Предел функции в точке

Последовательность (x_n) называется невозрастающей (неубывающей), если каждый её член, начиная со второго, не больше (не меньше) предыдущего, т. е. если для любого n выполняется неравенство x_n+1 x_n (x_n+1x_n).

Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

Последовательность (x_n) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число m), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство x_n

(x_n. Числа Mи mназываются соответственно верхней и нижней границами последовательности (x_n). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числомM (снизу числомm) , геометрически означает, что ни одна точкаx_n не лежит правее точкиM (левее точкиm).

Последовательность (x_n) называется ограниченной, если существуют два числаm и M такие, что для всех nвыполняется неравенство m. Тот факт, что последовательность ограничена числамиm и , геометрически означает, что все её члены помещаются в промежутке [m;M].

Последовательность (x_n) называется постоянной, если все её члены совпадают.

Обычно последовательность задаётся формулой, выражающей общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-й член последовательности по её известным предыдущим членам. Такой способ задания последовательности называется индуктивным(или реккурентным).

Пример. Вычислить пять первых членов последовательности x_n =

Подставив вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим

Число а называется пределом последовательностиx_n, если для любого все члены последовательностиx_n, кроме, быть может, конечного их числа, лежат в - окрестности (а-; а+ а, т. е. найдется такое натуральное число N, что при nN выполняется неравенство

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Если последовательность (x_n) имеет пределом число а, то пишут В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу а.

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Отметим свойства бесконечно малых последовательностей.

1⁰. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

2⁰. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой.

Следствие. Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

3^0. Для того, чтобы выполнялось равенствоа, необходимо и достаточно, чтобы x_n = a +

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого M0 найдется такое натуральное число N, что при любых nвыполняется неравенство. В этом случае пишут

Еслии все числа , начиная с некоторого номера N, положительны, то последовательность (a_n) стремится к + если все числа , начиная с некоторого номера N, отрицательны, то последовательность (a_n) стремится к -

Если (a_n) – бесконечно большая последовательность, то последовательность (1/a_n) – бесконечно малая. Наоборот, если (a_n) – бесконечно малая последовательность, то (1/a_n) – бесконечно большая.

Лекция 2.

Тема « Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Раскрытие неопределённостей»

Определение: Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а, если для любого

выполняется неравенство:

. Это записывается так:

Функция f(x) называется бесконечно малой при х, если:

Функция f(x) называется бесконечно большой при х, если:

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1⁰. Если функции f(x) и g(x) – бесконечно малые при х, то их сумма

f(x) + g(x) при х также является бесконечно малой.

2⁰. Если функция f(x) – бесконечно малая при х, а F(x) – ограниченная функция, то их произведение f(x) F(x) – есть функция бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

3⁰. Если при х функция f(x) имеет конечный предел

функция g(x) – бесконечно большая, то

а = 0

4⁰. Если функция f(x) – бесконечно малая при х, то функция 1/ f(x) – бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки а функция f(x) не обращается в нуль. Наоборот, если при х функция g(x) – бесконечно большая, то функция 1/ g(x) – бесконечно малая.

Теоремы о пределах.

Т₁: Если основная элементарная функция определена в предельной точке х=а, то

Т₂: Если С – постоянная величина, то = С

Т₃: Если С – постоянная величина, то = С

Т₄: Если существуют конечные пределыи

1. = (предел суммы

равен сумме пределов)

2. = предел

произведения равен произведению пределов)

3. = , (предел отношения равен

отношению пределов)

4.

Лекция 3.

Техника вычисления пределов

Примеры. Вычислить пределы:

1.

По правилу нахождения предела многочлена находим

= 5 = 13

2.

Здесь предел числителя равен нулю (4х – 8) = 4 Следовательно теорему о пределе частного применить нельзя. Так как

(4х – 8) = 0, то 4х – 8 при хесть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая. Поэтому при хпроизведение

3.

Здесь пределы числителя и знаменателя при х равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при х получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.

= = = =

4.

Пределы числителя и знаменателя при х равны нулю:

( и (. Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах²+вх+с = а(х – х₁)(х – х₂), где х₁ и х₂ - корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на х-3. Получим

= = =

5.

Пределы числителя и знаменателя при х равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель

+ и затем сократив дробь на х, получим

= =

= = -

6.

При х числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение /, которое представляет собой неопределенность Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень аргумента, т. е. на х⁴:

= = =

Задание 2.

Раскрыть неопределенность вычислить пределы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

• устный опрос.

1. Какие теоремы о пределах вы знаете?

2. Как раскрывается неопределенность вида ?

3. Как раскрывается неопределенность вида

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия

ПрактическАЯ РАБОТА№ 2

Тема: Техника вычисления пределов

Цели:

• научиться раскрывать неопределенности вида .

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за верное выполнение любых десяти заданий работы

оценка «3» ставится за верное выполнение любых восьми заданий работы

Порядок выполнения работы

Задание 1.

Вычислить пределы, используя изученные теоремы о пределах.

1..

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Раскрыть неопределенность вычислить пределы:

10.

11.

12.

13.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия

ПрактическАЯ РАБОТА№ 3

Тема: Применение первого и второго замечательных пределов для раскрытия неопределенностей.

Цели:

• ознакомиться с формулой, выражающей первый замечательный предел;

• ознакомиться с формулой, выражающей второй замечательный предел;

• научиться применять первый и второй замечательные пределы для раскрытия неопределенностей

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за верное выполнение любых двенадцати заданий работы

оценка «3» ставится за верное выполнение любых девяти заданий работы

Порядок выполнения работы

Задание 1.

1. Ознакомиться с лекцией 4

2. Выписать в тетрадь первый и второй замечательные пределы

3. Записать в тетрадь решение примеров 1 – 6.

Лекция 4.

Тема «Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел»

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется предел отношения синуса дуги к самой дуге:

= = 1

Эта формула носит название первого замечательного предела. Рассмотрим примеры на применение этой формулы.

Пример 1.

Очевидно, что при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на

1 + , получим

= = =

= =

Пример 2.

Преобразуя заданное выражение и используя первый замечательный предел, получим = = =

Пример 3.

Преобразовав разность косинусов в произведение по формуле

cos - cos = - 2 sinsin,получим:

= 2 = 4sinx = 4

Имеет место соотношение = е, которое называется вторым замечательным пределом. Числое – иррациональное

(е Логарифмы с основанием е называются натуральными, для них введено обозначение ln.

Пример 4.

Выполнив преобразования и используя второй замечательный предел, находим: = = [³ = e³

Пример 5.= = [¹⁰ = e¹⁰

Пример 6.= = [^-1 = e^-1

Задание 2.

1 Вычисление пределов тригонометрических выражений

1.

2.

2. Первый замечательный предел: = = 1

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3. Второй замечательный предел: = е

11.

12.

13.

14.

15.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

• устный опрос.

1. Какая формула называется первым замечательным пределом?

2. Какая формула называется вторым замечательным пределом?

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия