

Презентация к уроку математики на тему:

Объем шара

Разработан преподавателем математики

второй квалификационной категории ГАОУ СПО «Лениногорский нефтяной техникум»

г. Лениногорска Республики Татарстан

Шипиловой Лилией Михайловной

Цели урока:

Обучающие:

- вывести формулу для вычисления объёма шара, рассмотрев различные способы;

- сформировать умения применять формулу объёма шара при решении задач.

Воспитательные:

- обеспечить условия для формирования положительного отношения к знаниям, к процессу учения.

Развивающая:

- обеспечить условия для развития познавательного интереса, для формирования общеучебных и специальных умений, совершенствованию мыслительных операций; исследовательских способностей.

«Учиться можно только весело….

Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

Анатоль Франс

.

Определение шара

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от заданной точки.

Эта точка называется центром шара.

Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой поверхности называется радиусом шара .

Отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара

Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Сечения шара

Сечение шара, проходящее через его центр.

В сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара .

Сечение плоскостью, не проходящей через центр.

В сечении – круг

Тема урока

Объём шара

АРХИМЕД ок.287 -212 г до н.э .

Закон Архимеда : Сила, выталкивающая целиком погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме этого тела.

Бонавентура Кавальери

(1598 – 1647)

х

⍶

A

M

r

М

C

R

х

O

D

Устный счёт

1.Радиус шара равен 2 см. Вычислите объем шара.

2.Объем шара равен 36π. Найти радиус шара.

Домашнее задание

п.82, №710, 712

Рефлексия

• Было интересно , потому что…
• Сегодня на уроке я научилась…

- Я бы хотел(а) похвалить себя за то, что…

- Свою работу на уроке я бы оценил(а) на…

Используемые источники

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
• Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.
• Глейзер Г.Д. Геометрия: Учеб. пособие для 10-12 кл.веч. (смен.) шк. и самообразования. – М.: Просвещение, 1989.
• Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия: Учеб. пособие для 9 и 10 классов. – М.: Просвещение, 1980.

5. http ://pedsovet.su/