Практические работы по математике для студентов 2 курса

Практическая работа № 1.

Вариант 1.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

   1. 

   2. 

   3. 

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Практическая работа № 1.

Вариант 2.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

   1. 

   2. 

   3. 

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Практическая работа № 1.

Вариант 3.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

   1. 

   2. 

   3. 

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Практическая работа № 1.

Вариант 4.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

   1. 

   2. 

   3. 

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Практическая работа № 1.

Вариант 5.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

   1. 

   2. 

   3. 

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Практическая работа № 1.

Вариант 6.

Тема: «Вычисление пределов простейших функций».

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

ХОД РАБОТЫ:

1. Найти предел функции:

2. Найти предел функции и графически изобразить решение:

   1. при

   2. при

   3. при

3. Использовать понятие первого замечательного предела для нахождения предела данной функции:

Математика 2 курс

Практическая работа № 2.

Вариант 1.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

2. Вычислите производную функции в заданных точках:

   1. в точках х = 0, х = - 1, х = 2.

   2. в точке .

3. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

   1. ;

   2. ;

   3. .

4. Найти значения х при которых значения производной функции отрицательны.

Практическая работа № 2.

Вариант 2.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

1. Вычислите производную функции в заданных точках:

1. в точках х = 0, х = 2.

2. в точке .

1. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

1. Найти значения х при которых значения производной функции положительны.

Практическая работа № 2.

Вариант 3.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

1. Вычислите производную функции в заданных точках:

1. в точках х = 0, х = 2.

2. в точке .

1. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

1. Найти значения х при которых значения производной функции равны нулю.

Практическая работа № 2.

Вариант 4.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

1. Вычислите производную функции в заданных точках:

1. в точках х = 0, х = 2.

2. в точке .

1. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

1. Найти значения х при которых значения производной функции отрицательны.

Практическая работа № 2.

Вариант 5.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

1. Вычислите производную функции в заданных точках:

1. в точках х = 0, х = - 1, х = 2.

2. в точках х = 0, х = 2.

1. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

1. Найти значения х при которых значения производной функции отрицательны.

Практическая работа № 2.

Вариант 6.

Тема: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций с помощью схемы вычисления и таблицы для производных. Применять на практике теоремы дифференцирования.

Ход работы.

1. Используя схему вычисления производной, найдите производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

1. Вычислите производную функции в заданных точках:

1. в точках х = 0, х = - 1, х = 2.

2. в точке .

1. Применяя теоремы дифференцирования и таблицу для производных, вычислите производные функции:

1. ;

2. ;

3. .

1. Найти значения х при которых значения производной функции равны нулю.

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа №3

Вариант 1

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Практическая работа №3

Вариант 2

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Практическая работа №3

Вариант 3

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Практическая работа №3

Вариант 4

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Практическая работа №3

Вариант 5

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Практическая работа №3

Вариант 6

Тема: Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель: Научиться применять производные первого и второго порядка для исследования функции и построения графика.

Ход работы.

Исследовать функцию и построить график.

Схема исследования:

1. Определить область определения.

2. Найти первую производную.

3. Найти критические точки.

4. Исследовать функцию на монотонность.

5. Определить четность или нечетность функции.

6. Найти вторую производную.

7. Найти точки перегиба, если они имеются.

8. Определить области выпуклости и вогнутости функции.

9. Найти значения функции в критических точках.

10. Построить график функции.

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа № 4.

Вариант 1.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Практическая работа № 4.

Вариант 2.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Практическая работа № 4.

Вариант 3.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Практическая работа № 4.

Вариант 4.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Практическая работа № 4.

Вариант 5.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Практическая работа № 4.

Вариант 6.

Тема: Использование производной и дифференциала для решения прикладных задач.

Цель: Отработать навыки вычисления пределов. Использование первого и второго замечательного предела для вычислений.

Ход работы.

1. Используя механический смысл первой и второй производной (v(t) = S′(t); a(t) = v′(t)) решить задачу:

Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в секундах, выражается формулой .

1. Найти скорость точки в любой момент времени.

2. Вычислить скорость точки в момент t = 3 c.

3. Найти ускорение точки в любой момент времени.

4. Вычислить ускорение точки в момент t = 4 c.

1. Используя геометрический смысл производной решить задачу:

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . Написать уравнение касательной в этой точке.

1. Найти точки перегиба функции .

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа № 5.

Вариант 1.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

   1. ;

   2. .

Практическая работа № 5

Вариант 2.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

1. ;

2. .

Практическая работа № 5.

Вариант 3.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

1. ;

2. .

Практическая работа № 5

Вариант 4.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

1. ;

2. .

Практическая работа № 5.

Вариант 5.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

1. ;

2. .

Практическая работа № 5

Вариант 6.

Тема: Вычисление определённого и неопределённого интегралов.

Цель: Научиться находить определенные интегралы, используя свойства и теоремы интегрирования. Научиться применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения определенного интеграла.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. Воспользовавшись методом непосредственного интегрирования найти следующие определенные интегралы:

1. ;

2. .

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа № 6.

Вариант 1.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 3 секунды от начала отсчета и за 10 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила равная 10 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Практическая работа № 6.

Вариант 2.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 2 секунды от начала отсчета и за 5 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила равная 20 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Практическая работа № 6.

Вариант 3.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 5 секунды от начала отсчета и за 12 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила равная 15 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Практическая работа № 6.

Вариант 4.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 3 секунды от начала отсчета и за 7 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила равная 10 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Практическая работа № 6.

Вариант 5.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 3 секунды от начала отсчета и за 8 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,05 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила равная 15 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Практическая работа № 6.

Вариант 6.

Тема: Решение физических и технических задач связанных с понятием определенного интеграла.

Цель: Научиться использовать определенный интеграл для решения физических задач.

Ход работы.

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь пройденный телом за 2 секунды от начала отсчета и за 6 секунд.

1. Задача на вычисление работы силы упругости:

Сжатие х винтовой пружины, пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,02 м нужна сила равная 20 Н.

(При решении задачи воспользуйтесь формулой . Для нахождения F(x) воспользуйтесь законом Гука F = kx).

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа № 7.

Вариант 1.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

   1. ;

   2. .

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = 5 – х², х = 0,5 и х = 1,5, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 0 и . Постройте заданные линии.

Практическая работа № 7.

Вариант 2.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. ;

2. .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями , х=2 и х = 3,5, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 0 и . Постройте заданные линии.

Практическая работа № 7.

Вариант 3.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. ;

2. .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями , х= 1 и х = 3,5, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 0 и . Постройте заданные линии.

Практическая работа № 7.

Вариант 4.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. ;

2. .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = х³ + 1, х = 0 и х = 2, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 0 и . Постройте заданные линии.

Практическая работа № 7.

Вариант 5.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. ;

2. .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = 6 – х², х = 2,5 и х = 4,5, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 1 и . Постройте заданные линии.

Практическая работа № 7.

Вариант 1.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить площади плоских фигур.

Ход работы.

1. Вычислите определенные интегралы элементарных функций:

1. ;

2. .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = 5 – х², х = 0,5 и х = 1,5, а также осью х. Для вычисления воспользуйтесь следующей формулой: .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями , у = 0, х = 1 и . Постройте заданные линии.

Математика 2 курс

Математика 2 курс

Практическая работа № 8.

Тема: Вычисление объемов тел вращения.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла. Научиться находить объемы тел вращения.

Теоретический материал

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, может быть выражена как функция от x, т.е. в виде , то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ox плоскостями x = a и x = b, находится по формуле .

Вычисление объема тела вращения.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми у = 0, х = а, x = b вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле.

Если фигура, ограниченная кривыми и и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле .

Примеры.

Пример 1. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х=0 и х=1.

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1, не забывая при этом, что уравнение х = 0 задает ось Оу.

Искомая фигура заштрихована синим цветом. Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси Ох, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂.

И, очевидно, разность объемов V = V₁ – V₂ – в точности объем искомой фигуры.

Используем формулу для нахождения объема тела вращения: 

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой y = x + 4, поэтому: .

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой y = 2x + 1, поэтому: .

3) Объем искомого тела вращения: .

Ответ:  .

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ox плоской фигуры, ограниченной линиями , , где  .

Решение: Выполним чертеж:

Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы: .
В данном случае:

Ответ:  V = π ед³. ≈ 3,14 ед³.

Пример 3. Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси Оу.

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

Легко заметить, что функция  задает верхнюю ветку параболы, а функция  – нижнюю ветку параболы.

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Применим более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси Оу.

Для параболы:

Для прямой:  

Теперь смотрим на ось Оу.

пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений!

Нужная нам фигура лежит на отрезке [2; 5], который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке [2; 5] прямая х = у - 1 расположена выше параболы , а значит, площадь фигуры следует найти по формуле: .

! Примечание: Пределы интегрирования по оси Оу следует расставлять строго снизу вверх!

Находим площадь:

На отрезке [2; 5] , поэтому:

.

Ответ: 

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси Оу.

Перерисую чертеж немного в другом оформлении.

Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси Оу. В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси Оу.

Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси Оу, в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через V₁.

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси Оу и обозначаем через V₂ объем полученного тела вращения.

Объем нашей «бабочки» равен разности объемов V = V₁ – V₂.

Используем  формулу для нахождения объема тела вращения: .

Ответ:  

Пример 4. Плоская фигура ограничена графиком параболы .Вычислить объем тела вращения.

Решение: Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

.

Ответ:

Пример 5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2х – у – 2 = 0, у=0, х=3.

Решение: Выполним чертеж. Объем тела вращения:

Ответ:

Пример 6. Дана плоская фигура, ограниченная линиями x = 2, и осью Ox.

a) Перейти к обратным функциям и найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, интегрированием по переменной y.

б) Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси Оу.

Решение:
1) Выполним чертёж.
Перейдем к обратной функции:
На отрезке [- ln 2; 0] 2 ≥ e^-y, поэтому:

Ответ:  

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси Oy.
Объем тела вращения найдем как разность объемов тел вращения при помощи формулы :

Ответ: 

Задания для самостоятельной работы по теме:

Математика 2 курс

Практическая работа № 9

Тема: Использование определенного интеграла для решения задач прикладного характера.

Цель: Отработать навыки нахождения определенного интеграла для решения задач прикладного характера.

Примеры.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения заданных линий.

Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение: или .

Находим: x₁ = – 2, x₂ = 4. Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

.

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. Найдем точки пересечения линий , , приравнивая ординаты линий: или . Находим корни x₁ = – 1 , x₂ = 3 и соответствующие им ординаты y₁ = 2, y₂ = – 2.

По формуле площади фигуры получаем

Пример 3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x² + 1 и прямой x + y = 3.

Решение.

Решая систему уравнений находим абсциссы точек пересечения x₁ = – 2 и x₂ = 1.

Полагая y₂ = 3 – x и y₁ = x² + 1, на основании формулы  получаем

Пример 4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и x = y².

Решение.

Решим систему уравнений

и получим x₁ = 0, x₂ = 1, y₁ = 0, y₂ = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

Пример 5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Решение.

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

.

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Задания для самостоятельной работы по теме:

Вариант 1.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x² + 5 и прямой x + y = 6.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и x = 9y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Вариант 2.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = 2x² + 1 и прямой x + y = 1.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = 4x² и x = y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Вариант 3.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = 3x² + 5 и прямой x + y = 4.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = 9x² и x = 4y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Вариант 4.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x² – 5 и прямой x – y = 6.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = 3x² и x = 4y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Вариант 5.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x² + 5 и прямой x + y = 6.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = 2x² и x = 4y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Вариант 6.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

3. Определить площадь, ограниченную параболой y = x² + 2 и прямой x – y = 1.

4. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = 2x² и x = 4y².

5. Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = cos x на отрезках:

а) [0, π]; б) [0, 2π].

Математика 2 курс

Практическая работа.

Вариант 1.

Тема: Выполнение операций над матрицами и определителями.

Цель: Отработать навыки действий с матрицами. Научиться находить матрицу обратную к данной, делать проверку с помощью единичной матрицы.

Ход работы.

1. Найти сумму матриц. , .

2. Найти матрицу С = 2А + 5В, если , .

3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если , .

4. Найти матрицу обратную к данной , сделать проверку.

Вариант 2.

Тема: Выполнение операций над матрицами и определителями.

Цель: Отработать навыки действий с матрицами. Научиться находить матрицу обратную к данной, делать проверку с помощью единичной матрицы.

Ход работы.

1. Найти сумму матриц. , .

2. Найти матрицу С = 4А + 3В, если , .

3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если , .

4. Найти матрицу обратную к данной , сделать проверку.

Вариант 3.

Тема: Выполнение операций над матрицами и определителями.

Цель: Отработать навыки действий с матрицами. Научиться находить матрицу обратную к данной, делать проверку с помощью единичной матрицы.

Ход работы.

1. Найти сумму матриц. , .

2. Найти матрицу С = 5А + 2В, если , .

3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если , .

4. Найти матрицу обратную к данной , сделать проверку.

Вариант 4.

Тема: Выполнение операций над матрицами и определителями.

Цель: Отработать навыки действий с матрицами. Научиться находить матрицу обратную к данной, делать проверку с помощью единичной матрицы.

Ход работы.

1. Найти сумму матриц. , .

2. Найти матрицу С = 3А + 4В, если , .

3. Найти произведение матриц АВ и ВА, если , .

4. Найти матрицу обратную к данной , сделать проверку.