Преобразование графиков

Тема урока: «Преобразование графика функции у = »

Обоснование выбранной темы и вида деятельности.

На прошлых уроках учащиеся знакомились с квадратичной функцией, имеют опыт исследования ее свойств (зависимость вида графика функции от коэффициентов). Поэтому на факультативе выбрана новая для ребят функция для приобретения ими опыта самостоятельной исследовательской деятельности.

Предполагается, что это может стать отправной точкой для их самостоятельных исследований новых функций в рамках НОУ лицея.

Цель. На материале математики формировать интерес к творческой деятельности, навыки коллективной исследовательской деятельности.

Задачи

Обучения научить построить график функции у =и определять основные свойства функции

Развития умение аргументировать свою точку зрения, выдвигать гипотезу.

Воспитания формирование потребности в творческом самовыражении, умение коллективно работать - обсуждать общие задачи, распределять работу, выражать коллективное мнение.

Ход урока.

Актуализация

1 этап.

а) собщение 1 «РОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ»

Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как за­метили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь. Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца. Солнце вместе со своими планетами вечно летит в косми­ческие дали... Кажется, причем здесь математика, а тем более функции и графики, которым посвящен этот урок. Но, как образ­но заметил великий Г. Галилей (1564—1642), книга природы написана на математическом языке и ее буквы — математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и фило­софа Р. Декарта «Геометрия» (1637 г.), и ее появление по­служило, поворотным пунктом в математике. Без переменных величин Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движений тел — небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и ре­шать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

С развитием науки понятие функции уточнялось и обобща­лось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с поня­тием соответствия. Сам термин «функция» впервые встречается в рукописях и великого немецкого математика и философа Г. Лейбница. Латинское слово «функция» переводится как «свершение», «исполнение» Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связанных с положением точки на плоскости.

собщение 2 Как задают функции

В процессе рождения функции на разных этапах присутствовали три основных способа выражения зависимостей между двумя величинами: табличный, аналитический и графический. С этими классическими способами представления функции часто приходится иметь дело при установлении и изучении зависимостей как в естествознании, так в самой математике. Табличный способ важен потому, что является основным при обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к тому же единственным средством их задания (формулу не всегда удает­ся подобрать, а порой в ней и нет необходимости). К таблич­ному заданию функции часто переходят при выполнении прак­тических расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратных корней удобно при проведении расчетов, в которых участвуют такие корни. Появление современных компьютеров с их безграничными возможностями хранения и переработки информации неизмеримо расширило перспективы табличных представлений за­висимостей, причем составление и преобразование многочислен­ных таблиц часто образует промежуточные этапы сложного вычисления.

С математической точки зрения табличное задание непрерыв­ных зависимостей всегда неполно и дает лишь информацию о зна­чениях функции в отдельных точках. В связи с этим возникают задачи интерполяции и экстраполяции табличной зависимости, т. е. «переноса» ее на весь промежуток изменения аргумента, соответствующий таблице, или за его пределы. Другим недостат­ком табличного задания функции является его неудобство для восприятия и теоретического анализа, его громоздкость.

Аналитическое (формульное) задание функции отличается своей компактностью, легко (хотя, откровенно говоря, и не всегда) запоминается и содержит в себе полную информацию о зависи­мости. Этот способ удобен для проведения теоретических выкла­док, применения классических методов анализа функций и запи­си результатов.

Однако из формул не всегда легко усмотреть свойства функции, представить ее поведение. С этой целью функцию исследуют и строят ее график, рисуя, так сказать, ее портрет.

Графический способ представления зависимостей также явля­ется одним из средств их фиксации при изучении реальных яв­лений. Это позволяют делать различные «самопишущие приборы», такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т. п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то, значит, определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят о графическом задании функции.

Графическое представление функции очень удобно для не­посредственного восприятия ее особенностей, характерных свойств. Такая возможность особенно благоприятна для изучения многих вопросов, связанных с функциями, в частности в школьном курсе алгебры и начал анализа. Как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Поэтому при исследо­вании функции всегда желательно представить, хотя бы ориен­тировочно, ее график.

Ведь он есть не что иное, как совокупность всех пар чисел (точек коор­динатной плоскости) вида (х; у). По сути, это бесконечная таблица, включающая все значения функции, и в таком пони­мании график и есть сама функция. То же, что мы рисуем, явля­ется лишь эскизом, зримой моделью математического графика, но именно это и нужно при изучении функции.

б) На прошлых уроках мы знакомились с квадратичной функцией. Давайте ребята повторим свойства квадратичной функции.

Вопросы:

1. Что представляет собой график квадратичной функции?

2. Как определяется вершина параболы?

3. Найдите координаты вершины параболы: у=-х²+7; у=2(х-3)²-4; у=х²-2х+1

4. Какова область определения функции?

5. Как определяется множество значений?

6. Имеет ли квадратичная функция асимптоты?

7. Можно ли определить знак параметра а в уравнении квадратичной функции зная её график?

8. Имеет ли функция наименьшее или наибольшее значение?

9. Назовите промежутки возрастания и убывания функции.

10. Как вы построили графики квадратичных функций?

2 этап.

Учитель. Ребята, как вы увидели по построению графика квадратичной функции, применение различных преобразований, значительно упрощает работу по построению графиков функций. Так, например, параллельный перенос графика вдоль осей координат симметрия относительно начала координат, симметрии относительно осей ординат и абсцисс, растяжение и сжатие по осям координат и другие преобразования позволяют по уже известному (заданному) графику построить графики других функций. При этом параллельный перенос и симметрии есть движения, не меняющие форму графика, а лишь изменяющие его расположение или ориентацию на координатной плоскости. Именно знакомству с этими приемами и их применению при построении графиков функций вида

у = и посвящен наш урок.

Стих

Друзья, поверьте:

Самая интересная, полезная и лирическая

Функция корень арифметический.

Спросите вы: «Чем интересна?»

А тем, что обратная она квадратичной

И относительно прямой у=х, как известно,

Симметричны их графики обязательно.

Проходит график через точку (0,0)

И в том ещё у графика соль,

А в левую попасть и не надеется.

Но если аргументы поменяем,

Тогда по правилам кривую мы сдвигаем,

Растягиваем, если надо, иль сжимаем

И относительно осей отображаем.

Сама же функция порою убывает,

Порою по команде возрастает.

А командиром служит ей значенье ,

И подчиняется она ему всегда.

Теперь полезность мы вам четко обоснуем

И яркую картину нарисуем.

3 этап

Класс разделен на 4 группы «Параболы», «Гиперболы», «Аргументы», « Графики» .Ученикам сообщается, что сегодня будем строить графики функции у = и исследовать свойства этих функций.

Все группы выполняют одинаковые задания.

1. у =. По готовым таблицам построить график функции, описать свойства заполнить таблицу. (Приложение 1)

2. у =

3. у = -

Выводы.

а) у = — сдвиг по оси Оу на единиц вверх, если п 0, или вниз, если п