"Предел функции на бесконечности"

Тема: Предел функции на бесконечности.

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение.

А. Дистервег.

Цель:

Формирование математических компетенций обучающихся посредством возможностей информационно-коммуникационной среды.

Задачи:

Образовательная: в ходе изучения данной темы обучающийся должен:

знать:

• определение бесконечности;

• определение предела функции на бесконечности;

• определение предела функции на плюс бесконечности;

• определение предела функции на минус бесконечности;

• правила вычисления пределов функции на бесконечности;

• формулы вычисления предела функции на бесконечности;

• свойства непрерывных функций;

уметь: вычислять несложные пределы функций на бесконечности.

Воспитательная: прививать интерес к математике на основе исторического материала, воспитание положительной мотивации учения, правильной самооценки и чувства ответственности за результат выполнения заданий.

Развивающая: развитие логического и критического мышления, самостоятельности и способности к рефлексии, обеспечение системности учения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы и методы: словесный, наглядный, фронтальная работа, самостоятельная работа.

Оборудование: карточки для обучающихся, опорные конспекты, решение типовых примеров, компьютер.

Время: 45 мин.

Структура занятия.

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Мотивация.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Решение типовых задач.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу (эталону).

6. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

7. Рефлексия. Итоги занятия.

8. Домашнее задание.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Продолжительность работы – 2 мин.

Цель: включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне.

Приветствие: оформление журнала, пожелания друг другу удачи. Предлагаю подумать, что пригодится для успешной работы, обучающиеся высказываются; девиз, эпиграф.

Объявление темы урока «Предел функции на бесконечности, свойства» Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции»

Постановка цели и задач урока:

• Изучить определение бесконечности;

• Определение предела функции на плюс бесконечности;

• Определение предела функции на минус бесконечности;

• Свойства непрерывных функций;

научиться: вычислять несложны пределы функций на бесконечности.

Мотивация.

Продолжительность работы – 3 мин.

Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразно. То есть количественные изменения переходят в качественные. Это один из основных законов диалектики.

Одновременно с развитием понятия функции развивалась и понятие предела функции. Первоначально ввести понятие предела функции пытался

И. Ньютон, но только в XIX веке в работах А. Вейерштрасса, Б. Больцано,

О. Коши сложились определение и обозначения пределов функции, используемые и в настоящее время. Понятие предел функции лежит в основе производной.

II. Актуализация знаний.

Продолжительность работы – 5 мин.

Задание

1.Сформулировать определение функции и рассмотреть графики функций y=1/х, y=1/х² , y=1/х^m, где m-нечетное число и m-четное число.

1. Что означает равенство .

Найти пределы функций и указать их асимптоты.

Существование эквивалентно наличию горизонтальной асимптоты у графика функции y=f(x).

Прямая y=b является горизонтальной асимптотой у графика функции y=f(x).

1. Вспомнить формулы для вычисления предела функции на бесконечности

lim (1/x)= 0, lim (1/xm) = 0 lim (k/xm) = 0

x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞

Правила вычисления пределов

Если lim f(x) = b и lim g(x) =c , то

x→∞ x→∞

1) Предел суммы равен сумме пределов:

lim (f(x)+ g(x)) = b+ c

x→∞

2) Предел произведения равен произведению пределов:

lim f(x)·g(x) = b·c

x→∞

3) Предел частного равен частному пределов:

lim f(х):g(x) = b:c

x→∞

4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim k· f(x) = k · b

x→∞

1. Вычислить пределы последовательностей: (работа у доски 2 человека, с последующей проверкой)

lim (2n²+3)/(n²-4) lim (3n²-2n+5)/(2n²-7)

n→∞ n→∞

III. Изучение нового материала (сопровождается демонстрацией слайдов)

Продолжительность работы – 15 мин.

3.1 Что такое бесконечность?

Сформулируем определение предела функции на бесконечности.

3.2 Сформулируем определение предела функции на плюс бесконечности.

3.3 Сформулируем определение предела функции на минус бесконечности.

3.4 Основные свойства пределов функций.

Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?

А, что такое бесконечность?

Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Будем читать наше выражение как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к плюс бесконечности равен b

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Будем читать наше выражение как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

ИЛИ

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

IV. Первичное закрепление.

Пример. Найти

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Ребята, вспомните предел числовой последовательности

Получим:

Ответ:

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

V. Самостоятельная работа.

Продолжительность работы – 5 мин.

1. Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.

2. Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.

3. Найти пределы:

1. Найти пределы:

Правило №1

Чтобы раскрыть неопределенность вида (0/0), надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с последующим сокращением.

Правило №2

Чтобы раскрыть неопределенность вида (∞/∞), надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного.

• Самоконтроль, самопроверка.

VI. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

Продолжительность работы – 5 мин.

• Что означает существование предела функции на бесконечности?

• Какую асимптоту имеет график функции y=1/х⁴?

• Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности?

• С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились?

• Как найти lim (5-3x3) / (6x3 +2)?

x→∞

VII. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог)

Продолжительность работы – 5 мин.

Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности.

Формирование УУД:

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, адекватное понимание причин успеха или неуспеха.

Коммуникативные: аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества.

Организация учебного процесса на этапе 7.

• Что нового узнали на уроке?

• Какую цель мы ставили в начале урока?

• Наша цель достигнута?

• Что нам помогло справиться с затруднением?

• Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

• Как вы можете оценить свою работу?

Рейтинговая шкала
Этапы	Теор-ие вопросы	Фронтальная работа	Работа у доски	Сам-ая работа	Поощрит-ые баллы
Кол-во баллов	3 балла	5 баллов	3 балла	5 баллов	6 баллов
Макс-ое баллов

От 20 баллов и выше оценка – «5»

От 15 до 19 баллов оценка – «4»

От 10 до 14 баллов оценка – «3»

VIII. Домашнее задание

§31, стр.150-151 - учебник;

№669 (в), 670 (в), 671 (в), 672 (в), 673(в), 674(в), 676(в), 700 (г) – задачник.

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Нижнегридинская средняя общеобразовательная школа»

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме

«Предел функции на бесконечности»

Разработала и провела

учитель математики:

Исаева Н.Н.

2015г