Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной.

6.3А Линейное уравнение с одной переменной

Дата:

ФИО учителя: Тажибаев Серик Жаксылыкович

Класс: 6

Количество

присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Равносильные уравнения. Линейное уравнение с одной переменной.

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

6.2.2.2

знать определение линейного уравнения с одной переменной, равносильных уравнений;

Цели урока

Учащиеся будут:

знать:

определение равносильных уравнений, свойства равносильных уравнений какие преобразования приводят к равносильным уравнениям и способы их применения к решению простейших уравнений с одной переменной;

уметь:

• из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения;

• применять свойства равносильных уравнений к решению простейших уравнений.

Критерии оценивания

Учащийся:

знает:

свойства равносильных уравнений и способы их применения к решению простейших уравнений с одной переменной;

умеет:

• применять свойства равносильных уравнений к решению простейших уравнений.

Языковые цели

Учащиеся будут:

• аргументировать свои выводы, работая в группе, при повторении теоретического материала на более высоком уровне;

• описывать ход своих действий и делать выводы;

• при устной работе обосновывать ответ, используя терминологию.

Предметная лексика и терминология:

• равносильные уравнения.

Серия полезных фраз для диалога/ письма:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то ....

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то ...

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то ...

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время.

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

Взаимосвязь с жизнью, через решение практических задач.

Предварительные знания

Знание нахождение неизвестных компонентов действий

Умение решать элементарные уравнения.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

0 – 12 мин

Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Проверить домашнее задание.

Провести письменный опрос на повторение.

Приложение 1

1. Приведите подобные слагаемые:

1) -19х + 19 + 17х; 4) 2х + 3у - 5х – 2у;

2) 71у - 23 – 23у; 5) - 3х – 7у + 6у – 4х;

3) -52х - 52 – 52х; 6) 11у - 15х - х – у.

2.Выполните раскрытие скобок:

1) 2(х+6); 5) 9(1+х);

2) 5(х– 4); 6) 8(1- х);

3) -3(х+3); 7) -5(2+х);

4) - 4 (х– 5); 8) - 6 (2 - х)

3. Упростите выражение:

1) - 11 (х– 2) +13х – 20х;

2) 40 + 29у + 8 (5– 4у);

3) 10 (4х+1) - 41х – 19.

Совместно с учащимися определить тему и цели урока, "зону ближайшего развития".

Середина урока

13 - 27 мин

Работа с классом. Вспомним, как мы до сих пор решали уравнения.

Решить уравнения из Приложения 2

Разобрать примеры и обобщить какие правила и методы были применены.

Решить уравнения: 1) 2x – 5 = 11 и 2) 7x + 6 = 62.

Получим: 1) 2x = 16 и 2) 7x = 56,

1) x = 8 и 2) x = 8.

Оба эти уравнения имеют один и тот же единственный корень.

Озвучить определение: Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое.

Значит, приведенные выше два уравнения являются равносильными.

Наоборот, такие, например, уравнения:

(x – 2)(x – 5) = 0 и x – 2 = 0,

неравносильны, так как первое имеет корни 2 и 5, а второе только корень 2; значит, корни у них не одни и те же.

Возьмем такие два уравнения:

x + 2 = 2(x + 1) – x и 3x = 3(x – 1) + 3.

Оба уравнения удовлетворяются любыми значениями x. Чтобы убедиться в этом, раскроем скобки в обоих уравнениях:

x + 2 = 2x + 2 – x и 3x = 3x – 3 + 3,
x + 2 = x+ 2 и 3x = 3x.

В обеих частях каждого уравнения стоит одно и то же выражение, поэтому понятно, что при любых значениях x правые и левые части каждого из этих уравнений равны одному и тому же числу.

Согласно нашему определению, эти уравнения тоже будут равносильными, так как все корни любого из них являются корнями другого.

Если возьмем такие уравнения:

x + 2 = x + 5 и 2x + 7 = 2x,

то убедимся, что оба они не имеют корней. В самом деле, какие бы значения ни давали x, в первом уравнении всегда значение правой части будет на 3 больше значения левой, и, следовательно, ни при каком значении x мы не получим верного равенства.

Точно так же при любых значениях x значение левой части второго уравнения будет всегда на 7 больше значения правой, и никогда они не смогут оказаться равными.

Итак, оба эти уравнения не имеют ни одного корня.

Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.

Покажем на примерах, что уравнения обладают следующими двумя важными свойствами:

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то ж число или один и тот же многочлен, содержащий неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

Пример.

Пусть дано уравнение: 6x + 7 = 31.

1) Решив его, найдем единственный корень: x = 4.

2) Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же число 15: 6x + 22 = 46

Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 4.

3) Прибавив к обеим частям уравнения 6x + 7 = 31

а) –7; б) ; с) –4, получим уравнения:

а) 6x + 7 -7 = 31 -7;

;

б) ;

в) .

Решив их, опять получим для всех уравнений тот же единственный корень: x = 4.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.

Пример. Решить уравнение:

Оно имеет единственный корень: x = 6.

Умножим обе части его на 4: .

Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 6. Значит, оба уравнения равносильны.

Умножив обе части данного уравнения а) на –2; б) на 5; в) на , получим уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решив их, найдем для каждого единственный корень: . Значит, все они равносильны данному уравнению.

Пользуясь этими двумя свойствами, мы можем теперь все уравнения, которые решали раньше, решать, уже не ссылаясь на зависимость между данными и результатами арифметических действий.

Решим, например, уравнение: (1)

Прибавим к обеим частям уравнения по 7. На основании первого свойства полученное уравнение (2) равносильно данному.

Умножим обе части этого уравнения на 8. На основании второго свойства полученное уравнение равносильно (2), а следовательно, и данному.

Разделив обе части этого уравнения на 5 (или умножив на  ), получим уравнение x = 32,

равносильное данному.

Например, уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3. 
Равносильны и уравнения x² +1 = 0 и 2x² + 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней.
Уравнения x - 5 = 1 и |x| = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

При наличии компьютера, просмотреть презентацию для визуального закрепления материала.

Приложение 2

Середина урока

28 - 37 мин

Групповая работа. Объединить учащихся в разноуровневые малые группы. Раздать каждой группе карточки с заданиями.

Приложение 3

1. Пусть дано уравнение: . Доказать, что если прибавить к обеим частям этого уравнения буквенное выражение –2x, то получится равносильное уравнение.

Решение: У уравнения , единственный корень: .

Если прибавить к обеим частям этого уравнения буквенное выражение –2x, получим уравнение:

;
.

Подставив в него значение x = 5, убедимся, что 5 является корнем и этого уравнения. На основании свойства 1 это уравнение никаких других решений иметь не может.

В самом деле, при x = 5 обе части этого уравнения равны одному и тому же числу. Если дадим x значение, больше 5, то левая часть уравнения x – 7 = 8 – 2x увеличится (так как увеличится уменьшаемое), а правая уменьшится (так как увеличится вычитаемое) и, следовательно, равенство нарушится. Если же дадим х значение, меньшее 5, то, наоборот, левая часть уменьшится, а правая увеличится.

Следовательно, уравнение x – 7 = 8 – 2x равносильно уравнению 3x – 7 = 8.

2. Пусть дано уравнение: 2x + 6 = 2 (x + 1) + 4. Доказать, что если прибавить к обеим частям этого уравнения любые значения неизвестного, то получится уравнение равносильное данному уравнению.

Решение: Этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного (в чем убедимся, раскрыв скобки).

Прибавив к обеим частям числа 7, –4, получим уравнения:

2x + 13 = 2(x + 1) + 11,
2x + 2 = 2(x + 1).

Эти уравнения тоже удовлетворяются любыми значениями x. Значит, оба эти уравнения равносильны данному уравнению.

3. Пусть дано уравнение: x = x + 3. Доказать, что уравнение не имеет решения и при сложении с .

Решение: Это уравнение не имеет решений. Прибавив к обеим частям, например, x² – 3, получим уравнение:

Очевидно, что и это уравнение не имеет решения, так как при любых значениях x правая часть будет на 3 больше левой.

Значит, и в этом случае получили уравнение, равносильное данному.

4. Пусть дано уравнение: имеющее любое значение неизвестного. Доказать, что умножив обе его части на 3; –2; 0,5, получим равносильные уравнения.

Решение: 6x + 18 = 6(x + 1) + 12;

–4x – 12 = –4(x + 1) – 8;

x + 3 = (x + 1) + 2.

Легко убедиться, раскрыв в правой части скобки, что каждому из этих уравнений удовлетворяет любое значение неизвестного. Значит, они равносильны данному уравнению.

5. Пусть уравнение 2x + 7 = 2x + 9, не имеющее решений. Доказать, что умножив обе части его, на числа –3; 0,5 получим равносильное уравнение.

Решение: Получим уравнения: ;

Легко видеть, что оба эти уравнения тоже не имеют решений и, следовательно, равносильны данному уравнению.

Учитель проходит по рядам, слушает, при необходимости задает дополнительные вопросы, корректирует решения учащихся, проверяет и оценивает похвалой работу групп, оказывает помощь слабоуспевающим.

Предоставить учащимся достаточно времени для выполнения заданий.

Проверить правильность ответов, провести анализ ошибок. Выслушать выводы учащихся по заданиям. Каждая группа демонстрирует свой

результат выполнения заданий.

Старший группы оценивает вклад каждого, выставляя отметку.

Приложение 3

Конец урока

38 - 40 мин

Беседа. Рефлексия. Учащиеся в конце урока определяют свою успешность и отношение к уроку.

Н а уроке мне На уроке мне не

понравилось…. понравилось….

Домашнее задание. Знать определения, решить из уровня В учебного пособия "Математика 6" №...№.

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности. Связи с ИКТ.

На уроке предусмотрена дифференциация в виде работы в разнородных парах (разного уровня обучаемости). Ученики, распределяя в паре задания, самостоятельно выбирают уровень сложности.

Предусмотрена взаимопроверка по ключу, в ходе которой оценивается умение учеников применять теоретические знания. В ходе групповой деятельности при выполнении задании оцениваются умение находить результат, а также решать задания по теме, опираясь на понятие и свойства, изученные на данном уроке и прошлый опыт.

Запланированы виды деятельности на уроке, способствующие передвижению учащихся по классу, необходимо обеспечить безопасность. Следить за осанкой учащихся.