Практическая работа по теме "Свойства комплексных чисел"

ПрактическАЯ РАБОТА№ 5

Тема 2.1 Основные свойства комплексных чисел

Действия над комплексными числами в алгебраической форме Перевод комплексных чисел из одной формы записи в другую. Действия над комплексными числами в различных формах записи

Цели:

• ознакомиться с понятием комплексного числа, геометрической интерпретацией комплексного числа, заданного в алгебраической форме

• научиться осуществлять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за правильные ответы на поставленные вопросы иверное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за правильные ответы на поставленные вопросы и верное выполнение любых десяти заданий работы

оценка «3» ставится за правильные ответы на поставленные вопросы и верное выполнение любых восьми заданий работы

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 6 и ответить письменно на вопросы:

1. Сформулировать основные определения комплексного числа и формы представления.

2. Как записывается комплексное число в алгебраической (тригонометрической) форме и по каким правилам проводятся арифметические операции над ними

3. Что означает в определении комплексного числа фраза «упорядоченная пара действительных чисел»?

4. 3. Какое из этих чисел называется «действительной частью Rez», какое «мнимой Imz»?

5. В каком случае комплексное число является обычным действительным числом?

6. При каких условиях считается , что два комплексных числа равны?

7. По каким правилам осуществляются действия и находятся: сумма, разность, произведение и частное двух комплексных чисел?

8. Какое комплексное число называется сопряженным к заданному и какими свойствами оно обладает?

9. Что называют «мнимой единицей» , как ее обозначают, и что получается при возведении ее в старшую степень ?

10. Что называют комплексной плоскостью, действительной и мнимой осями и как изображается комплексное число на комплексной плоскости?

Лекция 6

Комплексные числа.

Определение. Комплексным числом zназывается упорядоченная пара чисел (а,b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение , умножение, деление, возведение в степень результаты которых также являются комплексными числами.

Определение. Алгебраической формой комплексного числаzназывается выражение , где aи b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz).

Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, (комплексной плоскости z) координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

у

A(a, b)

r b



0 a x

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на оси ОY – чисто мнимые-b.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числаz = (a,b).называется алгебраическое выражение вида

z =a + bi.

Арифметические операции над комплексными числами z₁= a₁+ b₁iи z₂= a₂+ b₂i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z₁± z₂=(a₁± a₂)+ (b₁±b₂)∙i,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z₁∙z₂= (a₁∙a₂- b₁∙b₂)+(a₁∙b₂+ a₂∙b₁)∙i,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i²=1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z₂ ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

.

Легко показать, что

Примеры.

1. Найти сумму комплексных чисел z₁= 2 – iи z₂= –4 + 3i.

z₁+ z₂= ( 2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z₁= 2 – 3i и z₂= –4 + 5i.

₌ ( 2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙5i =7+22i.

3. Найти частное z от деления z₁= 3 – 2на z₂ = 3 – i.

z= .

4. Решить уравнение: , x и yR.

(2x + y ) + ( x + y)i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откудаx = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i², i³, i⁴, i⁵, i⁶, i^-1 , i^-2.

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z=3-i.

.

Задание 2. Решить примеры для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

1) (3 – 2i) + (5 + 3i);

2) (1 + 2i) – (3 – i);

3) 3(2 – i)∙(1 – i);

4) (1 + 3i)(–7 + 2i);

5) (2 – i)²;

6) (1 + 2i)³.

2. Найти решение уравнений (x, yR):

1) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;

2) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;

3) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.

3. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

4. Найти z^-1, если:

1) z = 7 – 12i; 2) z = 3 + 4i; 3) z = –3 + 7i; 4) z = i.

5. Вычислить:

1) (1 + i )³(1 – i)⁷; 2) ; 3) .

6. Доказать, что ; ; .

7. Доказать, что если то .

8. Построить точки, соответствующие комплексным числам:

1; i; ; 3i; 2  3i; 42i; 3+i; 6 + 2i; 2 + 2i; 2 + 2i; 2  2i.

9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел, изобразить геометрически данные числа и результаты действий.

1) ; 2) .

10. Изобразить геометрическое множество всех комплексных чисел , для которых:

1) x = 2; 2) 1 x 3; 3) Re z = Imz ; 4) Imz = 2Re z.

11. Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел и представить их на комплексной плоскости:

1) z =1 + i; 2) z = ; 3) ; 4) z = 2; 5) z = i.

12. Указать на комплексной плоскости множества точек, соответствующие комплексным числам z, удовлетворяющие условиям:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

Контроль знаний обучающихся:

проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия