Преобразование графиков y=f(kx)

Тема нашего урока: «Преобразование графиков игрек равно эф от ка икс».

Прежде чем приступить к изучению темы, выполните упражнения. Зная графики функций игрек равно синус икс и игрек равно косинус икс, построить графики функции: игрек равно синус икс плюс два. Игрек равно два косинус икс. Игрек равно минус три синус икс.

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся еще с одним видом преобразований графиков игрек равно эф от ка икс. Сначала рассмотрим преобразование при ка больше нуля.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус икс на два.

Если икс равно пи, то игрек равно синус пи на два и равен единице. Заметим, что одна вторая находится в промежутке от нуля до единицы.

Абсциссы точек графика функции игрек равно эф от ка икс получаются делением абсцисс соответствующих точек графика функции игрек равно эф от икс на число ка. Если ка находится в промежутке от нуля до единицы, то такое преобразование называют растяжением от оси игрек с коэффициентом ка.

Зная график функции игрек равно синус икс, давайте построим график функции игрек равно синус два икс. Заметим, что если икс равен пи на два, то игрек равно нулю. Если ка больше единицы, то такое преобразование называют сжатием к оси игрек с коэффициентом ка.

Рассмотрим преобразование графиков при ка меньше нуля. Построим график функции игрек равно синус минус икс. Получим, что график функции игрек равно эф от минус икс можно получить из графика функции игрек равно эф от икс с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Однако так будет не всегда. Для построения графика игрек равно эф от минус икс есть специальный алгоритм. Рассмотрим его:

Для построения графика функции игрек равно эф от минус икс надо: первое: построить график функции игрек равно эф от икс. Второе: исследовать функцию на четность и если функция четная, то график функции игрек равно эф от минус икс совпадает с графиком функции игрек равно эф от икс. Если функция нечетная, то вместо графика функции игрек равно эф от минус икс можно построить график функции игрек равно минус эф от икс.

В нашем примере была нечетная функция игрек равно синус икс, поэтому график функции построился с помощью преобразования симметрии относительно оси игрек.

Построим график функции игрек равно косинус минус два икс.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. Построим график функции игрек равно косинус два икс. Так как косинус – четная функция, то график функции игрек равно косинус минус два икс совпадает с графиком функции игрек равно косинус два икс.

Составим алгоритм построения графика функции игрек равно эф от ка икс при ка меньше нуля. Для этого надо: первое – построить график функции игрек равно эф от икс, второе – осуществить сжатие к (растяжение от) оси игрек с коэффициентом модуль ка. Третье – растянутый график подвергнуть преобразованию относительно оси игрек, если функция нечетная; и оставить без изменения, если функция четная.

Рассмотрим пример. Построить график функции игрек равно два синус икс минус пи на два. Решение. Построим график функции игрек равно синус икс. Сместим график функции вправо на пи на два и получим график функции игрек равно синус икс минус пи на два. Растянем график функции от оси икс в два раза и получим график функции игрек равно два синус икс минус пи на два.

Рассмотрим еще один пример. Построить график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

Решение. Построим график функции игрек равно косинус икс. С помощью сжатия к оси игрек, построим график функции игрек равно косинус два икс. Сдвинем полученный график вправо на пи на три, получим график функции игрек равно косинус два икс плюс пи на три. Растянем график функции от оси икс в три раза и получим график функции игрек равно три косинус два икс плюс пи на три. Отобразим полученный график относительно оси икс и получим график функции игрек равно минус три косинус два икс плюс пи на три.

На прошлом уроке, мы с вами записывали в какую точку отобразиться точка с координатами икс игрек при различных преобразованиях. Повторим это и добавим преобразование, которое мы с вами изучали сегодня.

Преобразование эф от икс плюс а отобразит нашу точку в точку с координатами икс минус а, игрек. То есть произойдет смещение графика функции по оси икс влево, если а больше нуля и вправо, если а меньше нуля.

Преобразование эф от икс плюс бэ отобразит нашу точку в точку с координатами икс, игрек плюс бэ. То есть произойдет смещение графика функции по оси игрек вверх, если бэ больше нуля и вниз, если бэ меньше нуля.

Преобразование эм умножить на эф от икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс, эм игрек. То есть ордината каждой точки увеличится в эм раз.

Преобразование эф от ка икс отобразит нашу точку в точку с координатами икс деленное на ка, игрек. То есть абсцисса каждой точки уменьшиться в ка раз.