Практическая работа по теме Методы вычисления определенного интеграла

Практическая работа по теме

Методы вычисления определенного интеграла.

Цель: рассмотреть вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной. Теоретические сведения.

1. Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное.

Данный метод позволяет свести исходный определенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Если функции u= u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула интегрирования по частям:

Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, какую часть подынтегрального выражения брать за u, а какую за dv

Рассмотрим стандартные случаи.

• Для интегралов вида , или , где P_n(x) - многочлен, a– число. Удобно принять u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.

• Интегралы вида , , , , . Удобно принять P(x) = dv, а за u все остальные сомножители.

• Интегралы вида , , где a и b числа. За u можно принять функцию u = е^ах.

Пример 1. Вычислить

Решение.

.

Пример 2. Вычислить

Решение.

.

1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой).

Пусть для интеграла от непрерывной функции сделана подстановка x = (t).

Если: 1) функция x = (t) и ее производная х^/ = ^/(t) непрерывны при t[;];

2) множеством значений функции x = (t) при t[;] является отрезок [a;b]

3) () = a и () = b, то

Отметим, что: 1) При вычислении определённого интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки x = (t) применяют подстановку t = g(x);

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Алгоритм вычисления определенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Находят новые пределы интегрирования.

5. Производят замену под интегралом.

6. Находят полученный интеграл.

Пример 1. Вычислить

Решение. Замена: t = x² -16; dt = 2x dx; dx= .

Найдём новые пределы интегрирования. При x = 4, = t(4) = 4² -16 =0; x = 5, = t(5) = 5² -16 =9.

Получаем:

.

Пример 2. Вычислить

Решение. Замена: t = , .

t -1 =, 2x + 1 = (t – 1)², , dx = (t -1)dt.

Найдём новые пределы интегрирования. При x = 0, = t(0) = 2; x = 4, =t(4)=4.

Получаем:

.

Задания для самостоятельного решения.

Вариант 1.

1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:

а) ; б)

2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:

а) ; б)

Вариант 2.

1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:

а) ; б)

2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:

а) ; б)

Контрольные вопросы.

1. Что такое определенный интеграл?

2.Какими свойствами обладает определенный интеграл?

3.Что такое формула Ньютона-Лейбница?

4.Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?

5.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?

Литература.

1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова – М.: Физматлит, 2001.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001.

3. Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. - М.: Форум ; Инфра -М, 2003.-552 с. (411)/(30)

Практическая работа по теме

Применение определенного интеграла к решению практических задач.

Цель: рассмотреть применение интегралов к решению физических задач, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с физикой.

Теоретические сведения.

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики.

1. Путь при прямолинейном движении тела

Путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени [t₁,t₂], выражается интегралом .

Пример. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=2t+3t² (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение: применим формулу: тогда имеем:

.

1. Вычисление работы силы

Пусть под действием некоторой силы f(х) материальная точка М движется по прямой в направлении оси Ох. Требуется найти работу, произведенную силой f(х) при перемещении точки М из положения х=х₁ в положение х=х₂.

1) Если сила постоянна f(х)=С, то работа выражается следующим образом А=С(х₂-х₁).

2) Если сила переменная величина, то .

Пример. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила 10 Н.

Решение. Сила F и перемещение S по условию зависимостью F=kS, k- постоянная (закон Гука). Выразим S в метрах, F – в ньютонах. При S = 0,01 м F=10 Н, т.е. 10=k0,01, откуда k= 1000, F=1000S. Применим формулу:

1. Сила давления жидкости.

Пусть пластинка, имеющая вид криволинейной трапеции, погружена вертикально в жидкость, плотность которой ρ, таким образом, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня на расстояниях a и b соответственно (рис.1.). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку

Если пластинка находится в горизонтальном положении на глубине h от поверхности жидкости, то сила давлений P жидкости на эту пластинку будет равна весу столба жидкости, основанием которого является данная пластинка, а высотой – глубина h, т.е. P=gρhS , где

g =9, м/с – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки.

Если же пластинка догружена в жидкость вертикально, то давление жидкости – сила давления на единицу площади – изменяется с глубиной погружения.

По закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково по всем направлениям, в том числе и на вертикальную пластинку.

Выберем систему координат так, как показано на рис.1. Пусть уравнение кривой AB имеет вид y=f(x), где функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b].

Тогда давление жидкости на пластину выражается определенным интегралом .

Если в жидкость вертикально погружена пластинка A₁B₁B₂A₂ (рис.2), ограниченная прямыми x= a , x=b и кривыми y= y₁(x) , y=y₂ (x), то сила давления на эту пластинку вычисляется по формуле

1. Вычисление объема тела

По определению определённого интеграла - если ось Ох – ось вращения. И , если осью вращения является ось Оу.

Пример. Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= x²,у=1, х=2, вокруг оси Ох.

Решение. Найдем пределы интегрирования: из условия задачи уже имеем: х₂ = 2. Найдем нижний предел: у= х²=1 х₁=1

Найдем объемы тел, как разность объемов двух тел вращения:

(кв. ед)

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант1.

1. Найдите величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 8м, высота 12м, верхнее основание параллельно свободной поверхности води и находится на глубине 5м. (Ответ: 1,05610⁴Н)

2. Два электрических заряда Кл и Кл находятся на оси Ох соответственно в точках х₁=0 и х₂=1. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку х=10? (Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона: Н)

3. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=4t+9t²(м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения.

4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х=0, у=2 вокруг оси Оу.

Вариант 2.

1. Вычислите силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции, верхнее основание которой а=6,4м, нижнее в=4,2м, а высота Н=3м. (Ответ: 2,2210⁵Н)

2. Два электрических заряда Кл и Кл находятся на оси Ох соответственно в точках х₁=0 и х₂=1. Какая работа будет произведена, если первый заряд переместится в точку х=10? (Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона: Н)

3. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=8t+12t²(м/с). Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения.

4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х=0, у=2 вокруг оси Оу.

Контрольные вопросы.

1. Выведите формулу для вычисления пути, прямолинейно движущегося тела.

2. Как вычисляется работа переменной силы с помощью определенного интеграла?

3. Выведите формулу для вычисления давления жидкости.

Литература.

Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. - М.: Форум ; Инфра -М, 2003.-552 с. (411)/(30)

Практическая работа по теме

Решение дифференциальных уравнений.

Цель: рассмотреть решение дифференциальных уравнений первого порядка, выработать практические навыки решения дифференциальных уравнений.

Теоретические сведения

Определение. Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную (переменные), неизвестную функцию и ее производные. Если неизвестная функция - это функция одной переменной, то уравнение называется обыкновенным, если нескольких переменных - то уравнением в частных производных.

F (x, y, y', y'',…, y⁽ⁿ⁾) = 0. Порядок уравнения определяется порядком его старшей производной.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция y = (x) которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F (x, y, y' ) = 0. Выразим производную:

y' = f (x, y). (*)

Дифференциальное уравнение может быть записано через дифференциалы

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0.

Определение. Условие равенства y = y ₀ при x = x ₀ называется начальным условием.

Определение. Общим решением уравнения (*) называется функция

y = (x, C), зависящая от произвольной постоянной C и удовлетворяющая условиям:

1. при любом значении С* функция y = (x, C*) является решением (*);

2. для любой точки M_o (x_o, y_o) D существует значение постоянной С=С₀, что

^y₀ = (x₀, C₀) .

Общее решение, когда переменная y не выражается через переменную x, называется общим интегралом Ф (x, y, C) = 0.

Определение. Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной C=C₀. Аналогично получается частный интеграл Ф (x, y, C₀) = 0.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Замечание. Не любое частное решение может быть получено из общего решения. Если есть такое решение уравнения, то его будем называть особым.

Типы уравнений первого порядка и способы их решений

I. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах:

у ' = g (x) h(у) (1) или

M₁(x) M₂(у) dx + N₁(x) N₂(у) dy = 0. (1')

Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, т.е. с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только x , с другой - только у:

у ' = g (x) h(у); M₁(x) M₂(у) dx + N₁(x) N₂(у) dy = 0;

; M₁(x) M₂(у) dx = - N₁(x) N₂(у) dy ;

; ;

. .

Решения записаны с помощью интегралов, полученных при интегрировании уравнения. Эти решения содержат произвольную константу интегрирования и являются общими. А особые решения можно получить, решая алгебраические уравнения h(у) = 0; N₁(x) = 0; M₂(у) = 0.

Пример 1. Решить уравнение 3 x In xу' = 5у - 4уIn x.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно, после преобразования получим

Интегрируем полученное уравнение:

Рассмотрим два случая:

1. y = 0. Легко убедиться, что данная функция является решением уравнения.

2. ; ;

; ;

.

Здесь постоянная интегрирования представлена для удобства в виде логарифма, а модули отброшены, т.к. постоянная C может принимать и положительные и отрицательные значения. Функция, полученная в случае 2, является общим решением и включает в себя также решение случая 1, получаемое при C = 0.

II. Однородные уравнения первого порядка

Определение. Функция z = f (x, y) называется однородной функцией порядка к, если f (х, y) = ^к f (x, y).

Определение. Уравнение y ' = f (х, y) называется однородным, если f(х,у) является однородной функцией порядка 0. Тогда, принимая  = 1/ х, получаем

y' = f(х, y) =

Таким образом, уравнение первого порядка является однородным, если его правая часть представима в виде функции, зависящей только от отношения переменных х и y

(2)

Однородное уравнение решается с помощью замены. При этом

y =tх, y' =t'х +1. В новых переменных уравнение разрешает разделение переменных:

Пример 2. Найти частное решение уравнения ; y(1) = 0.

Решение. Покажем, что это уравнение однородное. Выразим производную

Правая часть уравнения зависит только от отношения переменных у и x, следовательно, уравнение - однородное. Введя замену , получим

Вычислим интеграл слева:

Общий интеграл уравнения может быть записан в следующем виде:

Подставим в полученное решение в начальное

Таким образом, получим частный интеграл уравнения

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 1. Решить уравнения с разделяющимися переменными

Вариант 1.

1. y' =2е^3х – 4х² + 6. у(0) = 2

2. 2х(2+у) dy = (x²-7)(y-9) dx

Вариант 2.

1. y' =4е^2х – 2х² + 3. у(1) = 3

2. (4xу²- xy) dx = (xy+x+y+1) dy

Задание 2. Решите однородное уравнение первого порядка

Вариант 1.

1. x5y -7x. у(1) = 2

2. 11y y' = 3x+ y

Вариант 2.

1. 3xy' =2e +9x. у(2) = 1

2. y y' = = x-y

Контрольные вопросы

1. Что называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?

2. Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

3. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?

4. Какая замена неизвестной функции позволяет свести однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка к уравнению с разделяющимися перемнными?

Литература.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.:

Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

2. Демидович Б.П. (ред.). Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. – М.: АСТ, 2001. – 496 с.

3. Зайцев В.Ф., А.Д. Полянин. Спрвавочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.

Практическая работа по теме

Численные методы вычисления определенного интеграла.

Цель. Познакомиться с вычислением интегралов по формулам прямоугольников и трапеций, приобрести навыки в реализации этих методов.

Теоретические сведения.

На практике часто приходится встречаться с определёнными интегралами, значения которых нельзя вычислить точно. Возникает необходимость приближённого вычисления определённых интегралов или численного интегрирования. Методы численного интегрирования применяются и в тех случаях, когда вычисление интегралов является слишком громоздким и при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.

Обычный прием механической квадратуры состоит в следующем:

• Данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a;b] заменяют интерполируемой или аппроксимируемой функцией (х) простого вида;

• Затем приближенно полагают:

• Функция (х) должна быть такой, чтобы интеграл вычислялся непосредственно.

Рассмотрим некоторые методы вычисления определенных интегралов.

Метод прямоугольников.

Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции:

Для этого отрезок [a; b] разобьем на n равных отрезков точками: а=x₀,x₁,...,x_n= b.

На каждом получившемся отрезке можно вычислить площадь прямоугольника. И так на отрезке [x₀; x₁] f(x)≈₀(x)≈y₀, а площадь

, и т.д.

Суммируя площади S₁, S_2,…, S_n, получим приближенно площадь всей фигуры, а следовательно и значение определенного интеграла во всему отрезку [a; b]:

,

. (1) –формула прямоугольников с недостатком;

(2) –формула прямоугольников с избытком.

Ошибка, получаемая при вычислении определенного интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n, т.е. чем меньше шаг h. Формула дает точное значение, если подынтегральная функция f(x) является многочленом нулевой степени, т.е. постоянна.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами: – абсолютная погрешность;

- относительная погрешность.

Пример. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей.

Тогда а = 2, b = 5 , - шаг разбиения, - узлы разбиения.

.; f(x₀) = 2²= 4

; f(x₁) = 2 ,5²= 6,25

; f(x₂) = 3²= 9

; f(x₃) = 3,5²= 12,25

; f(x₄) = 4²= 16

. f(x₅) = 4,5²= 20,25.

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5
х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

По формуле (1):

Для того чтобы вычислить относительную погрешность вычислений по формуле Ньютона-Лейбница находим точное значение интеграла:

Вычислим погрешность: ,

Метод трапеций.

Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции:

Для этого отрезок [a; b] разобьем на n равных отрезков точками: а=x₀,x₁,...,x_n= b.

На каждом отрезке разбиения функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом Ньютона первой степени, т.е. кривая y=f(x) на каждом участке заменяется прямой, проходящей через две точки. В этом случае площадь элементарной трапеции на отрезке [x_i; x_i+1] заменяется площадью прямоугольной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на отрезке [x₀; x₁]:

f(x)≈_i(x)≈y_{0 +} ;

Аналогично находим площади на других отрезках. Суммируя эти площади получим:

,

(3)- формула трапеций. Она дает хороший результат при большом n.

Пример. Вычислить определенный интеграл методом трапеций для n=10. Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение: при разбиении отрезка на 10 равных частей получаем а = 0, b = 5 , - шаг разбиения, - узлы разбиения.

.; f(x₀) =

; f(x₁) =

; f(x₂) =

; f(x₃) =

; f(x₄) =

; f(x₅) =

; f(x₆) =

; f(x₇) =

; f(x₈) =

; f(x₉) =

; f(x₁₀) =

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
у	7	5,6	3,5	2,1538	1,4	0,9655	0,7	0,5283	0,4117	0,3294	0,2692

По формуле (3):

.

Для того чтобы вычислить относительную погрешность вычислений по формуле Ньютона-Лейбница находим точное значение интеграла:

Вычислим погрешность: ,

Задание для самостоятельного решения.

Вычислить интеграл с помощью

1. Методом прямоугольника 2) Методом трапеций. Найдите погрешность. Сравните полученные результаты.

Вариант 1. А) , разделив отрезок [2;6] на пять равных частей.

Б) с шагом h= 0,1

Вариант 2. А) , разделив отрезок [0;3] на пять равных частей.

Б) с шагом h= 0,1

Контрольные вопросы.

1. В каких случаях используется численное интегрирование функции?

2. В чем заключается общая задача численного интегрирования функции?

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Опишите метод прямоугольников.

5. Опишите метод трапеций.

Литература.

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Росткнига, 2008г.

2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. –М.: Просвещение, 1991.

3. Лапчик М.П. Численные методы: Учебное пособие для студентов вузов. –М.: Издательский центр «Академия», 2004.

Практическая работа по теме

Множества и операции над ними

Цель: На конкретных примерах разобраться с конечными множествами и операциями над ними. Закрепить полученные знания по данной тематике при решении задач.

Теоретические сведения

1. Понятие о множестве

Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин "множество" в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают ∅.

Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие.

Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Например, мы знаем, что американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: «Столиц штатов ровно столько, сколько штатов».

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество студентов в группе и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается m (A).

Пример 1. Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6, 8} больше.

Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m(A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) m (B).

Однако если мы имеем дело с бесконечными множествами, то пересчитать элементы множества уже не удастся. Но иногда можно, как говорят, установить взаимно однозначное соответствие между двумя бесконечными множествами.

Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов.

В теории множеств аналогичные утверждения используются даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность.

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел).

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…, а их элементы - малыми: а, в, с…

Запись аA означает, что элемент а принадлежит множеству A, то есть а является элементом множества A. В противном случае, когда а не принадлежит множеству A, пишут аA.

Для задания множества следует:

1. Перечислить его элементы, например А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15).

2. Указать свойства элементов множества, например A= {x| x²≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию x² ≤ 4.

Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов.

Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Множество B называют подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А. Обозначается В⊂А.

Множество - А={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множество - В={1,3,5,7,9}

Пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N: А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1}. В этом случае А = С; C⊂A и A⊂C, B⊂A.

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅⊂А.

2. Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. для любого множества А справедливо включение А⊂А.

3. Если А - подмножество множества B, а B - подмножество множества C, то А - подмножество множества C.

Примеры.

1. Множество детей является подмножеством всего населения.

2. Пусть множество А - множество красных яблок, а B - множество всех яблок. Тогда А⊂B.

3. Множество студентов-филологов третьего курса есть подмножество множества всех студентов университета.

Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Вена. Замкнутая линия – круг Эйлера – ограничивает множество. (рис. 1-2 – диаграммы Эйлера-Вена)

2. Операции над множествами.

1. Пересечение множеств

Пусть даны два множества А и В.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A ∩ B. A∩B = {х | х ∈ A и х ∈ B}. Аналогично определяется пересечение любого числа множеств. Графически удобно пересечение множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера–Венна

Примеры

1. А = {2n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 2, B = {3n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 6.

2. А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда A ∩ B — отрезок [2; 5].

2. Объединение множеств

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B.

A ∪ B = {х | х ∈ A или х ∈ B}.

Аналогично определяется объединение любого числа множеств.

Примеры

1. А = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, тогда

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}.

2. А = [0; 7], В = [3; 10], тогда A ∪ B = [0; 10].

3. Разность множеств

Разностью (дополнением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B .

A \ B = {х | х ∈ A и х  B}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному множеству А или В, обозначают A  B.

(A \ B) ∪ (В \ А)

Часто при решении задач вводят универсальное множество U — это самое большое множество элементов, рассматриваемых в задаче.

Дополнением множества A до универсального называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A. Обозначают дополнение множества .

= U \ A= {х | х ∈ U, хA}

Примеры

1. А = [–2; 0), B = [–1; 3). Тогда A \ B = [–2; –1), а B \ A = [0; 3).

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.

Вариант 1.

1. Установить, какая из двух записей верна:

{1,2}∈{1,2,{1,2}} и {1,2}⊂{1,2,{1,2}}.

2. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой: .

3. Равны ли следующие множества:

а) А = {1, 2, 3}, В = {I, II, III};

б) A = , B = {1², 2², 3², 4²}. (квадратные корни – арифметические)

4. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B, если

A = [3; 7], B = [0, 9]. Определите мощность каждого множества.

Вариант 2.

1. Установить, какая из двух записей верна:

{1,2}∈{1,2,{1,2,3}} и {1,2}⊂{1,2,{1,2,3}}.

2. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой: .

3. Равны ли следующие множества:

а) А = {2, 4, 6}, В = {6, 4, 2};

б) A ={{1, 2}; {2, 3}}, B = {2, 3, 1}.

4. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B, если

A = [-8; 7], B = [1, 8]. Определите мощность каждого множества.

Задание 2.

а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;

б) связаны ли пары одним из соотношений: =, , ;

в) найдите пересечение ;

г) найдите разности ;

д) найдите ;

е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

Вариант 1. 1) А={а, б, в, г, д, е}, В={а, в, д, ж}; 2) А={г, д, е}, В={а, б, в}; 3) А={2,4, 6, 8}, В={2}; 4) А={1, 2, 3,4,…}, В={1, 4, 9, 16, …}; 5) А – множество нечетных натуральных чисел; В – множество простых чисел, больших, чем 2.

Вариант 2. 1) А={а, б, в}, В={а, б, в, г, д}; 2) А={е, д, г}, В={г, д, е}; 3) А={8, 10, 12,…}, В={2, 4, 6, 8,…}; 4) А={3,5, 7, 9}, В={3}; 5) А – множество четных натуральных чисел; В – множество простых чисел, больших, чем 2.

Задание 3.

Записать двумя способами с помощью символов операций объединения, пересечения, разности, дополнения к множеству заштрихованную часть на предложенном рисунке. Доказать правильность полученного результата.

Вариант 1.

Вариант 2.

Контрольные вопросы.

1. Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие пустыми?

2. Что значит задать множество?

3. Какие множества называются равными? Когда два конечных множества будут равными?

4. Когда множество называют подмножеством множества ? Как множество в этом случае называется по отношению к множеству ?

5. Что такое объединение двух множеств? Какое его обозначение?

6. Что такое пересечение двух множеств? Какое его обозначение?

7. Что такое разность двух множеств? Какое его обозначение?

8. Что такое дополнение множества до множества ? Какое его обозначение?

Литература:

1. Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

2. Учебное пособие для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики / Под ред. Н.Я. Виленкина. – М: Просвещение, 2001.

3. Дидактический материал для классов с углубленным изучением математики / М.С. Бухтяк, С.Я. Гриншпон, И.Э. Гриншпон и др. – Томск, 1992.